VI.5. Конструкција Паралелограма

Анализа правоугаоника

Правоугаоник је паралелограм који има четири права угла. Основна својства која ћемо користити су: - Наспрамне странице су једнаке и паралелне (\( AB = CD = 6 \text{ cm} \) и \( BC = DA = 4 \text{ cm} \)). - Сви унутрашњи углови су прави (\( \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ \)). - Дијагонале се полове у тачки \( S \). Да бисмо конструисали правоугаоник \( ABCD \), прво ћемо конструисати помоћни правоугли троугао \( \triangle ABC \) (користећи СУС став: странице \( AB \), \( BC \) и угао \( \angle B = 90^\circ \)), а затим одредити теме \( D \).
Скица правоугаоника ABCD. Страница AB је хоризонтална и износи 6 cm. У темену B је означен прав угао. Страница BC је вертикална и износи 4 cm. Теме D је изнад темена А тако да је AD вертикално и износи 4 cm, а CD хоризонтално и износи 6 cm.

Конструкција

1. Конструишемо дуж \( AB = 6 \text{ cm} \). 2. У тачки \( B \) конструишемо нормалу \( n \) на дуж \( AB \). Тиме добијамо прав угао \( \angle B = 90^\circ \). 3. На нормали \( n \) одредимо тачку \( C \) тако да је \( BC = 4 \text{ cm} \). 4. Сада можемо пронаћи теме \( D \) на два начина. Један је коришћење својства да су наспрамне странице једнаке: - Опишемо кружни лук из темена \( C \) полупречника \( r_1 = 6 \text{ cm} \) (дужина странице \( CD \)). - Опишемо кружни лук из темена \( A \) полупречника \( r_2 = 4 \text{ cm} \) (дужина странице \( AD \)). 5. Пресек ова два кружна лука је теме \( D \). 6. Спајањем тачака \( A, B, C, D \) добијамо тражени правоугаоник.

Доказ

Четвороугао \( ABCD \) је правоугаоник јер је по конструкцији \( AB = CD = 6 \text{ cm} \) и \( BC = AD = 4 \text{ cm} \), а угао код темена \( B \) је прави. У паралелограму са једним правим углом сви остали углови су такође прави, што дефинише правоугаоник.

1. \( AB = 6 \text{ cm} \) 2. \( n \perp AB, B \in n \) 3. \( C \in n, BC = 4 \text{ cm} \) 4. \( k(C, 6 \text{ cm}) \cap k(A, 4 \text{ cm}) = \{D\} \) 5. Спајањем \( A, B, C, D \) добија се правоугаоник.