Корице уџбеника

VI.3. Паралелограм

Изабери решење задатка:

Задатак 5

Кратко решење

На основу својства паралелограма \( FBCD \), наспрамни углови су једнаки: \[ \angle BCD = \angle BFD \] У паралелограму \( AFDB \), наспрамне странице су паралелне, па је: \[ AB \parallel FD \] Права \( FB \) је трансверзала која пресеца паралелне праве \( AB \) и \( FD \). Наизменични углови на трансверзали су једнаки, па важи: \[ \angle ABF = \angle BFD \] Из претходних једнакости следи: \[ \angle BCD = \angle BFD = \angle ABF \] Дакле: \[ \angle BCD = \angle ABF \]

Детаљно решење

Анализа паралелограма \( FBCD \)

На слици је приказан паралелограм \( FBCD \). Једно од основних својстава сваког паралелограма јесте да су му наспрамни углови једнаки. У овом паралелограму, углови код темена \( C \) и \( F \) су наспрамни, па важи: \[ \angle BCD = \angle BFD \]

Анализа паралелограма \( AFDB \) и паралелних правих

Други приказани паралелограм је \( AFDB \). Његове наспрамне странице су паралелне, што значи да је страница \( AB \) паралелна са страницом \( FD \) (\( AB \parallel FD \)). Права која садржи дуж \( FB \) пресеца ове две паралелне праве (она представља њихову трансверзалу).

Углови на трансверзали

Углови \( \angle ABF \) и \( \angle BFD \) су наизменични углови на трансверзали \( FB \) која пресеца паралелне праве \( AB \) и \( FD \). Пошто су праве паралелне, наизменични углови су једнаки: \[ \angle ABF = \angle BFD \]

Закључак

У претходним корацима смо утврдили да важи: 1. \( \angle BCD = \angle BFD \) (наспрамни углови паралелограма \( FBCD \)) 2. \( \angle ABF = \angle BFD \) (наизменични углови) Користећи транзитивност (пошто су оба угла, \( \angle BCD \) и \( \angle ABF \), једнака истом углу \( \angle BFD \)), долазимо до коначног закључка да су они и међусобно једнаки: \[ \angle BCD = \angle ABF \] Тиме је тврђење доказано.

Кратак запис решења:

Паралелограм \( FBCD \): \( \angle BCD = \angle BFD \) (наспрамни углови) Паралелограм \( AFDB \): \( AB \parallel FD \) (наспрамне странице) Трансверзала \( FB \): \( \angle ABF = \angle BFD \) (наизменични углови) Из \( \angle BCD = \angle BFD \) и \( \angle ABF = \angle BFD \) следи: \[ \angle BCD = \angle ABF \]

Најважније из лекције

Паралелограм је четвороугао чије су наспрамне странице паралелне. Због тога су његови наспрамни углови једнаки \( (\alpha=\gamma,\ \beta=\delta) \), суседни углови суплементни \( (\alpha+\beta=180^\circ) \), а наспрамне странице једнаке \( (AB=CD,\ BC=DA) \). Дијагонале паралелограма се међусобно полове, а сам паралелограм је централносиметрична фигура са центром симетрије у пресеку дијагонала \( S \). Обим је \( O=2(a+b) \), где су \( a \) и \( b \) дужине суседних страница.
Паралелограм је четвороугао чије су обе паре наспрамних страница паралелне: \( AB\parallel CD \) и \( BC\parallel DA \).
Наспрамни углови паралелограма су једнаки, а суседни углови су суплементни.
\[ \alpha=\gamma,\qquad \beta=\delta,\qquad \alpha+\beta=180^\circ \]
Пример: ако је \( \alpha=70^\circ \), онда је \( \gamma=70^\circ \) и \( \beta=\delta=110^\circ \).
Наспрамне странице паралелограма су једнаке: \( AB=CD \) и \( BC=DA \).
\[ O=2(a+b) \]
Пример: за \( a=10\,\text{cm} \) и \( b=8\,\text{cm} \) обим је \( O=2\cdot(10+8)=36\,\text{cm} \).
Дијагонале паралелограма се међусобно полове.
Паралелограм је централносиметрична фигура; центар симетрије \( S \) је пресек дијагонала, па важи \( AS=SC \) и \( BS=SD \).

Савладај
домаћи
уз хиљаде решења, лекција и тестова: