Корице уџбеника

VI.3. Паралелограм

Изабери решење задатка:

Задатак 1 (бесплатан)

Кратко решење

На основу својстава паралелограма: Наспрамни углови су једнаки: \[ \beta = \delta = 130^\circ \] Суседни углови су суплементни: \[ \alpha + \delta = 180^\circ \] \[ \alpha + 130^\circ = 180^\circ \] \[ \alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \] Наспрамни углови су једнаки: \[ \gamma = \alpha = 50^\circ \]

Детаљно решење

Анализа својстава паралелограма

На основу слике 3.11, дат је паралелограм \( ABCD \) са једним познатим унутрашњим углом код темена \( D \), који износи \( 130^\circ \). Да бисмо одредили остале углове, користићемо основна својства паралелограма:
  • Наспрамни углови паралелограма су једнаки (\( \alpha = \gamma \) и \( \beta = \delta \)).
  • Суседни углови паралелограма (углови који належу на исту страницу) су суплементни, што значи да је њихов збир \( 180^\circ \).

Одређивање угла \( \beta \)

Угао \( \beta \) се налази код темена \( B \), које је наспрамно темену \( D \). Према својству о једнакости наспрамних углова: \[ \beta = \angle ADC = 130^\circ \]

Одређивање угла \( \alpha \)

Угао \( \alpha \) код темена \( A \) је суседан углу код темена \( D \). Њихов збир мора бити \( 180^\circ \): \[ \alpha + 130^\circ = 180^\circ \] Из ове једнакости израчунавамо \( \alpha \): \[ \alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \]

Одређивање угла \( \gamma \)

Угао \( \gamma \) код темена \( C \) је наспраман углу \( \alpha \). На основу својства о једнакости наспрамних углова, они су једнаки: \[ \gamma = \alpha = 50^\circ \] Такође смо могли искористити чињеницу да је \( \gamma \) суседан углу код темена \( D \), па је \( \gamma = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).

Кратак запис решења:

\[ \beta = 130^\circ \] (наспрамни углови) \[ \alpha = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \] (суседни углови) \[ \gamma = \alpha = 50^\circ \] (наспрамни углови)

Најважније из лекције

Паралелограм је четвороугао чије су наспрамне странице паралелне. Због тога су његови наспрамни углови једнаки \( (\alpha=\gamma,\ \beta=\delta) \), суседни углови суплементни \( (\alpha+\beta=180^\circ) \), а наспрамне странице једнаке \( (AB=CD,\ BC=DA) \). Дијагонале паралелограма се међусобно полове, а сам паралелограм је централносиметрична фигура са центром симетрије у пресеку дијагонала \( S \). Обим је \( O=2(a+b) \), где су \( a \) и \( b \) дужине суседних страница.
Паралелограм је четвороугао чије су обе паре наспрамних страница паралелне: \( AB\parallel CD \) и \( BC\parallel DA \).
Наспрамни углови паралелограма су једнаки, а суседни углови су суплементни.
\[ \alpha=\gamma,\qquad \beta=\delta,\qquad \alpha+\beta=180^\circ \]
Пример: ако је \( \alpha=70^\circ \), онда је \( \gamma=70^\circ \) и \( \beta=\delta=110^\circ \).
Наспрамне странице паралелограма су једнаке: \( AB=CD \) и \( BC=DA \).
\[ O=2(a+b) \]
Пример: за \( a=10\,\text{cm} \) и \( b=8\,\text{cm} \) обим је \( O=2\cdot(10+8)=36\,\text{cm} \).
Дијагонале паралелограма се међусобно полове.
Паралелограм је централносиметрична фигура; центар симетрије \( S \) је пресек дијагонала, па важи \( AS=SC \) и \( BS=SD \).

Савладај
домаћи
уз хиљаде решења, лекција и тестова: