VI.7. Трапез

На основу слике и текста задатка, имамо неколико трапеза чије су основице паралелне, а краци подељени на једнаке делове.

Корак 1: Анализа слике и својства средње линије

Дата је слика 7.19 на којој су дужи \(AB\), \(CD\), \(EF\) и \(GH\) паралелне. Такође, знамо да су делови кракова једнаки: \(AD = DF = FH\) и \(BC = CE = EG\). Ово значи да су тачке \(D\) и \(C\) средишта кракова \(AF\) и \(BE\) у трапезу \(ABEF\). Исто тако, тачке \(F\) и \(E\) су средишта кракова \(DH\) и \(CG\) у трапезу \(CDGH\). Према дефиницији, дуж која спаја средишта кракова трапеза назива се средња линија трапеза. Њена дужина је једнака аритметичкој средини дужина основица: \[ m = \frac{a + b}{2} \]

Корак 2: Израчунавање дужине дужи \(x\) (дуж \(CD\))

Посматрајмо трапез \(ABEF\). Његове основице су \(AB = 50 \text{ cm}\) и \(EF = 32 \text{ cm}\). Пошто су \(D\) и \(C\) средишта кракова, дуж \(CD\) (коју тражимо као \(x\)) је средња линија тог трапеза. \[ x = \frac{AB + EF}{2} \] \[ x = \frac{50 \text{ cm} + 32 \text{ cm}}{2} \] \[ x = \frac{82 \text{ cm}}{2} = 41 \text{ cm} \]

Корак 3: Израчунавање дужине дужи \(y\) (дуж \(GH\))

Sada посматрајмо трапез \(CDGH\). У овом трапезу, дуж \(EF\) је средња линија јер спаја средишта кракова \(DH\) и \(CG\). Његове основице су \(CD = x = 41 \text{ cm}\) и \(GH = y\). Користимо формулу за средњу линију \(EF\): \[ EF = \frac{CD + GH}{2} \] \[ 32 = \frac{41 + y}{2} \]

Корак 4: Решавање једначине по \(y\)

Множимо целу једначину са 2 да бисмо се ослободили разломка: \[ 32 \cdot 2 = 41 + y \] \[ 64 = 41 + y \] \[ y = 64 - 41 \] \[ y = 23 \text{ cm} \] Дакле, дужине тражених дужи су \(x = 41 \text{ cm}\) и \(y = 23 \text{ cm}\).

\( x = \frac{AB + EF}{2} = \frac{50 + 32}{2} = \frac{82}{2} = 41 \text{ cm} \) \( EF = \frac{x + y}{2} \implies 32 = \frac{41 + y}{2} \implies 64 = 41 + y \implies y = 23 \text{ cm} \)