Корице уџбеника

II.5. Висине Троугла

Изабери решење задатка:

Задатак 3

Кратко решење

а) Тачно. Код правоуглог троугла катете су нормалне једна на другу, па су оне истовремено и висине тог троугла. б) Тачно. Код тупоуглог троугла, две висине се налазе ван троугла (падају на продужетке страница). в) Нетачно. Код једнакостраничног троугла сви углови су \( 60^\circ \). Да би страница била висина, угао између страница мора бити \( 90^\circ \), што овде није случај. Нетачно је тврђење под в).

Детаљно решење

Да бисмо утврдили које тврђење није тачно, анализираћемо свако понуђено својство висина троугла на основу дефиниција и врста троуглова према угловима.

Анализа тврђења под а)

Тврђење гласи: "Страница троугла може бити висина тог троугла." Посматрајмо правоугли троугао. Код њега су две странице (катете) међусобно нормалне. Висина је дуж која спаја теме са подножјем нормале на наспрамну страницу. У правоуглом троуглу, нормала из једног темена на катету је управо друга катета. Дакле, код правоуглог троугла, катете су истовремено и висине. Ово тврђење је тачно.

Анализа тврђења под б)

Тврђење гласи: "Постоји троугао чије висине не припадају том троуглу." Посматрајмо тупоугли троугао. Код ове врсте троугла, висине које одговарају страницама које граде туп угао падају на продужетке тих страница, а не на саме странице. То значи да две од три висине тупоуглог троугла леже у спољашњој области троугла (не припадају његовој унутрашњости). Ово тврђење је тачно.

Анализа тврђења под в)

Тврђење гласи: "Странице једнакостраничног троугла истовремено су и висине тог троугла." Једнакостранични троугао је оштроугли троугао где су сви унутрашњи углови једнаки \( 60^\circ \). Пошто ниједан угао није прав (\( 90^\circ \)), ниједна страница не може бити нормална на другу страницу. Висине једнакостраничног троугла се налазе унутар њега и спајају темена са средиштима наспрамних страница, али се не поклапају са страницама. Странице су истовремено висине само код правоуглог троугла. Ово тврђење је нетачно.

Кратак запис решења:

а) Тачно (правоугли троугао: катете = висине). б) Тачно (тупоугли троугао: 2 висине су ван троугла). в) Нетачно (углови су \( 60^\circ \), а за висину је потребан угао од \( 90^\circ \)). Тачан одговор: в).

Најважније из лекције

Висина троугла јесте дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга подножје нормале спуштене из тог темена на праву која садржи наспрамну страницу. Сваки троугао има три висине, које означавамо \( h_a, h_b, h_c \) (према темену из ког су повучене). У оштроуглом троуглу све три висине су унутар троугла; у правоуглом троуглу две висине се поклапају са катетама; у тупоуглом троуглу две висине падају ван троугла. Висине се конструишу као нормала из тачке на дату праву.
Висина троугла јесте дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга подножје нормале из тог темена на праву која садржи наспрамну страницу.
Висина одговара некој страници ако је нормална на праву која ту страницу садржи. Сваки троугао има три висине — означавамо их \( h_a, h_b, h_c \), према темену \( A, B, C \) из ког су повучене.
Зависно од врсте троугла:
  • оштроугли — све три висине припадају унутрашњости троугла;
  • правоугли — две висине се поклапају са катетама, а трећа је висина на хипотенузу;
  • тупоугли — једна висина је унутра, а две падају ван троугла.
У оштроуглом троуглу \( ABC \) угао \( \angle BAC=78^\circ \), а \( BD \) је висина из темена \( B \), па је \( \angle BDA=90^\circ \). Тада је \( \angle ABD=180^\circ-90^\circ-78^\circ=12^\circ \).

Савладај
домаћи
уз хиљаде решења, лекција и тестова: