24. Важне Геометријске Фигуре. Угао И Многоугао

Да бисмо показали да унија и разлика две конвексне фигуре не мора бити конвексна фигура, довољно је да пронађемо по један контрапример. На основу дефиниције, фигура је неконвексна уколико можемо да пронађемо бар две тачке \( A \) и \( B \) које припадају тој фигури, такве да цела дуж \( AB \) не припада тој фигури, односно важи \( AB \not\subseteq \text{фигура} \).

Унија две конвексне фигуре

Корак 1: Избор конвексних фигура

Нека су дате две конвексне фигуре, правоугаоник \( \Phi \) и правоугаоник \( \Psi \), који се секу тако да њихова унија формира облик латиничног слова „L”. Сваки правоугаоник, сам за себе, представља конвексну фигуру.
Нацртати два правоугаоника који се секу и формирају облик слова "L". Први, вертикални правоугаоник ($\Phi$), нека има доњи леви угао у координатном почетку (0,0), ширину 1 јединицу и висину 4 јединице. Други, хоризонтални правоугаоник ($\Psi$), нека такође има доњи леви угао у координатном почетку (0,0), ширину 3 јединице и висину 1 јединицу. Њихова унија, која представља облик слова "L", треба да буде осенчена истом бојом. У горњем делу вертикалног правоугаоника ($\Phi$), у његовој унутрашњости, означити тачку A на координатама (0.5, 3.5). У десном крају хоризонталног правоугаоника ($\Psi$), у његовој унутрашњости, означити тачку B на координатама (2.5, 0.5). Повући дуж AB. Део дужи AB који пролази кроз празан простор, који није део осенчене L-области (тј. кроз регију `x > 1` и `y > 1`), нагласити испрекиданом линијом, док остатак дужи AB треба да буде пуна линија.

Корак 2: Примена дефиниције конвексности на унију

Унија ових фигура, скуп \( \Phi \cup \Psi \), обухвата све тачке које припадају бар једном од правоугаоника. Изаберимо тачку \( A \) која припада само горњем делу правоугаоника \( \Phi \) и тачку \( B \) која припада само крајњем десном делу правоугаоника \( \Psi \). Обе тачке припадају нашој унији: \[ A, B \in \Phi \cup \Psi \] Међутим, када повучемо дуж \( AB \), на скици се јасно види да један део те дужи пролази кроз празан простор који се налази ван наше фигуре у облику слова „L”. То значи да цела дуж није подскуп уније: \[ AB \not\subseteq \Phi \cup \Psi \] Овим смо показали да унија две конвексне фигуре не мора бити конвексна фигура.

Разлика две конвексне фигуре

Корак 1: Избор конвексних фигура

Нека су дате две конвексне фигуре: велики круг \( \Phi \) и мањи круг \( \Psi \) који се у потпуности налази унутар великог круга. Оба круга појединачно испуњавају услове за конвексне фигуре.
Нацртати две концентричне кружнице са центром у координатном почетку (0,0). Већа кружница, која дефинише круг \Phi, има полупречник R. Мања кружница, која дефинише круг \Psi, има полупречник r, при чему је r < R. Осенчити област кружног прстена (анулуса) која представља разлику \Phi \setminus \Psi, односно све тачке које припадају кругу \Phi, али не припадају кругу \Psi. Ова област треба да буде испуњена светлом нијансом сиве боје. Круг \Psi унутар круга \Phi треба да остане неосенчен. На осенченом кружном прстену, означити тачку A на левој страни, тачно на координати (-R, 0) (на спољној кружници \Phi). Означити тачку B на десној страни, тачно на координати (R, 0) (такође на спољној кружници \Phi). Повући праву линију која спаја тачке A и B. Делови дужи AB који се налазе унутар осенченог кружног прстена (од тачке A до тачке (-r,0) и од тачке (r,0) до тачке B) треба да буду пуне линије. Део дужи AB који пролази кроз неосенчени унутрашњи круг \Psi (тј. од тачке (-r, 0) до тачке (r, 0), кроз "рупу") треба да буде приказан испрекиданом линијом.

Корак 2: Примена дефиниције конвексности на разлику

Разлика ових фигура, скуп \( \Phi \setminus \Psi \), представља све тачке које припадају великом кругу, али не припадају малом. Овај скуп визуелно представља кружни прстен (круг са рупом). Изаберимо тачку \( A \) на левој страни прстена и тачку \( B \) на десној страни прстена. Обе тачке се налазе у осенченом делу, па припадају разлици: \[ A, B \in \Phi \setminus \Psi \] Ако повучемо дуж \( AB \), њен средишњи део пролазиће кроз мањи круг \( \Psi \) (кроз „рупу”), који није део нашег скупа \( \Phi \setminus \Psi \). Дакле, цела дуж није подскуп разлике: \[ AB \not\subseteq \Phi \setminus \Psi \] Овим смо показали да разлика две конвексне фигуре не мора бити конвексна фигура.

Унија: За два правоугаоника \( \Phi \) и \( \Psi \) који се секу у облику слова "L", постоје тачке \( A, B \in \Phi \cup \Psi \) на њиховим крајевима такве да \( AB \not\subseteq \Phi \cup \Psi \) јер средњи део дужи пролази ван фигуре. Дакле, унија не мора бити конвексна. Разлика: За круг \( \Phi \) и мањи круг \( \Psi \) унутар њега, разлика \( \Phi \setminus \Psi \) је кружни прстен. За тачке \( A, B \in \Phi \setminus \Psi \) на супротним странама прстена, део дужи \( AB \) пролази кроз "рупу" \( \Psi \), па важи \( AB \not\subseteq \Phi \setminus \Psi \). Дакле, разлика не мора бити конвексна.