VI.5. Конструкција Паралелограма

Анализа

Дијагонала \( AC \) дели паралелограм \( ABCD \) на два троугла: \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \). У троуглу \( \triangle ABC \) позната је страница: \[ AC = 6\text{ cm} \] као и два угла која належу на ту страницу: \[ \angle BAC = 15^\circ \] \[ \angle BCA = 60^\circ \] Према ставу УСУ, троугао \( \triangle ABC \) је једнозначно одређен и може се лако конструисати. Угао од \( 60^\circ \) се конструише као угао једнакостраничног троугла, а угао од \( 15^\circ \) узастопном симетријом углова од \( 60^\circ \) и \( 30^\circ \). Након одређивања темена \( B \), четврто теме \( D \) можемо одредити: - Коришћењем чињенице да су наспрамни углови једнаки, односно да су углови на трансверзали једнаки: \( \angle CAD = \angle BCA = 60^\circ \) и \( \angle ACD = \angle BAC = 15^\circ \) (са супротне стране праве \( AC \)), или - Као тачку централносиметричну тачки \( B \) у односу на средиште \( S \) дијагонале \( AC \).
Скица паралелограма ABCD са уцртаном дијагоналом AC дужине 6 cm. Угао код темена A између страница AB и AC износи 15 степени. Угао код темена C између страница BC и AC износи 60 степени. Теме B се налази са једне стране дијагонале, а теме D са друге стране тако да су углови наизменични.

Конструкција

1. Конструишемо дуж \( AC = 6\text{ cm} \). 2. У тачки \( A \) конструишемо угао од \( 15^\circ \) са једне стране праве \( AC \), чиме добијамо полуправу \( Ax \). 3. У тачки \( C \) конструишемо угао од \( 60^\circ \) са исте стране праве \( AC \), чиме добијамо полуправу \( Cy \). 4. У пресеку полуправих \( Ax \) и \( Cy \) добијамо теме \( B \). 5. Одређујемо средиште \( S \) дијагонале \( AC \). 6. Конструишемо полуправу \( BS \) и на њој одредимо тачку \( D \) такву да је \( SD = SB \) (теме \( D \) је централносиметрично темену \( B \) у односу на \( S \)). 7. Спајањем тачака \( A \), \( B \), \( C \) и \( D \) добија се тражени паралелограм \( ABCD \).

Доказ

По конструкцији, тачка \( S \) је средиште дијагонале \( AC \), а тачка \( D \) је конструисана тако да је \( S \) средиште дијагонале \( BD \). Како се дијагонале четвороугла \( ABCD \) међусобно полове у тачки \( S \), четвороугао \( ABCD \) је паралелограм. Такође, по конструкцији троугла \( \triangle ABC \) важи \( AC = 6\text{ cm} \), \( \angle BAC = 15^\circ \) и \( \angle BCA = 60^\circ \), што у потпуности задовољава услове задатка.

Дискусија

Пошто је збир два дата угла \( 15^\circ + 60^\circ = 75^\circ < 180^\circ \), полуправе које одређују углове у троуглу \( \triangle ABC \) се увек секу у јединственој тачки \( B \). Према томе, задатак има јединствено решење у датој полуравни.

1. \( AC = 6\text{ cm} \) 2. \( \triangle ABC \text{ (УСУ: } AC = 6\text{ cm}, \angle BAC = 15^\circ, \angle BCA = 60^\circ) \implies B \) 3. \( S \text{ средиште } AC \) 4. \( D = \text{S}_S(B) \) 5. Спајањем темена добија се паралелограм \( ABCD \).