VI.10. Провери Шта Знаш

Анализа својстава троуглова

У задатку је дато да дијагонала дели четвороугао на два једнакостранична троугла. Нека је четвороугао \( ABCD \) и нека је \( AC \) његова дијагонала која га дели на троуглове \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \). Будући да су оба троугла једнакостранична, сви њихови унутрашњи углови су једнаки \( 60^\circ \).

Анализа страница четвороугла

Код једнакостраничног троугла све странице су једнаке дужине. За троугао \( \triangle ABC \) важи: \( AB = BC = AC \). За троугао \( \triangle ADC \) важи: \( AD = DC = AC \). Из ове две једнакости закључујемо да су све странице четвороугла међусобно једнаке: \[ AB = BC = CD = DA = AC \] Четвороугао који има све четири странице једнаке дужине назива се ромб.

Анализа углова четвороугла

Израчунајмо унутрашње углове овог четвороугла: Углови код темена \( B \) и \( D \) су углови једнакостраничних троуглова, па је: \[ \angle ABC = 60^\circ \] \[ \angle ADC = 60^\circ \] Углови код темена \( A \) и \( C \) се састоје од два угла од по \( 60^\circ \): \[ \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \] \[ \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ \] Пошто су наспрамни углови једнаки (\( 60^\circ \) и \( 120^\circ \)) и све странице су једнаке, фигура је дефинитивно ромб. Није квадрат јер углови нису прави (\( 90^\circ \)).

Закључак

На основу анализе страница и углова, закључујемо да је тачан одговор под Б) ромб.

\( \triangle_1, \triangle_2 \) једнакостранични са заједничком страницом \( d \). Све странице: \( a = b = c = d \). Углови: \( 60^\circ, 60^\circ+60^\circ=120^\circ, 60^\circ, 120^\circ \). Фигура са свим једнаким страницама је ромб. Одговор: Б) ромб.