Најважније из лекције
Степени: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \), \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \). Сва правила степеновања (\( a^p \cdot a^q = a^{p+q}, (a^p)^q = a^{pq} \)) важе за целе и рационалне изложиоце (\( a > 0 \)).
Корени: За паран корен \( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), док је за непаран \( \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a \). Особине: \( \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \), \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \).
Функције: Степене функције \( x^{2k} \) су парне параболе са минимумом у \( (0,0) \), док су \( x^{2k+1} \) непарне растуће криве. Корене функције \( \sqrt[n]{x} \) су њихове одговарајуће инверзне функције.
Комплексни бројеви: \( z = a + bi \), \( i^2 = -1 \). Конјуговани број је \( \bar{z} = a - bi \), а модуо је растојање од координатног почетка: \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \). Дељење се врши множењем бројиоца и имениоца са \( \bar{z} \).
Корени: За паран корен \( \sqrt[2k]{a^{2k}} = |a| \), док је за непаран \( \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}} = a \). Особине: \( \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \), \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a} \).
Функције: Степене функције \( x^{2k} \) су парне параболе са минимумом у \( (0,0) \), док су \( x^{2k+1} \) непарне растуће криве. Корене функције \( \sqrt[n]{x} \) су њихове одговарајуће инверзне функције.
Комплексни бројеви: \( z = a + bi \), \( i^2 = -1 \). Конјуговани број је \( \bar{z} = a - bi \), а модуо је растојање од координатног почетка: \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \). Дељење се врши множењем бројиоца и имениоца са \( \bar{z} \).
За сваки реалан број \( a \neq 0 \) и природан број \( n \), степен са целим изложиоцем дефинише се као:
\[ a^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0, n \in \mathbb{N}) \]
Напомена: Степен нуле \( 0^n = 0 \) дефинисан је само када је \( n \in \mathbb{N} \). Израз \( 0^0 \) није дефинисан.
За \( a, b \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \) и \( m, n \in \mathbb{Z} \) важе основне особине:
- \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
- \( a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
- \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
- \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \)
- \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
Стандардни (научни) запис броја: Сваки позитиван реалан број може се јединствено записати у облику \( a \cdot 10^n \), где је \( 1 \leq a < 10 \) и \( n \in \mathbb{Z} \).
- Маса Сунца: \( 1,9891 \cdot 10^{30} \text{ kg} \)
- Маса електрона: \( 9,10938 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \)
- \( 0,00054 = 5,4 \cdot 10^{-4} \)
Израчунајте вредност израза \( \frac{2^{-3} \cdot 4^2}{8^{-1}} \).
Све основе изразимо као степен броја 2:
\[ \frac{2^{-3} \cdot (2^2)^2}{(2^3)^{-1}} = \frac{2^{-3} \cdot 2^4}{2^{-3}} = 2^4 = 16 \]
Функција облика \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^n \) (\( n \in \mathbb{N} \)) назива се степена функција.
| Тип функције | Особине и понашање | График |
|---|---|---|
| Парни степени \( f(x) = x^{2k}, k \in \mathbb{N} \) (нпр. \( y = x^2, x^4 \)) |
• Домен: \( \mathbb{R} \), Скуп вредности: \( [0, +\infty) \) • Парна функција: \( f(-x) = f(x) \) (осна симетрија према \( y \)-оси) • Опада на \( (-\infty, 0] \), расте на \( [0, +\infty) \) • Конвексна на целом \( \mathbb{R} \), минимум у \( (0,0) \) • Није 1-1 функција |
Парабола |
| Непарни степени \( f(x) = x^{2k+1}, k \in \mathbb{N} \) (нпр. \( y = x^3, x^5 \)) |
• Домен: \( \mathbb{R} \), Скуп вредности: \( \mathbb{R} \) • Непарна функција: \( f(-x) = -f(x) \) (централна симетрија према \( (0,0) \)) • Растућа на целом \( \mathbb{R} \) • Конкавна на \( (-\infty, 0] \), конвексна на \( [0, +\infty) \) • Јесте 1-1 (бијекција) |
Кубна парабола |
| Негативни експоненти \( f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n} \) (\( n \in \mathbb{N} \)) |
• Домен: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) • Има хоризонталну асимптоту \( y = 0 \) и вертикалну асимптоту \( x = 0 \) • За парно \( n \): увек позитивна, симетрична према \( y \)-оси • За непарно \( n \): хипербола у I и III квадранту |
Хиперболичке криве |
За \( x \in (0, 1) \) важи: \( x > x^2 > x^3 > x^4 \dots \)
За \( x \in (1, +\infty) \) важи: \( x < x^2 < x^3 < x^4 \dots \)
За \( x \in (1, +\infty) \) важи: \( x < x^2 < x^3 < x^4 \dots \)
Која од функција је парна, а која 1-1: \( f(x) = x^4 \) или \( g(x) = x^5 \)?
Функција \( f(x) = x^4 \) има паран изложилац, па је парна (\( f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x) \)) и није 1-1. Функција \( g(x) = x^5 \) има непаран изложилац, па је 1-1 и непарна.
\( n \)-ти корен:
- Ако је \( n \) паран број, \( \sqrt[n]{a} \) дефинисан је искључиво за \( a \geq 0 \) и представља јединствен ненегативан број чији је \( n \)-ти степен једнак \( a \).
- Ако је \( n \) непаран број, \( \sqrt[n]{a} \) дефинисан је за свако \( a \in \mathbb{R} \) и то је јединствен реалан број чији је \( n \)-ти степен једнак \( a \).
Важна правила за вредност \( \sqrt[n]{a^n} \):
\[ \sqrt[n]{a^n} = |a| \quad (\text{за паран } n), \qquad \sqrt[n]{a^n} = a \quad (\text{за непаран } n) \]
За \( a, b \geq 0 \) (односно све реалне бројеве ако су корени непарни) и \( m, n, p \in \mathbb{N} \):
- \( \sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \)
- \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \quad (b > 0) \)
- \( (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m} \)
- \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} \)
- \( \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}} = \sqrt[n]{a^m} \) (проширивање и скраћивање корена)
- Извлачење чиниоца испред корена: \( \sqrt[n]{a^{nk} \cdot b} = a^k \sqrt[n]{b} \) (за \( a \geq 0 \))
- Уношење чиниоца под корен: \( a^k \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^{nk} \cdot b} \) (за \( a \geq 0 \))
- Рационалисање имениоца: \[ \frac{1}{\sqrt[n]{a^k}} = \frac{\sqrt[n]{a^{n-k}}}{a}, \qquad \frac{1}{\sqrt{a} \pm \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} \mp \sqrt{b}}{a - b} \]
- Лагранжов идентитет: \[ \sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}} \quad (a^2 \geq b) \]
Израчунајте вредност израза \( \sqrt{(-5)^2} + \sqrt[3]{(-2)^3} \).
Пошто је ред првог корена паран: \( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \).
Пошто је ред другог корена непаран: \( \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \).
Збир је: \( 5 + (-2) = 3 \).
Пошто је ред другог корена непаран: \( \sqrt[3]{(-2)^3} = -2 \).
Збир је: \( 5 + (-2) = 3 \).
Функција квадратни корен \( f(x) = \sqrt{x} \):
- Дефинисана је за \( x \in [0, +\infty) \), а њен скуп вредности је \( [0, +\infty) \).
- Она је инверзна функција функцији \( g(x) = x^2 \) суженој на домен \( [0, +\infty) \).
- Строго је растућа, конкавна и бијективна (1-1).
- График се добија симетријом графика \( y = x^2 \) (\( x \ge 0 \)) у односу на праву \( y = x \).
Функција кубни корен \( f(x) = \sqrt[3]{x} \):
- Дефинисана је на целом \( \mathbb{R} \), скуп вредности је \( \mathbb{R} \).
- Она је инверзна функција кубне функције \( g(x) = x^3 \).
- Строго је растућа на целом домену, непарна је: \( \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} \).
- Конвексна је на \( (-\infty, 0] \), а конкавна на \( [0, +\infty) \).
Одредите домен функције \( f(x) = \sqrt{2x - 6} \).
Подкорена величина парног корена мора бити ненегативна:
\[ 2x - 6 \geq 0 \implies 2x \geq 6 \implies x \geq 3 \]
Домен је \( [3, +\infty) \).
Ако је \( a > 0 \), \( m \in \mathbb{Z} \) и \( n \in \mathbb{N} \), степен са рационалним изложиоцем дефинише се као:
\[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \]
За \( a > 0, b > 0 \) и произвољне рационалне бројеве \( p, q \in \mathbb{Q} \) важе сва правила степеновања:
\[ a^p \cdot a^q = a^{p+q}, \quad \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q}, \quad (a^p)^q = a^{pq}, \quad (ab)^p = a^p b^p, \quad \left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p} \]
- \( 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)
- \( 25^{-\frac{3}{2}} = (\sqrt{25})^{-3} = 5^{-3} = \frac{1}{125} \)
- \( 16^{0,25} = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2 \)
Упростите израз \( \sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x}} \) за \( x > 0 \) преласком на рационалне изложиоце.
\[ \sqrt{x \cdot x^{\frac{1}{3}}} = \sqrt{x^{1 + \frac{1}{3}}} = \sqrt{x^{\frac{4}{3}}} = \left(x^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{4}{6}} = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2} \]
Комплексан број је израз облика \( z = a + bi \), где су \( a, b \in \mathbb{R} \), а \( i \) је имагинарна јединица за коју важи \( i^2 = -1 \).
- \( \text{Re}(z) = a \) - реални део комплексног броја
- \( \text{Im}(z) = b \) - имагинарни део комплексног броја
Скуп комплексних бројева означава се са \( \mathbb{C} = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{R} \} \), при чему је \( \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \).
У скупу \( \mathbb{C} \) није дефинисан поредак (не може се писати \( z_1 < z_2 \)).
Степени имагинарне јединице (\( k \in \mathbb{N}_0 \)):
\[ i^{4k} = 1, \quad i^{4k+1} = i, \quad i^{4k+2} = -1, \quad i^{4k+3} = -i \]
Операције са комплексним бројевима (\( z_1 = a + bi, z_2 = c + di \)):
- Сабирање: \( (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \)
- Одузимање: \( (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \)
- Множење: \( (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \)
- Конјуговани број: \( \bar{z} = a - bi \), при чему је \( z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 \)
- Дељење: \( \frac{c + di}{a + bi} = \frac{(c + di)(a - bi)}{a^2 + b^2} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + \frac{ad - bc}{a^2 + b^2}i \quad (a+bi \neq 0) \)
- Модуо (апсолутна вредност): \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \cdot \bar{z}} \)
Особине конјуговања и модула:
- \( \overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z}_1 \pm \bar{z}_2, \quad \overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2 \)
- \( |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|, \quad \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \)
- \( |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| \) (неједнакост троугла)
Решења једначине \( x^2 = a \):
- Ако је \( a > 0 \): \( x = \pm \sqrt{a} \)
- Ако је \( a = 0 \): \( x = 0 \)
- Ако је \( a < 0 \): \( x = \pm i\sqrt{-a} \)
Израчунајте \( \frac{3 + i}{1 - i} + i^{23} \).
1) Рационалишемо разломак:
\[ \frac{3 + i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1^2 - i^2} = \frac{3 + 4i - 1}{1 - (-1)} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i \]
2) Одредимо степен: \( i^{23} = i^{4 \cdot 5 + 3} = -i \).
3) Саберемо резултате: \( (1 + 2i) + (-i) = 1 + i \).
3) Саберемо резултате: \( (1 + 2i) + (-i) = 1 + i \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунајте вредност израза:
\[ A = 27^{-\frac{2}{3}} + \left(\frac{1}{16}\right)^{-0,75} \]
1) \( 27^{-\frac{2}{3}} = (3^3)^{-\frac{2}{3}} = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \)
2) \( -0,75 = -\frac{3}{4} \), па је \( \left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} = (2^{-4})^{-\frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \)
3) \( A = \frac{1}{9} + 8 = \frac{73}{9} \)
2) \( -0,75 = -\frac{3}{4} \), па је \( \left(\frac{1}{16}\right)^{-\frac{3}{4}} = (2^{-4})^{-\frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \)
3) \( A = \frac{1}{9} + 8 = \frac{73}{9} \)
Задатак 2 (средњи): Рационалишите именилац разломка и упростите израз:
\[ \frac{6}{\sqrt{7} - 1} - \sqrt{28} \]
1) Рационалишемо први члан:
\[ \frac{6}{\sqrt{7} - 1} \cdot \frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{7} + 1} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{7 - 1} = \frac{6(\sqrt{7} + 1)}{6} = \sqrt{7} + 1 \]
2) Извучемо чинилац из другог корена:
\[ \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \]
3) Одузмемо изразе:
\[ (\sqrt{7} + 1) - 2\sqrt{7} = 1 - \sqrt{7} \]
Задатак 3 (средњи): Дат је комплексан број \( z = \frac{2 - 4i}{1 + i} \). Одредите \( \text{Re}(z) \), \( \text{Im}(z) \) и модуо \( |z| \).
1) Дељење комплексних бројева:
\[ z = \frac{2 - 4i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{2 - 2i - 4i + 4i^2}{1^2 - i^2} = \frac{2 - 6i - 4}{2} = \frac{-2 - 6i}{2} = -1 - 3i \]
2) Делови броја:
\[ \text{Re}(z) = -1, \quad \text{Im}(z) = -3 \]
3) Модуо:
\[ |z| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]
Задатак 4 (тежак): Решите једначину у скупу комплексних бројева:
\[ z^2 + 2\bar{z} = |z|^2 \]
где је \( z = x + iy \) (\( x, y \in \mathbb{R} \)).
Уврстимо \( z = x + iy \), \( \bar{z} = x - iy \) и \( |z|^2 = x^2 + y^2 \):
\[ (x + iy)^2 + 2(x - iy) = x^2 + y^2 \]
\[ x^2 + 2xyi - y^2 + 2x - 2yi = x^2 + y^2 \]
Групишимо реалне и имагинарне делове:
\[ (2x - 2y^2) + i(2xy - 2y) = 0 \]
Ово даје систем једначина:
Из друге једначине: \( x = 0^2 = 0 \). Добијамо решење \( z_1 = 0 \).
Случај 2: \( x = 1 \)
Из друге једначине: \( 1 = y^2 \implies y = \pm 1 \). Добијамо решења \( z_2 = 1 + i \) и \( z_3 = 1 - i \).
Одговор: Решења су \( z \in \{0, 1 + i, 1 - i\} \).
- \( 2xy - 2y = 0 \implies 2y(x - 1) = 0 \)
- \( 2x - 2y^2 = 0 \implies x = y^2 \)
Из друге једначине: \( x = 0^2 = 0 \). Добијамо решење \( z_1 = 0 \).
Случај 2: \( x = 1 \)
Из друге једначине: \( 1 = y^2 \implies y = \pm 1 \). Добијамо решења \( z_2 = 1 + i \) и \( z_3 = 1 - i \).
Одговор: Решења су \( z \in \{0, 1 + i, 1 - i\} \).
