II.5. Висине Троугла

Корак 1: Цртеж и ознаке

Нека је \( ABC \) једнакостранични троугао. Повлачимо висине \( h_a = AD \) и \( h_b = BE \), а њихов пресек је тачка \( H \).
Нацртај једнакостранични троугао ABC. Из темена A повуци висину h_a на страницу BC (тачка подножја је D). Из темена B повуци висину h_b на страницу AC (тачка подножја је E). Означи тачку пресека висина са H. Код једнакостраничног троугла су сви унутрашњи углови једнаки: \[ \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ \]

Корак 2: Углови које висине праве са страницом \( AB \)

Висина \( BE \) је нормална на \( AC \), па је \( \angle AEB = 90^\circ \). У правоуглом троуглу \( ABE \) је збир оштрих углова \( 90^\circ \), а \( \angle BAE = 60^\circ \). Зато је \[ \angle ABE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] Висина \( AD \) је нормална на \( BC \), па је \( \angle ADB = 90^\circ \). У правоуглом троуглу \( ABD \) је \( \angle ABD = 60^\circ \), па је \[ \angle BAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]

Корак 3: Угао између висина

Посматрамо троугао \( ABH \). Збир његових углова је \( 180^\circ \): \[ \angle AHB = 180^\circ - \angle BAH - \angle ABH = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ \]

Корак 4: Остали углови које одређују висине

Углови \( \angle AHB \) и \( \angle AHE \) су суплементни (налазе се на правој \( BE \)): \[ \angle AHE = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] Угао \( \angle BHD \) је унакрсан са \( \angle AHE \), па је \[ \angle BHD = \angle AHE = 60^\circ \] Угао \( \angle DHE \) је унакрсан са \( \angle AHB \), па је \[ \angle DHE = \angle AHB = 120^\circ \] Две висине једнакостраничног троугла одређују два угла од \( 120^\circ \) и два угла од \( 60^\circ \).

\[ \angle ABE = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ,\quad \angle BAD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] \[ \angle AHB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ \] \[ \angle AHE = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \]