\( \Delta ABC: BC = CA, \angle BCA = 70^\circ \)
\( O \) је центар описане кружнице \( \Rightarrow OA = OB = OC = R \)
\[ \angle CAB = \angle ABC = (180^\circ - 70^\circ) : 2 = 110^\circ : 2 = 55^\circ \]
У једнакокраком \( \Delta ABC \), \( CO \) је симетрала \( \angle BCA \)
\[ \angle OCA = \angle OCB = 70^\circ : 2 = 35^\circ \]
\( \Delta COA \) је једнакокраки (\( OC = OA \)) \( \Rightarrow \angle OAC = \angle OCA = 35^\circ \)
\[ \angle OAB = \angle CAB - \angle OAC = 55^\circ - 35^\circ = 20^\circ \]
\( \Delta BOA \) је једнакокраки (\( OA = OB \)) \( \Rightarrow \angle OBA = \angle OAB = 20^\circ \)
\[ \angle BOA = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (20^\circ + 20^\circ) \]
\[ \angle BOA = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \]
Тачан одговор је Г: \( 140^\circ \)
Детаљно решење
Корак 1: Анализа задатих података
У задатку је дат једнакокраки троугао \( \Delta ABC \) са крацима \( BC = CA \). Угао код темена \( C \) је \( \gamma = \angle BCA = 70^\circ \). Тачка \( O \) је центар описане кружнице тог троугла. Треба да одредимо угао \( \angle BOA \).
Корак 2: Цртање скице
Нацртаћемо једнакокраки троугао и његову описану кружницу са центром у тачки \( O \).
Нацртати кружницу са центром у тачки О. Унутар кружнице нацртати једнакокраки троугао ABC тако да темена A, B и C леже на кружници, при чему су дужи AC и BC једнаке. Означити угао код темена C са 70 степени. Повезати центар O са теменима A и B како би се формирао угао BOA.
Корак 3: Својства центра описане кружнице
Центар описане кружнице \( O \) налази се на подједнаком растојању од свих темена троугла. То значи да су дужи \( OA, OB \) и \( OC \) заправо полупречници (\( R \)) те кружнице:
\[ OA = OB = OC = R \]
Због тога су троуглови \( \Delta COA, \Delta COB \) и \( \Delta BOA \) једнакокраки.
Пошто је \( BC = CA \), углови на основици \( AB \) су једнаки: \( \angle CAB = \angle ABC \).
Користимо правило о збиру углова у троуглу (\( 180^\circ \)):
\[ \angle CAB + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ \]
\[ 2 \cdot \angle CAB + 70^\circ = 180^\circ \]
\[ 2 \cdot \angle CAB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \]
\[ \angle CAB = 110^\circ : 2 = 55^\circ \]
Корак 5: Посматрање једнакокраких троуглова унутар кружнице
У троуглу \( \Delta COA \), краци су \( OC = OA \), па су углови \( \angle OCA = \angle OAC \).
У троуглу \( \Delta COB \), краци су \( OC = OB \), па су углови \( \angle OCB = \angle OBC \).
Знамо да је \( \angle OCA + \angle OCB = \angle BCA = 70^\circ \).
Такође, центар \( O \) код једнакокраког троугла лежи на симетритрали угла код темена \( C \), па је:
\[ \angle OCA = \angle OCB = 70^\circ : 2 = 35^\circ \]
Корак 6: Израчунавање угла \( \angle OAB \)
Сада можемо наћи део угла \( \angle CAB \) који припада троуглу \( \Delta BOA \):
\[ \angle OAC = 35^\circ \]
\[ \angle OAB = \angle CAB - \angle OAC = 55^\circ - 35^\circ = 20^\circ \]
Пошто је \( \Delta BOA \) једнакокраки (\( OA = OB \)), важи \( \angle OBA = \angle OAB = 20^\circ \).
Ово је лекција за проверу знања о троуглу. Обнавља се препознавање основних конструкција троугла (СУС, УСУ, ССС, ССУ), услови постојања троугла — неједнакост троугла \( a \lt b+c \) и збир унутрашњих углова \( 180^\circ \), као и уписана и описана кружница (центар уписане је пресек симетрала углова, центар описане је пресек симетрала страница). Циљ је применити та правила на задатке са понуђеним одговорима.
Према датим елементима троугао конструишемо на четири начина: СУС (две странице и угао међу њима), УСУ (страница и два угла на њој), ССС (три странице), ССУ (две странице и угао наспрам једне).
Неједнакост троугла: свака страница мања је од збира друге две, \( a \lt b+c \).
\[ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ \]
За УСУ конструкцију збир датих углова мора бити мањи од \( 180^\circ \).
Центар уписане кружнице јесте пресек симетрала углова троугла; она додирује све три странице.
Центар описане кружнице јесте пресек симетрала страница троугла; она пролази кроз сва три темена.
Свакоме троуглу може се уписати и описати кружница.
Пријава грешке
Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:
