Најважније из лекције
Табела кључних правила за логичке везнике:
- Негација (\( \neg \)): Мења вредност у супротну.
- Конјункција (\( \land \)): „И” — тачна искључиво када су оба исказа тачна.
- Дисјункција (\( \lor \)): „Или” — нетачна искључиво када су оба исказа нетачна.
- Импликација (\( \Rightarrow \)): „Ако... онда” — нетачна искључиво када из тачног следи нетачно (\( \top \Rightarrow \perp \)).
- Еквиваленција (\( \Leftrightarrow \)): „Ако и само ако” — тачна искључиво када оба исказа имају исту истинитосну вредност.
Исказ је тврдња која може бити искључиво тачна или нетачна.
Исказе означавамо малим словима: \( a, b, c, p, q, r... \)
Истинитосну вредност тачно означавамо са \( \top \), а нетачно са \( \perp \).
Придруживање које исказу додељује његову истинитосну вредност означава се са \( \tau \). Ако је исказ \( p \) тачан, пишемо \( \tau(p) = \top \), а ако је нетачан \( \tau(p) = \perp \).
Реченица „Број 6 је мањи од броја 7” је тачан исказ: \( \tau(p) = \top \).
Реченица „Број 5 је збир бројева 3 и 4” је нетачан исказ: \( \tau(q) = \perp \).
Реченица „Број 5 је збир бројева 3 и 4” је нетачан исказ: \( \tau(q) = \perp \).
Одредите истинитосну вредност исказа \( r \): „Сваки правоугаоник је квадрат.”
Исказ је нетачан јер постоје правоугаоници којима странице нису једнаке (нису квадрати). Дакле, \( \tau(r) = \perp \).
Негација (\( \neg p \)): Чита се „није \( p \)”. Тачна је само ако је полазни исказ нетачан.
Конјункција (\( p \land q \)): Чита се „\( p \) и \( q \)”. Тачна је само ако су оба исказа тачна.
Дисјункција (\( p \lor q \)): Чита се „\( p \) или \( q \)”. Тачна је ако је бар један од исказа тачан (нетачна је само ако су оба нетачна).
Заједничка истинитосна таблица:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\tau(p) & \tau(q) & \tau(\neg p) & \tau(p \land q) & \tau(p \lor q) \\
\hline
\top & \top & \perp & \top & \top \\
\hline
\top & \perp & \perp & \perp & \top \\
\hline
\perp & \top & \top & \perp & \top \\
\hline
\perp & \perp & \top & \perp & \perp \\
\hline
\end{array}
\]
Ако је \( \tau(p) = \top \) и \( \tau(q) = \perp \), одредите истинитосну вредност исказа \( \neg p \lor q \).
Пошто је \( \tau(p) = \top \), онда је \( \tau(\neg p) = \perp \).
Сада тражимо дисјункцију два нетачна исказа: \( \perp \lor \perp \).
Према таблици, резултат је \( \perp \). Дакле, \( \tau(\neg p \lor q) = \perp \).
Сада тражимо дисјункцију два нетачна исказа: \( \perp \lor \perp \).
Према таблици, резултат је \( \perp \). Дакле, \( \tau(\neg p \lor q) = \perp \).
Импликација (\( p \Rightarrow q \)): Чита се „ако \( p \), онда \( q \)”.
У говорном језику се често изражава и као: „из \( p \) следи \( q \)”, „\( p \) је довољан услов за \( q \)”, „\( q \) је потребан услов за \( p \)”.
Импликација је нетачна само у једном случају: када је исказ \( p \) тачан, а исказ \( q \) нетачан (\( \top \Rightarrow \perp \) даје \( \perp \)). У свим осталим случајевима је тачна.
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\tau(p) & \tau(q) & \tau(p \Rightarrow q) \\
\hline
\top & \top & \top \\
\hline
\top & \perp & \perp \\
\hline
\perp & \top & \top \\
\hline
\perp & \perp & \top \\
\hline
\end{array}
\]
Одредите истинитосну вредност исказа: „Ако је \( 2 > 5 \), онда је \( 3 + 3 = 6 \).”
Нека је \( p \) исказ „\( 2 > 5 \)”, он је нетачан (\( \perp \)).
Нека је \( q \) исказ „\( 3 + 3 = 6 \)”, он је тачан (\( \top \)).
Импликација гласи \( \perp \Rightarrow \top \), што је према правилу тачно (\( \top \)).
Нека је \( q \) исказ „\( 3 + 3 = 6 \)”, он је тачан (\( \top \)).
Импликација гласи \( \perp \Rightarrow \top \), што је према правилу тачно (\( \top \)).
Еквиваленција (\( p \Leftrightarrow q \)): Чита се „\( p \) ако и само ако \( q \)”. Представља конјункцију две обратне импликације.
Изражава се и као: „\( p \) је еквивалентно са \( q \)”, или „\( p \) је потребан и довољан услов за \( q \)”.
Еквиваленција је тачна ако оба исказа имају исту истинитосну вредност (оба су тачна или оба нетачна). Ако су им вредности различите, еквиваленција је нетачна.
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\tau(p) & \tau(q) & \tau(p \Leftrightarrow q) \\
\hline
\top & \top & \top \\
\hline
\top & \perp & \perp \\
\hline
\perp & \top & \perp \\
\hline
\perp & \perp & \top \\
\hline
\end{array}
\]
Одредите вредност исказа: „Број 10 је дељив са 2 ако и само ако је број 10 непаран.”
Исказ \( p \) („Број 10 је дељив са 2”) је тачан (\( \top \)).
Исказ \( q \) („Број 10 је непаран”) је нетачан (\( \perp \)).
Еквиваленција \( \top \Leftrightarrow \perp \) је нетачна (\( \perp \)) јер искази имају различите истинитосне вредности.
Исказ \( q \) („Број 10 је непаран”) је нетачан (\( \perp \)).
Еквиваленција \( \top \Leftrightarrow \perp \) је нетачна (\( \perp \)) јер искази имају различите истинитосне вредности.
Свака сложена реченица може се превести у логичку формулу уочавањем елементарних исказа и логичких везника.
Уочите основне (елементарне) исказе који не садрже везнике и означите их словима (нпр. \( p \), \( q \)).
Уочите логичке везнике (и, или, не, ако...онда) и замените их одговарајућим симболима (\( \land, \lor, \neg, \Rightarrow, \Leftrightarrow \)).
Реченица: „Ако Милена наследи новац и не оде на море, онда ће она купити стан.”
Елементарни искази:
\( p \): Милена наслеђује новац.
\( q \): Милена иде на море.
\( r \): Милена купује стан.
Логичка структура: \( (p \land \neg q) \Rightarrow r \)
Елементарни искази:
\( p \): Милена наслеђује новац.
\( q \): Милена иде на море.
\( r \): Милена купује стан.
Логичка структура: \( (p \land \neg q) \Rightarrow r \)
Задаци за вежбање
Лак: Дати су искази \( p \): „\( 5 < 10 \)” и \( q \): „\( 2 \cdot 3 = 5 \)”. Одредите истинитосне вредности за \( p \land q \) и \( p \lor q \).
\( \tau(p) = \top \) (5 јесте мање од 10).
\( \tau(q) = \perp \) (2 пута 3 није 5).
Конјункција (\( \top \land \perp \)) је \( \perp \).
Дисјункција (\( \top \lor \perp \)) је \( \top \).
\( \tau(q) = \perp \) (2 пута 3 није 5).
Конјункција (\( \top \land \perp \)) је \( \perp \).
Дисјункција (\( \top \lor \perp \)) је \( \top \).
Средњи: Нека су дате истинитосне вредности \( \tau(p) = \top \), \( \tau(q) = \perp \) и \( \tau(r) = \perp \). Израчунајте истинитосну вредност сложеног исказа: \( (p \lor q) \Rightarrow \neg r \).
1. Замењујемо вредности: \( (\top \lor \perp) \Rightarrow \neg \perp \)
2. Решавамо заграду (дисјункција): \( \top \lor \perp = \top \)
3. Решавамо негацију: \( \neg \perp = \top \)
4. Решавамо импликацију: \( \top \Rightarrow \top = \top \)
Одговор: Исказ је тачан (\( \top \)).
2. Решавамо заграду (дисјункција): \( \top \lor \perp = \top \)
3. Решавамо негацију: \( \neg \perp = \top \)
4. Решавамо импликацију: \( \top \Rightarrow \top = \top \)
Одговор: Исказ је тачан (\( \top \)).
Тежак: Одредите истинитосну вредност следећег сложеног исказа: \( (10 : 2 = 5 \land 4 - 1 > 5) \Leftrightarrow (2 \cdot 0 = 0 \Rightarrow 1 > 3) \).
Прво одређујемо вредности елементарних исказа:
\( 10 : 2 = 5 \) (\( \top \))
\( 4 - 1 > 5 \) (\( \perp \))
\( 2 \cdot 0 = 0 \) (\( \top \))
\( 1 > 3 \) (\( \perp \))
Записујемо логичку формулу: \( (\top \land \perp) \Leftrightarrow (\top \Rightarrow \perp) \)
Лева заграда (конјункција): \( \top \land \perp = \perp \)
Десна заграда (импликација): \( \top \Rightarrow \perp = \perp \)
Коначна еквиваленција: \( \perp \Leftrightarrow \perp = \top \)
Одговор: Исказ је тачан (\( \top \)).
\( 10 : 2 = 5 \) (\( \top \))
\( 4 - 1 > 5 \) (\( \perp \))
\( 2 \cdot 0 = 0 \) (\( \top \))
\( 1 > 3 \) (\( \perp \))
Записујемо логичку формулу: \( (\top \land \perp) \Leftrightarrow (\top \Rightarrow \perp) \)
Лева заграда (конјункција): \( \top \land \perp = \perp \)
Десна заграда (импликација): \( \top \Rightarrow \perp = \perp \)
Коначна еквиваленција: \( \perp \Leftrightarrow \perp = \top \)
Одговор: Исказ је тачан (\( \top \)).
