\( h = 4 \text{ cm} \), \( \beta = 45^\circ \)
\( CE \perp AB \Rightarrow CE = h = 4 \text{ cm} \)
\( AECD \) је правоугаоник \( \Rightarrow AE = CD = b \)
\( \triangle EBC \): \( \angle CEB = 90^\circ \), \( \angle EBC = 45^\circ \)
\( \angle BCE = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 45^\circ \)
\( \angle EBC = \angle BCE \Rightarrow \triangle EBC \) је једнакокраки
\( EB = CE = 4 \text{ cm} \)
\( a = AE + EB = b + EB \)
\( a - b = EB = 4 \text{ cm} \)
Детаљно решење
Анализа правоуглог трапеза
Нека је \( ABCD \) правоугли трапез са основицама \( AB = a \) и \( CD = b \). Код правоуглог трапеза, један крак је нормалан на основице. Нека је то крак \( AD \), што значи да је \( AD = h = 4 \text{ cm} \). Оштар угао трапеза је у темену \( B \), па је \( \angle ABC = \beta = 45^\circ \).
Да бисмо одредили разлику основица \( a - b \), повуцимо висину из темена \( C \) на основицу \( AB \). Нека је подножје те висине тачка \( E \).
Нацртај правоугли трапез ABCD где је теме А доле лево, а теме B доле десно. Угао код темена А и D је 90 степени. Из темена C спусти нормалу (висину h) на страницу AB и обележи подножје са E. Угао код темена B означи са 45 степени. Дуж AE је једнака горњој основици b, а дуж EB представља разлику основица a-b.
Својства помоћног правоуглог троугла
Повлачењем висине \( CE \), четвороугао \( AECD \) постаје правоугаоник. Из тога следи:
1. \( CE = AD = h = 4 \text{ cm} \).
2. \( AE = CD = b \).
Посматрајмо правоугли троугао \( EBC \). У овом троуглу је:
- \( \angle CEB = 90^\circ \) (јер је \( CE \) висина),
- \( \angle EBC = 45^\circ \) (дато у задатку).
Збир углова у троуглу је \( 180^\circ \), па је трећи угао \( \angle BCE \):
\[ \angle BCE = 180^\circ - (90^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \]
Пошто су углови на дужи \( BC \) једнаки (\( 45^\circ \)), троугао \( EBC \) је једнакокрако-правоугли. Код једнакокраког троугла, странице наспрам једнаких углова су једнаке, па је:
\[ EB = CE = 4 \text{ cm} \]
Израчунавање разлике основица
Основица \( a \) је збир дужи \( AE \) и \( EB \):
\[ a = AE + EB \]
Пошто је \( AE = b \), имамо:
\[ a = b + EB \]
\[ a - b = EB \]
Како смо већ израчунали да је \( EB = 4 \text{ cm} \), закључујемо да је разлика основица:
\[ a - b = 4 \text{ cm} \]
Разлика основица правоуглог трапеза са оштрим углом од \( 45^\circ \) једнака је његовој висини.
Кратак запис решења:
\( h = 4 \text{ cm}, \beta = 45^\circ \)
\( CE = h = 4 \text{ cm}, AE = b \)
\( \triangle EBC: \angle B = 45^\circ, \angle E = 90^\circ \Rightarrow \angle C = 45^\circ \)
\( EB = CE = 4 \text{ cm} \)
\( a - b = (AE + EB) - AE = EB = 4 \text{ cm} \)
Најважније из лекције
Трапез је четвороугао који има тачно један пар паралелних страница. Паралелне странице зову се основице \( (AB,\ CD) \), а друге две странице краци \( (BC,\ DA) \). Висина трапеза је растојање између основица, тј. дуж нормална на обе основице. Углови на истом краку су суплементни, па важи \( \alpha+\delta=180^\circ \) и \( \beta+\gamma=180^\circ \). Обим се рачуна као збир свих страница.
Трапез је четвороугао који има тачно један пар паралелних страница.
Основице су паралелне странице \( AB \) и \( CD \); краци су непаралелне странице \( BC \) и \( DA \).
Висина трапеза је дуж чији су крајеви на основицама, а која је нормална на обе основице; њена дужина једнака је растојању између паралелних основица.
Пример: ако је \( \alpha=38^\circ \) и \( \beta=124^\circ \), онда је \( \delta=180^\circ-38^\circ=142^\circ \) и \( \gamma=180^\circ-124^\circ=56^\circ \).
Пријава грешке
Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:
