У паралелограму \( ABCD \) са пресеком дијагонала \( S \):
\( AB = CD \) (наспрамне странице)
\( AS = CS \) (дијагонале се полове)
\( BS = DS \) (дијагонале се полове)
\[ \left. \begin{matrix} AB = CD \\ AS = CS \\ BS = DS \end{matrix} \right\} \stackrel{ССС}{\Rightarrow} \Delta ABS \cong \Delta CDS \]
Тврђење је тачно.
б) \(\Delta ASD \cong \Delta CSD\)
У троугловима \( \Delta ASD \) и \( \Delta CSD \):
\( SD = SD \) (заједничка страница)
\( AS = CS \) (дијагонале се полове)
Међутим, \( AD \neq CD \) у општем случају (суседне странице нису једнаке).
Тврђење није тачно.
в) \(\Delta ABC \cong \Delta CDA\)
У троугловима \( \Delta ABC \) и \( \Delta CDA \):
\( AB = CD \) (наспрамне странице)
\( BC = DA \) (наспрамне странице)
\( AC = AC \) (заједничка страница)
\[ \left. \begin{matrix} AB = CD \\ BC = DA \\ AC = AC \end{matrix} \right\} \stackrel{ССС}{\Rightarrow} \Delta ABC \cong \Delta CDA \]
Тврђење је тачно.
Детаљно решење
Анализа својстава паралелограма
Да бисмо утврдили тачност понуђених тврђења, подсетимо се кључних својстава паралелограма \( ABCD \) са слике 3.13:
1. Наспрамне странице су једнаке: \( AB = CD \) и \( AD = BC \).
2. Дијагонале \( AC \) и \( BD \) се секу у тачки \( S \) и узајамно се полове, што значи да је \( AS = CS \) и \( BS = DS \).
3. Наспрамни углови су једнаки, а суседни су суплементни.
а) \(\Delta ABS \cong \Delta CDS\)
Доказ подударности
Посматрајмо троуглове \( \Delta ABS \) и \( \Delta CDS \):
1. Страница \( AB \) је једнака страници \( CD \) (наспрамне странице паралелограма).
2. Дуж \( AS \) је једнака дужи \( CS \) (дијагонале се полове).
3. Дуж \( BS \) је једнака дужи \( DS \) (дијагонале се полове).
На основу става ССС (страница-страница-страница), закључујемо да су ови троуглови подударни. Такође, углови \( \angle ASB \) и \( \angle CSD \) су једнаки као унакрсни углови, па се може применити и став СУС.
Тврђење под а) је тачно.
б) \(\Delta ASD \cong \Delta CSD\)
Провера услова подударности
Посматрајмо троуглове \( \Delta ASD \) и \( \Delta CSD \):
1. Ови троуглови деле заједничку страницу \( SD \).
2. Знамо да је \( AS = CS \) јер се дијагонале полове.
3. Међутим, странице \( AD \) и \( CD \) представљају суседне странице паралелограма. Код општег паралелограма суседне странице нису једнаке (осим ако је у питању ромб).
Пошто немамо податак да је \( ABCD \) ромб, не можемо тврдити да је \( AD = CD \), нити да су углови код темена \( S \) прави.
Тврђење под б) није тачно (у општем случају).
в) \(\Delta ABC \cong \Delta CDA\)
Доказ подударности
Посматрајмо троуглове \( \Delta ABC \) и \( \Delta CDA \):
1. Страница \( AB \) је једнака страници \( CD \) (наспрамне странице).
2. Страница \( BC \) је једнака страници \( DA \) (наспрамне странице).
3. Страница \( AC \) је заједничка за оба троугла.
На основу става ССС, ови троуглови су подударни. Свака дијагонала паралелограма дели ту фигуру на два подударна троугла.
Тврђење под в) је тачно.
Паралелограм је четвороугао чије су наспрамне странице паралелне. Због тога су његови наспрамни углови једнаки \( (\alpha=\gamma,\ \beta=\delta) \), суседни углови суплементни \( (\alpha+\beta=180^\circ) \), а наспрамне странице једнаке \( (AB=CD,\ BC=DA) \). Дијагонале паралелограма се међусобно полове, а сам паралелограм је централносиметрична фигура са центром симетрије у пресеку дијагонала \( S \). Обим је \( O=2(a+b) \), где су \( a \) и \( b \) дужине суседних страница.
Паралелограм је четвороугао чије су обе паре наспрамних страница паралелне: \( AB\parallel CD \) и \( BC\parallel DA \).
Наспрамни углови паралелограма су једнаки, а суседни углови су суплементни.
