Нацртати кружницу са центром у тачки О. Унутар кружнице нацртати једнакокраки троугао ABC тако да темена A, B и C леже на кружници, при чему су дужи AC и BC једнаке. Означити угао код темена C са 70 степени. Повезати центар O са теменима A и B како би се формирао угао BOA.
1. Одређивање углова на основици троугла \(ABC\)
Троугао \(ABC\) је једнакокрак са крацима \(BC = CA\), што значи да су углови на основици \(AB\) једнаки:
\[ \alpha = \beta \]
Угао при врху троугла једат:
\[ \gamma = \angle BCA = 70^\circ \]
Збир свих унутрашњих углова у троуглу износи \(180^\circ\):
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]
\[ 2\alpha + 70^\circ = 180^\circ \]
\[ 2\alpha = 180^\circ - 70^\circ \]
\[ 2\alpha = 110^\circ \]
\[ \alpha = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \]
Дакле, углови на основици су:
\[ \angle CAB = \angle ABC = 55^\circ \]
2. Коришћење својстава центра описане кружнице
Тачка \(O\) представља центар описане кружнице око троугла \(ABC\). Дужи које спајају центар са теменима троугла су полупречници описане кружнице:
\[ OA = OB = OC = R \]
Због тога су троуглови \( \Delta AOC \), \( \Delta BOC \) и \( \Delta AOB \) једнакокраки.
У једнакокраком троуглу \( \Delta AOC \) важи \( OA = OC \), па су углови на основици \( AC \) међусобно једнаки:
\[ \angle OCA = \angle OAC \]
Права \( CO \) је оса симетрије једнакокраког троугла \( ABC \), па она полови угао \( \angle BCA \):
\[ \angle OCA = \frac{\angle BCA}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \]
Одатле следи:
\[ \angle OAC = 35^\circ \]
3. Израчунавање угла \(\angle OAB\)
Угао \(\angle CAB\) се састоји од углова \(\angle OAC\) и \(\angle OAB\):
\[ \angle CAB = \angle OAC + \angle OAB \]
\[ 55^\circ = 35^\circ + \angle OAB \]
\[ \angle OAB = 55^\circ - 35^\circ = 20^\circ \]
Пошто је троугао \( \Delta AOB \) такође једнакокрак (\(OA = OB\)), углови на основици \(AB\) су једнаки:
\[ \angle OBA = \angle OAB = 20^\circ \]
4. Израчунавање угла \(\angle BOA\)
Збир углова у троуглу \( \Delta AOB \) износи \(180^\circ\):
\[ \angle BOA + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ \]
\[ \angle BOA + 20^\circ + 20^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle BOA + 40^\circ = 180^\circ \]
\[ \angle BOA = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \]
Тачан одговор је под Г.
Ово је лекција за проверу знања о троуглу. Обнавља се препознавање основних конструкција троугла (СУС, УСУ, ССС, ССУ), услови постојања троугла — неједнакост троугла \( a \lt b+c \) и збир унутрашњих углова \( 180^\circ \), као и уписана и описана кружница (центар уписане је пресек симетрала углова, центар описане је пресек симетрала страница). Циљ је применити та правила на задатке са понуђеним одговорима.
Према датим елементима троугао конструишемо на четири начина: СУС (две странице и угао међу њима), УСУ (страница и два угла на њој), ССС (три странице), ССУ (две странице и угао наспрам једне).
Неједнакост троугла: свака страница мања је од збира друге две, \( a \lt b+c \).
\[ \alpha+\beta+\gamma=180^\circ \]
За УСУ конструкцију збир датих углова мора бити мањи од \( 180^\circ \).
Центар уписане кружнице јесте пресек симетрала углова троугла; она додирује све три странице.
Центар описане кружнице јесте пресек симетрала страница троугла; она пролази кроз сва три темена.
Свакоме троуглу може се уписати и описати кружница.
Пријава грешке
Савладај домаћи уз хиљаде решења, лекција и тестова:
