II.5. Висине Троугла

1. корак: Рачунамо угао γ

Збир унутрашњих углова троугла је \( 180^\circ \), па је: \[ \gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 58^\circ - 42^\circ = 80^\circ \] Сва три угла су оштра, па је троугао оштроугли. Зато подножје висине из темена \( C \) лежи на страници \( AB \).

2. корак: Цртамо слику

Нацртај троугао \( ABC \) са угловима \( \alpha = 58^\circ \) код темена \( A \) и \( \beta = 42^\circ \) код темена \( B \). Из темена \( C \) конструиши висину \( CD \), где је \( D \) на страници \( AB \) и \( CD \perp AB \). Из темена \( C \) конструиши и симетралу угла \( \gamma \), која сече страницу \( AB \) у тачки \( E \). Означи угао \( \angle DCE \) између висине и симетрале.

3. корак: Угао између висине и странице \( AC \)

У правоуглом троуглу \( ADC \) је \( \angle ADC = 90^\circ \). Збир оштрих углова у правоуглом троуглу је \( 90^\circ \), па је: \[ \angle ACD = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ \]

4. корак: Угао између симетрале и странице \( AC \)

Симетрала дели угао \( \gamma \) на два једнака дела: \[ \angle ACE = \frac{\gamma}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \]

5. корак: Угао између симетрале и висине

Оба угла, \( \angle ACD \) и \( \angle ACE \), имају један крак \( CA \). Угао \( \angle ACE \) је већи, па је тражени угао њихова разлика: \[ \angle DCE = \angle ACE - \angle ACD = 40^\circ - 32^\circ = 8^\circ \]

Провера преко темена \( B \)

\( \angle BCD = 90^\circ - 42^\circ = 48^\circ \), па је \( \angle DCE = 48^\circ - 40^\circ = 8^\circ \). Резултат је исти.

\[ \gamma = 180^\circ - 58^\circ - 42^\circ = 80^\circ \] \[ \angle DCE = \frac{\gamma}{2} - (90^\circ - \alpha) = 40^\circ - 32^\circ = 8^\circ \]