Странице и елементи фигуре \( EFGH \):
\( EF = a = 5 \text{ cm} \)
\( G \in k(E, d=6 \text{ cm}) \cap k(F, a=5 \text{ cm}) \implies EG = 6 \text{ cm}, FG = 5 \text{ cm} \)
Тачка \( H \) је осно симетрична тачки \( F \) у односу на \( EG \):
\( EH = EF = 5 \text{ cm} \)
\( GH = FG = 5 \text{ cm} \)
Својства страница:
\( EF = FG = GH = HE = 5 \text{ cm} \)
Закључак:
Пошто су све странице једнаке, четвороугао \( EFGH \) је ромб.
Детаљно решење
Анализа корака конструкције
Да бисмо одредили који је паралелограм Павле конструисао, испитаћемо особине фигуре \( EFGH \) корак по корак:
1. **Корак 2:** Павле је конструисао дуж \( EF = a = 5 \text{ cm} \). Ово је прва страница четвороугла.
2. **Корак 3:** Тачка \( G \) је одређена као пресек два лука:
- \( k_1(E, d = 6 \text{ cm}) \), што значи да је растојање \( EG = 6 \text{ cm} \).
- \( k_2(F, a = 5 \text{ cm}) \), што значи да је растојање \( FG = 5 \text{ cm} \).
У овом тренутку имамо троугао \( EFG \) чије су странице \( EF = 5 \text{ cm} \), \( FG = 5 \text{ cm} \) и \( EG = 6 \text{ cm} \). Приметимо да је \( EF = FG \), што значи да је овај троугао једнакокрак.
3. **Корак 4:** Тачка \( H \) је конструисана као осно симетрична тачки \( F \) у односу на праву \( EG \). Осна симетрија чува растојања, па важи:
- \( EH = EF = 5 \text{ cm} \)
- \( GH = FG = 5 \text{ cm} \)
Осим тога, права \( EG \) је оса симетрије фигуре \( EFGH \).
Испитивање особина добијене фигуре
На основу конструисаних тачака, за странице четвороугла \( EFGH \) важи:
\[ EF = 5 \text{ cm} \]
\[ FG = 5 \text{ cm} \]
\[ GH = 5 \text{ cm} \]
\[ HE = 5 \text{ cm} \]
Дакле, све четири странице четвороугла су међусобно једнаке (\( EF = FG = GH = HE = 5 \text{ cm} \)).
Закључак
Паралелограм који има све четири странице једнаке назива се ромб.
Дуж \( EG = 6 \text{ cm} \) у овом случају представља једну од дијагонала тог ромба. Како су странице \( 5 \text{ cm} \), а дијагонала \( 6 \text{ cm} \), ова фигура није квадрат (код квадрата би дијагонала морала бити дужа у односу на страницу), већ општи случај ромба.
Упутство за цртеж:
1. Нацртати хоризонталну дуж EF дужине 5 cm.
2. Користећи шестар, описати лук из тачке E полупречника 6 cm и лук из тачке F полупречника 5 cm. Пресек је тачка G (изнад дужи EF).
3. Спојити F и G.
4. Конструисати тачку H симетричну тачки F у односу на дијагоналу EG. То се ради тако што се из тачке E опише лук полупречника 5 cm (испод EG) и из тачке G лук полупречника 5 cm. Пресек је тачка H.
5. Спојити тачке E, F, G и H у четвороугао.
Свака дијагонала дели паралелограм на два подударна троугла, па се конструкција паралелограма своди на конструкцију троугла. Прво се, на основу датих елемената (странице и угао), конструише троугао \( ABD \) неком од основних конструкција (СУС, УСУ, ССС или ССУ), а затим се одреди центар симетрије \( S \) (средиште дијагонале \( BD \)) и тачка \( C \) као централносиметрична слика тачке \( A \) у односу на \( S \). Тиме се добија четврто теме и допуни паралелограм \( ABCD \).
Дијагонала дели паралелограм на два троугла, па конструкцију паралелограма сводимо на конструкцију троугла \( ABD \), а затим га допуњавамо до паралелограма.
Троугао конструишемо на основу датих елемената једном од основних конструкција: СУС, УСУ, ССС или ССУ.
Ако су дате две суседне странице и угао између њих \( (AB,\ DA,\ \angle BAD) \):
конструиши троугао \( ABD \) по датим елементима;
конструиши средиште \( S \) дужи \( BD \);
конструиши тачку \( C \) централносиметричну тачки \( A \) у односу на \( S \);
конструиши странице \( BC \) и \( CD \) — добија се паралелограм \( ABCD \).
За задате \( AB=4\,\text{cm} \), \( DA=3\,\text{cm} \) и \( \angle BAD=30^\circ \) задатак има тачно једно решење.
Ромб је посебан паралелограм; за дате страницу и дијагоналу конструише се троугао ССС конструкцијом, па се допуни до ромба.
Пријава грешке
Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:
