Корак 1: Анализа својстава једнакостраничног троугла
Посматрајмо једнакостранични троугао \( \triangle ABC \). Код њега су све странице једнаке, а сви унутрашњи углови износе \( 60^\circ \). Дакле, \( \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ \).
Нацртај једнакостранични троугао ABC. Из темена A повуци висину h_a на страницу BC (тачка подножја је D). Из темена B повуци висину h_b на страницу AC (тачка подножја је E). Означи тачку пресека висина са H.
Корак 2: Уочавање правоуглог троугла
Нека су \( AD \) и \( BE \) две висине овог троугла. Пошто је висина нормална на наспрамну страницу, углови код тачака \( D \) и \( E \) су прави (\( 90^\circ \)). Посматрајмо правоугли троугао \( \triangle ADC \). У њему знамо углове:
\[ \angle C = 60^\circ \]
\[ \angle ADC = 90^\circ \]
Трећи угао овог троугла је \( \angle CAD \):
\[ \angle CAD = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \]
Нека се висине \( AD \) и \( BE \) секу у тачки \( H \). Посматрајмо мали правоугли троугао \( \triangle AEH \) (или \( \triangle BDH \)). У троуглу \( \triangle AEH \), угао код темена \( E \) је \( 90^\circ \), а угао \( \angle EAH \) је заправо исти као \( \angle CAD \), па износи \( 30^\circ \).
Тада је угао \( \angle AHE \):
\[ \angle AHE = 180^\circ - (90^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]
Корак 4: Одређивање углова између висина
Висине се секу и граде два пара унакрсних углова. Један пар су оштри углови, а други пар су тупи углови (који су им суплементи).
Угао \( \angle AHB \) је напоредни угао углу \( \angle AHE \):
\[ \angle AHB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \]
Дакле, висине једнакостраничног троугла међусобно одређују углове од \( 60^\circ \) и \( 120^\circ \).
Висина троугла јесте дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга подножје нормале спуштене из тог темена на праву која садржи наспрамну страницу. Сваки троугао има три висине, које означавамо \( h_a, h_b, h_c \) (према темену из ког су повучене). У оштроуглом троуглу све три висине су унутар троугла; у правоуглом троуглу две висине се поклапају са катетама; у тупоуглом троуглу две висине падају ван троугла. Висине се конструишу као нормала из тачке на дату праву.
Висина троугла јесте дуж чија је једна крајња тачка теме троугла, а друга подножје нормале из тог темена на праву која садржи наспрамну страницу.
Висина одговара некој страници ако је нормална на праву која ту страницу садржи. Сваки троугао има три висине — означавамо их \( h_a, h_b, h_c \), према темену \( A, B, C \) из ког су повучене.
Зависно од врсте троугла:
оштроугли — све три висине припадају унутрашњости троугла;
правоугли — две висине се поклапају са катетама, а трећа је висина на хипотенузу;
тупоугли — једна висина је унутра, а две падају ван троугла.
У оштроуглом троуглу \( ABC \) угао \( \angle BAC=78^\circ \), а \( BD \) је висина из темена \( B \), па је \( \angle BDA=90^\circ \). Тада је \( \angle ABD=180^\circ-90^\circ-78^\circ=12^\circ \).
Пријава грешке
Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:
