\( AB = 2,5 \text{ cm}, AD = 1,5 \text{ cm}, BD = 2 \text{ cm} \)
\( AD = BC = 1,5 \text{ cm}, AC = BD = 2 \text{ cm} \) (својства једнакокраког трапеза)
1. \( AB = 2,5 \text{ cm} \)
2. \( k_1(A, r = 1,5 \text{ cm}) \cap k_2(B, r = 2 \text{ cm}) = \{D\} \)
3. \( k_3(A, r = 2 \text{ cm}) \cap k_4(B, r = 1,5 \text{ cm}) = \{C\} \)
4. \( ABCD \) је тражени једнакокраки трапез
Детаљно решење
Анализа
Једнакокраки трапез \( ABCD \) има следећа својства:
- Основице \( AB \) и \( CD \) су паралелне (\( AB \parallel CD \)).
- Краци су једнаки (\( AD = BC = 1,5 \text{ cm} \)).
- Дијагонале су једнаке (\( AC = BD = 2 \text{ cm} \)).
Дати су нам:
- \( AB = 2,5 \text{ cm} \)
- \( AD = 1,5 \text{ cm} \)
- \( BD = 2 \text{ cm} \)
Примећујемо да су у троуглу \( \triangle ABD \) познате све три странице (\( AB \), \( AD \), \( BD \)). Након што конструишемо овај троугао, теме \( C \) можемо наћи користећи чињеницу да је \( BC = AD = 1,5 \text{ cm} \) и \( AC = BD = 2 \text{ cm} \). Такође, тачка \( C \) мора да лежи на правој која пролази кроз теме \( D \) и паралелна је са \( AB \).
Скица једнакокраког трапеза ABCD. Доња основица AB је дужине 2,5 cm. Крак AD на левој страни је 1,5 cm. Дијагонала BD која повезује доње лево и горње десно теме је 2 cm. Теме C је десно од D на истој висини. Крак BC је 1,5 cm, а дијагонала AC је 2 cm.
Конструкција
1. Конструишемо дуж \( AB = 2,5 \text{ cm} \).
2. Конструишемо троугао \( \triangle ABD \):
- Опишемо кружни лук \( k_1(A, 1,5 \text{ cm}) \).
- Опишемо кружни лук \( k_2(B, 2 \text{ cm}) \).
- Пресек \( k_1 \cap k_2 \) је теме \( D \).
3. Конструишемо теме \( C \):
- Пошто је трапез једнакокраки, \( AC = BD = 2 \text{ cm} \). Опишемо кружни лук \( k_3(A, 2 \text{ cm}) \).
- Пошто је \( BC = AD = 1,5 \text{ cm} \), опишемо кружни лук \( k_4(B, 1,5 \text{ cm}) \).
- Пресек \( k_3 \cap k_4 \) је теме \( C \).
4. Спајањем тачака \( A, B, C, D \) добијамо тражени једнакокраки трапез.
Доказ
По конструкцији је \( AB = 2,5 \text{ cm} \). Дужи \( AD \) и \( BC \) су једнаке \( 1,5 \text{ cm} \), па су краци једнаки. Такође, \( BD = AC = 2 \text{ cm} \), што су једнаке дијагонале. Четвороугао са једнаким крацима и једнаким дијагоналама је једнакокраки трапез.
Кратак запис решења:
\( AB = 2,5 \text{ cm}, AD = BC = 1,5 \text{ cm}, AC = BD = 2 \text{ cm} \)
1. \( AB = 2,5 \text{ cm} \)
2. \( D: k(A, 1,5) \cap k(B, 2) \)
3. \( C: k(A, 2) \cap k(B, 1,5) \)
4. Спојити \( A, B, C, D \).
Најважније из лекције
Трапез је четвороугао који има тачно један пар паралелних страница. Паралелне странице зову се основице \( (AB,\ CD) \), а друге две странице краци \( (BC,\ DA) \). Висина трапеза је растојање између основица, тј. дуж нормална на обе основице. Углови на истом краку су суплементни, па важи \( \alpha+\delta=180^\circ \) и \( \beta+\gamma=180^\circ \). Обим се рачуна као збир свих страница.
Трапез је четвороугао који има тачно један пар паралелних страница.
Основице су паралелне странице \( AB \) и \( CD \); краци су непаралелне странице \( BC \) и \( DA \).
Висина трапеза је дуж чији су крајеви на основицама, а која је нормална на обе основице; њена дужина једнака је растојању између паралелних основица.
Пример: ако је \( \alpha=38^\circ \) и \( \beta=124^\circ \), онда је \( \delta=180^\circ-38^\circ=142^\circ \) и \( \gamma=180^\circ-124^\circ=56^\circ \).
Пријава грешке
Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:
