VI.3. Паралелограм

Анализа података са слике

На слици 3.12 приказан је паралелограм \( MNPR \). Нека је \( S \) пресечна тачка дијагонала \( MP \) и \( NR \). Углови који су дати на слици су делови унутрашњих углова паралелограма:

• Угао између странице \( RP \) и дијагонале \( RN \) износи \( \angle PRN = 25^\circ \).
• Угао између странице \( MN \) и дијагонале \( MP \) износи \( \angle PMN = 32^\circ \).

Коришћење особина паралелних правих

Код паралелограма, наспрамне странице су паралелне (\( RP \parallel MN \)). Дијагонала \( RN \) се може посматрати као трансверзала која сече паралелне праве \( RP \) и \( MN \). Углови са паралелним крацима (наизменични углови) су једнаки, па важи: \[ \angle MNR = \angle PRN = 25^\circ \] Ово значи да је у троуглу угао \( \angle MNS = 25^\circ \).

Израчунавање углова у троуглу \( \triangle MSN \)

Посматрајмо троугао \( \triangle MSN \). Углови на основици \( MN \) овог троугла су: \[ \angle SMN = 32^\circ \] (јер је то исти угао као задати \( \angle PMN \)) \[ \angle SNM = 25^\circ \] (израчунато у претходном кораку као \( \angle MNR \)) Збир унутрашњих углова у сваком троуглу је \( 180^\circ \). Израчунајмо угао код темена \( S \): \[ \angle MSN = 180^\circ - (\angle SMN + \angle SNM) \] \[ \angle MSN = 180^\circ - (32^\circ + 25^\circ) \] \[ \angle MSN = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ \]

Одређивање мера углова између дијагонала

Дијагонале паралелограма се секу и граде два пара унакрсних углова. Један од њих је \( \angle MSN = 123^\circ \). Њему суседан угао \( \angle MSR \) је суплементан са њим (заједно чине опружен угао од \( 180^\circ \)): \[ \angle MSR = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ \] Дакле, углови између дијагонала су \( 123^\circ \) и \( 57^\circ \).

\( \angle SNM = \angle PRN = 25^\circ \) \( \angle MSN = 180^\circ - (32^\circ + 25^\circ) = 180^\circ - 57^\circ = 123^\circ \) \( 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ \) Углови су \( 123^\circ \) и \( 57^\circ \).