VI.10. Провери Шта Знаш

Да бисмо решили овај задатак, морамо се подсетити правила за множење вектора реалним бројем (скаларом). Нека је дат вектор \( \vec{a} \) и реалан број \( k \). Производ \( k \cdot \vec{a} \) је нови вектор који има следећа својства:

1. Правац

Вектор \( k \cdot \vec{a} \) увек има исти правац као и вектор \( \vec{a} \). То значи да леже на паралелним правима или на истој правој (колинеарни су).

2. Интензитет (дужина)

Интензитет новог вектора једнак је производу апсолутне вредности броја \( k \) и интензитета вектора \( \vec{a} \): \[ |k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| \] У нашем случају, \( k = -5 \), па је интензитет: \[ |-5 \cdot \vec{a}| = |-5| \cdot |\vec{a}| = 5 \cdot |\vec{a}| \] Дакле, интензитет је пет пута већи, а не мањи.

3. Смер

Смер вектора \( k \cdot \vec{a} \) зависи од знака броја \( k \): - Ако је \( k > 0 \), смер је исти као код вектора \( \vec{a} \). - Ако је \( k < 0 \), смер је супротан смеру вектора \( \vec{a} \). Пошто је у задатку \( k = -5 \) (негативан број), смер новог вектора је супротан смеру вектора \( \vec{a} \).

Анализа понуђених одговора

- А) исти правац као вектор \( \vec{a} \): Тачно. Сваки вектор облика \( k \cdot \vec{a} \) је колинеаран са \( \vec{a} \). - Б) пет пута мањи интензитет: Нетачно. Интензитет је 5 пута већи. - В) једнак интензитет: Нетачно. Интензитет је промењен. - Г) исти смер: Нетачно. Смер је супротан јер је \( -5 \) негативан број. Тачан одговор је под А.

\( \vec{b} = -5 \cdot \vec{a} \) Правац: \( \vec{b} \parallel \vec{a} \) (исти правац) Интензитет: \( |\vec{b}| = |-5| \cdot |\vec{a}| = 5|\vec{a}| \) Смер: \( -5 < 0 \implies \) супротан смер Тачан одговор: А)