Најважније из лекције
Конвексност: Фигура је конвексна ако дуж која спаја било које њене две тачке у целости лежи унутар ње. Пресек конвексних фигура је конвексан.
Угао: Чине га теме, краци (две полуправе) и једна од области на које угаона линија дели раван.
Многоугао: Затворена фигура ограничена многоугаоном линијом. Дијагонала је дуж која спаја два несуседна темена.
Број дијагонала: Рачуна се помоћу формуле \( D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \). Из сваког темена излази \( n - 3 \) дијагонала.
Угао: Чине га теме, краци (две полуправе) и једна од области на које угаона линија дели раван.
Многоугао: Затворена фигура ограничена многоугаоном линијом. Дијагонала је дуж која спаја два несуседна темена.
Број дијагонала: Рачуна се помоћу формуле \( D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \). Из сваког темена излази \( n - 3 \) дијагонала.
Под геометријском фигуром подразумевамо било који скуп тачака. Фигуре означавамо великим грчким словима: \( \Phi \), \( \Psi \), \( \Sigma \)...
Фигура је конвексна уколико за сваке две тачке \( A \) и \( B \) које припадају фигури, цела дуж \( AB \) такође припада тој фигури (\( AB \subseteq \Phi \)).
Фигура је неконвексна ако постоје две тачке унутар ње такве да део дужи која их спаја излази ван фигуре (\( AB \not\subseteq \Phi \)).
Пресек било које две конвексне фигуре је такође конвексна фигура.
Фигура је равна уколико је подскуп неке равни. Права, раван, дуж, полуправа и полураван су равне и конвексне фигуре.
Да ли замишљени облик слова "С" представља конвексну или неконвексну фигуру?
Одговор: Облик слова "С" је неконвексна фигура. Ако изаберемо две тачке на њеним горњим и доњим крајевима, дуж која их спаја пролазиће кроз "празан простор" који не припада фигури.
Угаона линија је унија две различите полуправе са заједничким почетком.
- Теме: Заједнички почетак полуправих (нпр. тачка \( O \)).
- Краци: Сами те полуправе (нпр. \( Op \) и \( Oq \)).
Угаону линију означавамо са \( \angle pOq \).
Свака угаона линија дели раван на два скупа тачака. Угао је унија угаоне линије и једног од та два скупа тачака.
Изабрани угао означавамо са \( \sphericalangle pOq \). Најчешће се посматра конвексни угао.
Ако полуправе леже на истој правој, оне одређују две полуравни. Сваку од тих полуравни називамо опруженим углом.
Унија дужи \( A_1A_2, A_2A_3, ..., A_nA_1 \), где сваке три узастопне тачке нису на истој правој и несуседне странице се не секу, назива се многоугаона линија.
- Темена: Дате тачке (\( A_1, A_2... \)). Крајње тачке исте странице су суседна темена.
- Странице: Дужи које спајају темена. Две странице са заједничким теменом су суседне странице.
Многоугао је унија многоугаоне линије и њене унутрашње области.
Многоугао са \( n \) темена (и \( n \) страница) називамо \( n \)-тоуглом (троугао, четвороугао, петоугао...).
Дуж која спаја несуседна темена многоугла назива се дијагонала.
Укупан број свих дијагонала \( n \)-тоугла, у ознаци \( D_n \), рачуна се по формули:
\[ D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \]
1. Из сваког од \( n \) темена може се повући дијагонала ка свим осталим теменима, осим ка самом себи и два суседна темена. То је \( n - 3 \) дијагонала по темену.
2. Укупан број таквих потеза је \( n(n - 3) \).
3. Пошто свака дијагонала спаја два темена, у овом производу је свака урачуната два пута. Зато производ делимо са 2.
2. Укупан број таквих потеза је \( n(n - 3) \).
3. Пошто свака дијагонала спаја два темена, у овом производу је свака урачуната два пута. Зато производ делимо са 2.
За петоугао (\( n = 5 \)):
Из сваког темена полазе \( 5 - 3 = 2 \) дијагонале.
Укупан број дијагонала је: \( D_5 = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 \).
Из сваког темена полазе \( 5 - 3 = 2 \) дијагонале.
Укупан број дијагонала је: \( D_5 = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5 \).
Задаци за вежбање
Лак: Одреди укупан број дијагонала седмоугла (\( n = 7 \)).
Користимо формулу \( D_n = \frac{n(n - 3)}{2} \).
\( D_7 = \frac{7(7 - 3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14 \).
Одговор: Седмоугао има укупно 14 дијагонала.
\( D_7 = \frac{7(7 - 3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = \frac{28}{2} = 14 \).
Одговор: Седмоугао има укупно 14 дијагонала.
Средњи: Из сваког темена једног многоугла може се конструисати тачно 6 дијагонала. Колико страница има тај многоугао и колики је укупан број његових дијагонала?
Број дијагонала из једног темена је \( n - 3 \). Дато је да је \( n - 3 = 6 \), одакле следи да је \( n = 9 \). Дакле, у питању је деветоугао (има 9 страница).
Укупан број дијагонала је \( D_9 = \frac{9 \cdot 6}{2} = \frac{54}{2} = 27 \).
Одговор: Многоугао има 9 страница и укупно 27 дијагонала.
Укупан број дијагонала је \( D_9 = \frac{9 \cdot 6}{2} = \frac{54}{2} = 27 \).
Одговор: Многоугао има 9 страница и укупно 27 дијагонала.
Тежак: Број свих дијагонала неког многоугла је два пута већи од броја његових страница. О ком многоуглу је реч?
Број страница је \( n \), а број дијагонала \( D_n \). Услов задатка каже да је \( D_n = 2n \).
Заменимо формулу за \( D_n \):
\( \frac{n(n - 3)}{2} = 2n \)
Множимо обе стране са 2:
\( n(n - 3) = 4n \)
Пошто је \( n > 2 \), можемо поделити обе стране са \( n \):
\( n - 3 = 4 \implies n = 7 \).
Одговор: Реч је о седмоуглу.
Заменимо формулу за \( D_n \):
\( \frac{n(n - 3)}{2} = 2n \)
Множимо обе стране са 2:
\( n(n - 3) = 4n \)
Пошто је \( n > 2 \), можемо поделити обе стране са \( n \):
\( n - 3 = 4 \implies n = 7 \).
Одговор: Реч је о седмоуглу.
