\( AC = 6 \text{ cm} \), \( \angle BAC = 15^\circ \), \( \angle BCA = 60^\circ \)
\( \triangle ABC \cong \triangle CDA \) (УСУ)
1. \( AC = 6 \text{ cm} \)
2. \( \angle CAx = 15^\circ \)
3. \( \angle ACy = 60^\circ \)
4. \( Ax \cap Cy = \{B\} \)
5. \( \angle CAz = 60^\circ \) (са супротне стране \( AC \) у односу на \( B \))
6. \( \angle ACt = 15^\circ \) (са супротне стране \( AC \) у односу на \( B \))
7. \( Az \cap Ct = \{D\} \)
8. \( ABCD \) је тражени паралелограм
Детаљно решење
Анализа паралелограма
Да бисмо конструисали паралелограм \( ABCD \), користићемо чињеницу да дијагонала \( AC \) дели паралелограм на два подударна троугла: \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \).
Основна својства која ћемо применити су:
- У троуглу \( \triangle ABC \) позната је страница \( AC = 6 \text{ cm} \) и два угла на њој: \( \angle BAC = 15^\circ \) и \( \angle BCA = 60^\circ \). Овај троугао можемо конструисати применом става УСУ (Угао-Страница-Угао).
- Наспрамне странице паралелограма су паралелне (\( AB || CD \) и \( BC || AD \)).
- На основу својстава паралелних правих и трансверзале \( AC \), наизменични углови су једнаки: \( \angle ACD = \angle BAC = 15^\circ \) и \( \angle CAD = \angle BCA = 60^\circ \).
Скица паралелограма ABCD са уцртаном дијагоналом AC дужине 6 cm. Угао код темена A између страница AB и AC износи 15 степени. Угао код темена C између страница BC и AC износи 60 степени. Теме B се налази са једне стране дијагонале, а теме D са друге стране тако да су углови наизменични.
Конструкција
1. Конструишемо дуж \( AC = 6 \text{ cm} \).
2. Конструишемо углове од \( 15^\circ \) и \( 60^\circ \). Угао од \( 60^\circ \) конструишемо као угао једнакостраничног троугла, а угао од \( 15^\circ \) добијамо двоструком бисекцијом угла од \( 60^\circ \) (\( 60^\circ \rightarrow 30^\circ \rightarrow 15^\circ \)).
3. Са једне стране дужи \( AC \):
- У темену \( A \) пренесемо угао од \( 15^\circ \). Обележимо тај крак са \( p \).
- У темену \( C \) пренесемо угао од \( 60^\circ \). Обележимо тај крак са \( q \).
- Пресек кракова \( p \) и \( q \) је теме \( B \).
4. Са друге стране дужи \( AC \):
- У темену \( A \) пренесемо угао од \( 60^\circ \). Обележимо тај крак са \( r \).
- У темену \( C \) пренесемо угао од \( 15^\circ \). Обележимо тај крак са \( s \).
- Пресек кракова \( r \) и \( s \) је теме \( D \).
5. Спајањем тачака \( A, B, C, D \) добијамо тражени паралелограм.
Доказ
По конструкцији је \( \angle BAC = \angle ACD = 15^\circ \) и \( \angle BCA = \angle CAD = 60^\circ \). Како су наизменични углови једнаки, следи да је \( AB || CD \) и \( BC || AD \). Четвороугао са два пара паралелних страница је паралелограм.
Кратак запис решења:
\( AC = 6 \text{ cm} \), \( \angle BAC = 15^\circ \), \( \angle BCA = 60^\circ \)
1. \( AC = 6 \text{ cm} \)
2. \( \triangle ABC \): \( \angle A = 15^\circ, \angle C = 60^\circ \rightarrow B \)
3. \( \triangle ADC \): \( \angle A = 60^\circ, \angle C = 15^\circ \rightarrow D \)
4. \( ABCD \) је паралелограм
Најважније из лекције
Свака дијагонала дели паралелограм на два подударна троугла, па се конструкција паралелограма своди на конструкцију троугла. Прво се, на основу датих елемената (странице и угао), конструише троугао \( ABD \) неком од основних конструкција (СУС, УСУ, ССС или ССУ), а затим се одреди центар симетрије \( S \) (средиште дијагонале \( BD \)) и тачка \( C \) као централносиметрична слика тачке \( A \) у односу на \( S \). Тиме се добија четврто теме и допуни паралелограм \( ABCD \).
Дијагонала дели паралелограм на два троугла, па конструкцију паралелограма сводимо на конструкцију троугла \( ABD \), а затим га допуњавамо до паралелограма.
Троугао конструишемо на основу датих елемената једном од основних конструкција: СУС, УСУ, ССС или ССУ.
Ако су дате две суседне странице и угао између њих \( (AB,\ DA,\ \angle BAD) \):
конструиши троугао \( ABD \) по датим елементима;
конструиши средиште \( S \) дужи \( BD \);
конструиши тачку \( C \) централносиметричну тачки \( A \) у односу на \( S \);
конструиши странице \( BC \) и \( CD \) — добија се паралелограм \( ABCD \).
За задате \( AB=4\,\text{cm} \), \( DA=3\,\text{cm} \) и \( \angle BAD=30^\circ \) задатак има тачно једно решење.
Ромб је посебан паралелограм; за дате страницу и дијагоналу конструише се троугао ССС конструкцијом, па се допуни до ромба.
Пријава грешке
Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:
