Најважније из лекције
Скуп рационалних бројева (\( \mathbb{Q} \)): Састоји се од бројева који се могу записати у облику разломка \( \frac{p}{q} \).
Децимални запис: Сваки разломак може бити коначан (нпр. \( 0,5 \)) или бесконачан периодичан децимални број (нпр. \( 0,333... = 0,(3) \)).
Превођење у разломак: Периодични бројеви се преводе множењем декадним јединицама (на основу дужине претпериода и периода) и одузимањем.
Својства: Операције прате законе комутативности, асоцијативности и дистрибутивности.
Густина: Између свака два рационална броја увек постоји бесконачно много других рационалних бројева.
Децимални запис: Сваки разломак може бити коначан (нпр. \( 0,5 \)) или бесконачан периодичан децимални број (нпр. \( 0,333... = 0,(3) \)).
Превођење у разломак: Периодични бројеви се преводе множењем декадним јединицама (на основу дужине претпериода и периода) и одузимањем.
Својства: Операције прате законе комутативности, асоцијативности и дистрибутивности.
Густина: Између свака два рационална броја увек постоји бесконачно много других рационалних бројева.
Скуп рационалних бројева настаје проширењем скупа целих бројева разломцима. Ово проширење је неопходно како би једначине попут \( 2 \cdot x = 1 \) имале решење.
Означава се великим словом \( \mathbb{Q} \).
Дефиниција скупа рационалних бројева:
\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \mid p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} \right\} \]
Сваки разломак се може представити у децималном запису дељењем бројиоца имениоцем. У зависности од остатка при дељењу, разликујемо два типа децималног записа:
- Коначан децимални запис: Ако се при дељењу појави остатак 0, дељење се завршава. Пример: \( \frac{319}{44} = 7,25 \).
- Бесконачан периодичан децимални запис: Ако се при дељењу никада не појави остатак 0, већ се остаци понављају, долази до понављања одређене групе цифара иза децималне запете. Пример: \( \frac{322}{44} = 7,31818... = 7,3(18) \).
Период: Група цифара која се бесконачно понавља (у примеру изнад то је 18).
Претпериод: Цифра или група цифара која се налази иза децималне запете, али пре првог појављивања периода (у примеру изнад то је 3).
Сваки бесконачан периодичан децимални запис може се претворити у разломак праћењем следећих корака:
Дати број (означимо га са \( x \)) множимо декадном јединицом која има онолико нула колика је дужина претпериода.
Број добијен у првом кораку множимо декадном јединицом која има онолико нула колика је дужина периода.
Одузимамо једначину из првог корака од једначине из другог корака како бисмо поништили бесконачни децимални део, а затим израчунавамо \( x \).
Пример: Претворимо \( 12,1545454... \) у разломак.
\( x = 12,1545454... \) (претпериод има 1 цифру, период има 2 цифре)
Корак 1: Множимо са 10 (јер је дужина претпериода 1).
\( 10x = 121,545454... \)
Корак 2: Множимо добијено са 100 (јер је дужина периода 2).
\( 100 \cdot 10x = 1000x = 12154,545454... \)
Корак 3: Одузимамо:
\( 1000x - 10x = 12154,5454... - 121,5454... \)
\( 990x = 12033 \Rightarrow x = \frac{12033}{990} \)
\( x = 12,1545454... \) (претпериод има 1 цифру, период има 2 цифре)
Корак 1: Множимо са 10 (јер је дужина претпериода 1).
\( 10x = 121,545454... \)
Корак 2: Множимо добијено са 100 (јер је дужина периода 2).
\( 100 \cdot 10x = 1000x = 12154,545454... \)
Корак 3: Одузимамо:
\( 1000x - 10x = 12154,5454... - 121,5454... \)
\( 990x = 12033 \Rightarrow x = \frac{12033}{990} \)
Бесконачни децимални записи код којих се понавља само цифра 9 могу се представити коначним децималним записом. На пример: \( 0,34999... = 0,35 \).
За сабирање и множење рационалних бројева \( x, y, z \in \mathbb{Q} \) важе следећа својства:
- Комутативност: \( x + y = y + x \) и \( x \cdot y = y \cdot x \)
- Асоцијативност: \( (x + y) + z = x + (y + z) \) и \( (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) \)
- Неутрални елемент: За сабирање је \( 0 \) (\( x + 0 = x \)), а за множење је \( 1 \) (\( x \cdot 1 = x \)).
- Инверзни елемент: За сабирање то је супротан број \( -x \) (\( x + (-x) = 0 \)), а за множење то је реципрочан број \( \frac{1}{x} \) (\( x \cdot \frac{1}{x} = 1 \), за \( x \neq 0 \)).
- Дистрибутивност: Множење је дистрибутивно према сабирању: \( (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z \).
Поредак рационалних бројева се најлакше представља на бројевној правој.
Очување поретка:
- Сабирање чува поредак: ако је \( x \le y \), онда је \( x + z \le y + z \).
- Множење позитивним бројем чува поредак: ако је \( x \le y \) и \( 0 \le z \), онда је \( x \cdot z \le y \cdot z \).
- Сабирање чува поредак: ако је \( x \le y \), онда је \( x + z \le y + z \).
- Множење позитивним бројем чува поредак: ако је \( x \le y \) и \( 0 \le z \), онда је \( x \cdot z \le y \cdot z \).
Својство густине: Између свака два различита рационална броја \( x \) и \( y \) (\( x < y \)) постоји бесконачно много других рационалних бројева \( z \), тако да важи \( x < z < y \).
Један такав број је увек њихова аритметичка средина: \( x < \frac{x+y}{2} < y \).
Задаци за вежбање
Лаки ниво: Преведите разломак \( \frac{17}{4} \) у децимални запис и одредите да ли је коначан или бесконачан.
Поделимо бројилац имениоцем:
\( 17 : 4 = 4,25 \)
Одговор: Запис је коначан и износи \( 4,25 \).
\( 17 : 4 = 4,25 \)
Одговор: Запис је коначан и износи \( 4,25 \).
Средњи ниво: Преведите бесконачан периодичан децимални запис \( 0,2(7) \) у облик разломка.
Означимо број са \( x = 0,2777... \)
Корак 1: Дужина претпериода (цифра 2) је 1, па множимо са 10.
\( 10x = 2,777... \)
Корак 2: Дужина периода (цифра 7) је 1, па претходну једначину множимо са 10.
\( 10 \cdot 10x = 100x = 27,777... \)
Корак 3: Одузимамо једначине.
\( 100x - 10x = 27,777... - 2,777... \)
\( 90x = 25 \Rightarrow x = \frac{25}{90} \)
Скраћивањем разломка са 5 добијамо коначан одговор: \( x = \frac{5}{18} \).
Корак 1: Дужина претпериода (цифра 2) је 1, па множимо са 10.
\( 10x = 2,777... \)
Корак 2: Дужина периода (цифра 7) је 1, па претходну једначину множимо са 10.
\( 10 \cdot 10x = 100x = 27,777... \)
Корак 3: Одузимамо једначине.
\( 100x - 10x = 27,777... - 2,777... \)
\( 90x = 25 \Rightarrow x = \frac{25}{90} \)
Скраћивањем разломка са 5 добијамо коначан одговор: \( x = \frac{5}{18} \).
Тежи ниво: Користећи особину аритметичке средине, пронађите један рационалан број који се налази строго између бројева \( \frac{1}{5} \) и \( \frac{1}{4} \).
Према својству густине, број \( z = \frac{x+y}{2} \) се налази између \( x \) и \( y \).
\( z = \frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{4}}{2} \)
Сведемо разломке у бројиоцу на заједнички именилац (20):
\( z = \frac{\frac{4}{20} + \frac{5}{20}}{2} = \frac{\frac{9}{20}}{2} \)
\( z = \frac{9}{40} \)
Одговор: Тражени број је \( \frac{9}{40} \).
\( z = \frac{\frac{1}{5} + \frac{1}{4}}{2} \)
Сведемо разломке у бројиоцу на заједнички именилац (20):
\( z = \frac{\frac{4}{20} + \frac{5}{20}}{2} = \frac{\frac{9}{20}}{2} \)
\( z = \frac{9}{40} \)
Одговор: Тражени број је \( \frac{9}{40} \).
