Знамо да је збир унутрашњих углова у сваком троуглу \( 180^\circ \). Дати су углови \( \alpha = 58^\circ \) и \( \beta = 42^\circ \). Угао \( \gamma \) код темена \( C \) израчунавамо на следећи начин:
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
\[ 58^\circ + 42^\circ + \gamma = 180^\circ \]
\[ 100^\circ + \gamma = 180^\circ \]
\[ \gamma = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \]
Корак 2: Одређивање угла који гради симетрала угла \(\gamma\)
Симетрала угла \( s_\gamma \) дели угао \( \gamma \) на два једнака дела. Нека је \( D \) тачка на страници \( AB \) кроз коју пролази симетрала. Угао који симетрала заклапа са страницом \( AC \) (угао \( \angle ACD \)) је:
\[ \angle ACD = \frac{\gamma}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \]
Корак 3: Анализа правоуглог троугла формираног висином
Нека је \( CH \) висина из темена \( C \) на страницу \( AB \). Тачка \( H \) је подножје висине. Пошто је \( CH \perp AB \), троугао \( ACH \) је правоугли са правим углом код темена \( H \) (\( \angle AHC = 90^\circ \)). У овом троуглу угао код темена \( C \), који ћемо означити као \( \angle ACH \), израчунавамо из збира оштрих углова правоуглог троугла:
\[ \angle ACH + \alpha = 90^\circ \]
\[ \angle ACH + 58^\circ = 90^\circ \]
\[ \angle ACH = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ \]
Корак 4: Израчунавање угла између симетрале и висине
Тражени угао је угао између висине \( CH \) и симетрале \( CD \). Овај угао \( \varphi \) представља разлику између угла који гради симетрала и угла који гради висина у односу на исту страницу (у овом случају страницу \( AC \)):
\[ \varphi = \angle ACD - \angle ACH \]
\[ \varphi = 40^\circ - 32^\circ = 8^\circ \]
Коначно, угао између симетрале угла \( \gamma \) и висине из темена \( C \) износи \( 8^\circ \).
Висина троугла јесте дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга подножје нормале спуштене из тог темена на праву која садржи наспрамну страницу. Сваки троугао има три висине, које означавамо \( h_a, h_b, h_c \) (према темену из ког су повучене). У оштроуглом троуглу све три висине су унутар троугла; у правоуглом троуглу две висине се поклапају са катетама; у тупоуглом троуглу две висине падају ван троугла. Висине се конструишу као нормала из тачке на дату праву.
Висина троугла јесте дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга подножје нормале из тог темена на праву која садржи наспрамну страницу.
Висина одговара некој страници ако је нормална на праву која ту страницу садржи. Сваки троугао има три висине — означавамо их \( h_a, h_b, h_c \), према темену \( A, B, C \) из ког су повучене.
Зависно од врсте троугла:
оштроугли — све три висине припадају унутрашњости троугла;
правоугли — две висине се поклапају са катетама, а трећа је висина на хипотенузу;
тупоугли — једна висина је унутра, а две падају ван троугла.
У оштроуглом троуглу \( ABC \) угао \( \angle BAC=78^\circ \), а \( BD \) је висина из темена \( B \), па је \( \angle BDA=90^\circ \). Тада је \( \angle ABD=180^\circ-90^\circ-78^\circ=12^\circ \).
Пријава грешке
Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:
