\( a = AB = CD = 6\text{ cm} \)
\( b = BC = AD = 4\text{ cm} \)
\( \angle B = 90^\circ \)
1. Полуправа \( Ap \), \( B \in Ap \) тако да је \( AB = 6\text{ cm} \).
2. \( n \perp Ap \) у тачки \( B \).
3. \( C \in n \) тако да је \( BC = 4\text{ cm} \).
4. \( k_1(A, 4\text{ cm}) \cap k_2(C, 6\text{ cm}) = \{D\} \).
5. Дужи \( AD \) и \( CD \).
Детаљно решење
Скица и анализа
Скица правоугаоника ABCD. Страница AB је хоризонтална и износи 6 cm. У темену B је означен прав угао. Страница BC је вертикална и износи 4 cm. Теме D је изнад темена А тако да је AD вертикално и износи 4 cm, а CD хоризонтално и износи 6 cm.
Правоугаоник \( ABCD \) има странице дужина \( AB = CD = a = 6\text{ cm} \) и \( BC = AD = b = 4\text{ cm} \). Сви унутрашњи углови правоугаоника су прави (\( 90^\circ \)).
Троугао \( ABC \) је правоугли троугао са правим углом у темену \( B \), при чему су катете \( AB = 6\text{ cm} \) и \( BC = 4\text{ cm} \). Овај троугао можемо конструисати на основу става СУС (страница–угао–страница). Четврто теме \( D \) можемо одредити пресеком кружних лукова чији су полупречници једнаки наспрамним страницама: \( k_1(A, 4\text{ cm}) \) и \( k_2(C, 6\text{ cm}) \).
План конструкције
1. Конструисати полуправу са почетном тачком \( A \) и на њој одредити тачку \( B \) тако да је \( AB = 6\text{ cm} \).
2. У темену \( B \) конструисати прав угао (\( 90^\circ \)).
3. На краку правог угла одредити тачку \( C \) тако да је \( BC = 4\text{ cm} \).
4. Конструисати кружни лук са центром у тачки \( A \) полупречника \( 4\text{ cm} \).
5. Конструисати кружни лук са центром у тачки \( C \) полупречника \( 6\text{ cm} \). Пресек ова два лука одређује теме \( D \).
6. Спојити дужима тачке \( A \) и \( D \), односно \( C \) и \( D \).
Конструкција
1. Конструишемо праву \( p \) и на њој изаберемо тачку \( A \). Отворимо шестар на дужину од \( 6\text{ cm} \) и из тачке \( A \) опишемо лук који сече праву \( p \) у тачки \( B \). Дакле, \( AB = 6\text{ cm} \).
2. У тачки \( B \) конструишемо нормалу на дуж \( AB \) (угао од \( 90^\circ \)).
3. Из тачке \( B \) на конструисаној нормали одмеримо дуж дужине \( 4\text{ cm} \) и ту тачку означимо са \( C \). Тако добијамо \( BC = 4\text{ cm} \).
4. Из тачке \( A \) шестаром опишемо кружни лук полупречника \( 4\text{ cm} \), а из тачке \( C \) кружни лук полупречника \( 6\text{ cm} \).
5. Пресечну тачку ових кружних лукова означимо са \( D \).
6. Повлачењем дужи \( AD \) и \( CD \) добијамо тражени правоугаоник \( ABCD \).
Кратак запис решења:
\( AB = 6\text{ cm} \)
\( n \perp AB \) у \( B \), \( C \in n \), \( BC = 4\text{ cm} \)
\( k_1(A, 4\text{ cm}) \cap k_2(C, 6\text{ cm}) = \{D\} \)
Спајањем темена \( A, B, C, D \) добија се правоугаоник \( ABCD \).
Најважније из лекције
Свака дијагонала дели паралелограм на два подударна троугла, па се конструкција паралелограма своди на конструкцију троугла. Прво се, на основу датих елемената (странице и угао), конструише троугао \( ABD \) неком од основних конструкција (СУС, УСУ, ССС или ССУ), а затим се одреди центар симетрије \( S \) (средиште дијагонале \( BD \)) и тачка \( C \) као централносиметрична слика тачке \( A \) у односу на \( S \). Тиме се добија четврто теме и допуни паралелограм \( ABCD \).
Дијагонала дели паралелограм на два троугла, па конструкцију паралелограма сводимо на конструкцију троугла \( ABD \), а затим га допуњавамо до паралелограма.
Троугао конструишемо на основу датих елемената једном од основних конструкција: СУС, УСУ, ССС или ССУ.
Ако су дате две суседне странице и угао између њих \( (AB,\ DA,\ \angle BAD) \):
конструиши троугао \( ABD \) по датим елементима;
конструиши средиште \( S \) дужи \( BD \);
конструиши тачку \( C \) централносиметричну тачки \( A \) у односу на \( S \);
конструиши странице \( BC \) и \( CD \) — добија се паралелограм \( ABCD \).
За задате \( AB=4\,\text{cm} \), \( DA=3\,\text{cm} \) и \( \angle BAD=30^\circ \) задатак има тачно једно решење.
Ромб је посебан паралелограм; за дате страницу и дијагоналу конструише се троугао ССС конструкцијом, па се допуни до ромба.
Пријава грешке
Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:
