VI.7. Трапез

Корак 1: Анализа података са слике и уочавање трапеза

На слици 7.19 приказана су четири паралелна сегмента: \(AB\), \(CD\), \(EF\) и \(GH\), при чему важи \(AB \parallel CD \parallel EF \parallel GH\). Дате су дужине: \[ AB = 50\text{ cm} \] \[ EF = 32\text{ cm} \] \[ CD = x \] \[ GH = y \] Такође је дато да су одсечци на бочним ивицама једнаки: \[ AD = DF = FH \] \[ BC = CE = EG \] Посматрајмо четвороугао \(ABEF\). Пошто су странице \(AB\) и \(EF\) паралелне, четвороугао \(ABEF\) је трапез са основицама \(AB\) и \(EF\). Тачка \(D\) је средиште дужи \(AF\) јер је \(AD = DF\), а тачка \(C\) је средиште дужи \(BE\) јер је \(BC = CE\). То значи да је дуж \(CD\) средња линија трапеза \(ABEF\).

Корак 2: Израчунавање дужине дужи \(x\)

Средња линија трапеза једнака је полузбиру његових основица: \[ CD = \frac{AB + EF}{2} \] Уврстимо познате вредности: \[ x = \frac{50 + 32}{2} \] \[ x = \frac{82}{2} \] \[ x = 41\text{ cm} \]

Корак 3: Анализа трапеза \(CDHG\) и одређивање дужине дужи \(y\)

Посматрајмо четвороугао \(CDHG\). Његове основице су \(CD\) и \(GH\) јер је \(CD \parallel GH\). Како је \(DF = FH\) и \(CE = EG\), тачка \(F\) је средиште дужи \(DH\), а тачка \(E\) је средиште дужи \(CG\). Дакле, дуж \(EF\) представља средњу линију трапеза \(CDHG\). Формула за средњу линију трапеза \(CDHG\) гласи: \[ EF = \frac{CD + GH}{2} \] Уврстимо вредности \(EF = 32\text{ cm}\), \(CD = 41\text{ cm}\) и \(GH = y\): \[ 32 = \frac{41 + y}{2} \] Множењем обе стране једнакости бројем \(2\), добијамо: \[ 41 + y = 32 \cdot 2 \] \[ 41 + y = 64 \] \[ y = 64 - 41 \] \[ y = 23\text{ cm} \]

\[ x = \frac{AB + EF}{2} = \frac{50 + 32}{2} = \frac{82}{2} = 41\text{ cm} \] \[ EF = \frac{x + y}{2} \Rightarrow 32 = \frac{41 + y}{2} \] \[ 41 + y = 64 \Rightarrow y = 64 - 41 = 23\text{ cm} \]