VI.5. Конструкција Паралелограма

Анализа ромба

Ромб је паралелограм чије су све странице једнаке. За конструкцију преко дијагонала користимо следећа кључна својства: - Дијагонале ромба су међусобно нормалне (\( AC \perp BD \)). - Дијагонале ромба се узајамно полове у тачки \( S \). - Тачка \( S \) је центар симетрије ромба, па је \( AS = SC = \frac{AC}{2} = 4 \text{ cm} \) и \( BS = SD = \frac{BD}{2} = 3 \text{ cm} \).
Скица ромба ABCD са уцртаним дијагоналама AC и BD које се секу у тачки S под правим углом. Дуж AC је хоризонтална дужине 8 cm, а дуж BD је вертикална дужине 6 cm. Тачка S је средина обе дијагонале.

Конструкција

1. Конструишемо дуж \( AC = 8 \text{ cm} \). 2. Конструишемо симетралу \( s \) дужи \( AC \). Тачка пресека симетрале и дужи \( AC \) је тачка \( S \), која је средиште дијагонале \( AC \). Симетрала \( s \) је нормална на \( AC \). 3. Будући да се дијагонале полове, теме \( B \) и теме \( D \) се налазе на симетрији \( s \) на растојању \( \frac{BD}{2} = 3 \text{ cm} \) од тачке \( S \). 4. Опишемо кружницу \( k(S, r = 3 \text{ cm}) \). 5. Пресечне тачке кружнице \( k \) и симетрале \( s \) су темена \( B \) и \( D \). 6. Спајањем тачака \( A, B, C, D \) добијамо тражени ромб.

Доказ

Четвороугао \( ABCD \) је ромб јер му се дијагонале \( AC \) и \( BD \) полове у тачки \( S \) (што га чини паралелограмом) и секу се под правим углом (својство симетрале), што је карактеристично својство ромба.

\( AC = 8 \text{ cm}, BD = 6 \text{ cm} \) 1. Нацртај \( AC = 8 \text{ cm} \). 2. Конструиши симетралу \( s \) дужи \( AC \), пресек је \( S \). 3. Одреди \( B, D \) на \( s \) тако да је \( SB = SD = 3 \text{ cm} \). 4. Споји \( A, B, C, D \).