Најважније из лекције
Општи облик: \( ax^2 + bx + c = 0 \) (\( a \neq 0 \)).
Дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).
Формула за решења: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
Природа решења:
Дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).
Формула за решења: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
Природа решења:
- \( D > 0 \implies \) два различита реална решења (нпр. \( x^2 - 5x + 6 = 0 \implies x \in \{2, 3\} \)).
- \( D = 0 \implies \) једно двоструко реално решење (нпр. \( x^2 - 4x + 4 = 0 \implies x_1 = x_2 = 2 \)).
- \( D < 0 \implies \) нема реалних решења; решења су конјуговано комплексна (нпр. \( x^2 + 1 = 0 \implies x = \pm i \)).
Квадратна једначина са једном непознатом је једначина облика:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
где су \( a, b, c \in \mathbb{R} \) коефицијенти и \( a \neq 0 \).
Коефицијент \( a \) уз квадратни члан мора бити различит од нуле (\( a \neq 0 \)). Ако је \( a = 0 \), једначина постаје линеарна.
Непотпуне квадратне једначине настају када је бар један од коефицијената \( b \) или \( c \) једнак нули:
- \( b = 0, c = 0 \implies ax^2 = 0 \implies x = 0 \)
- \( c = 0, b \neq 0 \implies ax^2 + bx = 0 \implies x(ax + b) = 0 \implies x_1 = 0 \lor x_2 = -\frac{b}{a} \)
- \( b = 0, c \neq 0 \implies ax^2 + c = 0 \implies x^2 = -\frac{c}{a} \) (има реална решења ако је \( -\frac{c}{a} \ge 0 \))
Решавање непотпуних једначина у скупу \(\mathbb{R}\):
- \( 5x^2 = 0 \implies x = 0 \)
- \( x^2 - 16 = 0 \implies (x-4)(x+4) = 0 \implies x_1 = 4, x_2 = -4 \)
- \( 2x^2 + 6x = 0 \implies 2x(x + 3) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = -3 \)
- \( x^2 + 25 = 0 \implies x^2 = -25 \) (нема решења у \(\mathbb{R}\) јер је \( x^2 \ge 0 \))
Решити једначину \( 4x^2 - 12x = 0 \) у скупу \(\mathbb{R}\).
Издвајањем заједничког чиниоца:
\[ 4x(x - 3) = 0 \implies 4x = 0 \lor x - 3 = 0 \]
Решења: \( x_1 = 0, \, x_2 = 3 \).
Свака потпуна квадратна једначина \( ax^2 + bx + c = 0 \) се поступком допуњавања до квадрата бинома може трансформисати у канонски облик:
\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0 \]
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Општа формула за корене квадратне једначине \( ax^2 + bx + c = 0 \)
Решити квадратну једначину \( x^2 - 5x + 6 = 0 \):
Коефицијенти су \( a = 1, b = -5, c = 6 \). \[ x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \] \[ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]
Коефицијенти су \( a = 1, b = -5, c = 6 \). \[ x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \] \[ x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]
Решити једначину \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \) применом формуле.
Коефицијенти: \( a = 2, b = 5, c = -3 \).
\[ x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} \]
\[ x_1 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3 \]
Решења: \( x_1 = \frac{1}{2}, \, x_2 = -3 \).
Израз под кореном у формули назива се дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Природа решења квадратне једначине \( ax^2 + bx + c = 0 \) (\( a \neq 0, a, b, c \in \mathbb{R} \)) зависи искључиво од знака дискриминанте \( D \):
| Вредност \( D \) | Број и врста решења у скупу \(\mathbb{R}\) | Облик решења у скупу \(\mathbb{C}\) |
|---|---|---|
| \( D > 0 \) | Два различита реална решења (\( x_1 \neq x_2 \)) | \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \in \mathbb{R} \) |
| \( D = 0 \) | Једно двоструко реално решење (\( x_1 = x_2 \)) | \( x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} \in \mathbb{R} \) |
| \( D < 0 \) | Нема реалних решења (\( x \notin \mathbb{R} \)) | Два коњуговано-комплексна решења: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a} \] |
Решити једначину \( x^2 - 2x + 5 = 0 \) у скупу комплексних бројева \(\mathbb{C}\):
\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0 \). \[ x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i \] Решења су коњуговано комплексни бројеви: \( x_1 = 1 + 2i, \, x_2 = 1 - 2i \).
\( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0 \). \[ x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm i\sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i \] Решења су коњуговано комплексни бројеви: \( x_1 = 1 + 2i, \, x_2 = 1 - 2i \).
Одредити природу решења једначине \( 9x^2 - 6x + 1 = 0 \).
Рачунамо дискриминанту:
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1 = 36 - 36 = 0 \]
Закључак: Пошто је \( D = 0 \), једначина има једно двоструко реално решење: \( x = -\frac{-6}{2 \cdot 9} = \frac{1}{3} \).
Приликом решавања текстуалних и геометријских задатака (нпр. површине, брзине, Питагорина теорема), добијају се два решења квадратне једначине. Увек треба проверити смисао решења у реалном контексту и одбацити негативне или немогуће вредности.
Једна страница правоугаоника је за \( 3\text{ cm} \) дужа од друге, а његова површина је \( 40\text{ cm}^2 \).
Нека је краћа страница \( x \). Тада је: \[ x(x + 3) = 40 \implies x^2 + 3x - 40 = 0 \] Решавањем добијамо \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -8 \).
Пошто дужина мора бити позитивна (\( x > 0 \)), одбацујемо \( x_2 = -8 \).
Дужине страница правоугаоника су \( 5\text{ cm} \) и \( 8\text{ cm} \).
Нека је краћа страница \( x \). Тада је: \[ x(x + 3) = 40 \implies x^2 + 3x - 40 = 0 \] Решавањем добијамо \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -8 \).
Пошто дужина мора бити позитивна (\( x > 0 \)), одбацујемо \( x_2 = -8 \).
Дужине страница правоугаоника су \( 5\text{ cm} \) и \( 8\text{ cm} \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Решити следеће непотпуне квадратне једначине у скупу \(\mathbb{R}\):
а) \( 2x^2 - 32 = 0 \)
б) \( 3x^2 + 9x = 0 \)
а) \( 2x^2 - 32 = 0 \)
б) \( 3x^2 + 9x = 0 \)
а) \( 2x^2 = 32 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4 \). Решења: \( x_1 = 4, x_2 = -4 \).
б) \( 3x(x + 3) = 0 \implies 3x = 0 \lor x + 3 = 0 \). Решења: \( x_1 = 0, x_2 = -3 \).
б) \( 3x(x + 3) = 0 \implies 3x = 0 \lor x + 3 = 0 \). Решења: \( x_1 = 0, x_2 = -3 \).
Задатак 2 (средњи): Решити једначину \( x^2 - 4x + 13 = 0 \) у скупу комплексних бројева \(\mathbb{C}\).
Коефицијенти су \( a = 1, b = -4, c = 13 \).
Дискриминанта: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 < 0 \] Користећи формулу за комплексне корене (\( \sqrt{-36} = 6i \)): \[ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i \] Решења: \( x_1 = 2 + 3i, \, x_2 = 2 - 3i \).
Дискриминанта: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36 < 0 \] Користећи формулу за комплексне корене (\( \sqrt{-36} = 6i \)): \[ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i \] Решења: \( x_1 = 2 + 3i, \, x_2 = 2 - 3i \).
Задатак 3 (средњи/напредни): За које вредности реалног параметра \( p \) квадратна једначина \( x^2 + 2x + (p - 3) = 0 \) има два различита реална решења?
Једначина има два различита реална решења ако и само ако је \( D > 0 \).
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 3) = 4 - 4(p - 3) = 4 - 4p + 12 = 16 - 4p \]
Постављамо услов:
\[ 16 - 4p > 0 \implies 16 > 4p \implies p < 4 \]
Одговор: За све реалне вредности \( p \in (-\infty, 4) \).
Задатак 4 (тежак): Дужина хипотенузе правоуглог троугла износи \( 10\text{ cm} \). Ако је једна катета за \( 2\text{ cm} \) дужа од друге, одредити дужине обе катете.
Нека је дужина краће катете \( a = x \) (\( x > 0 \)). Тада је дужина дуже катете \( b = x + 2 \).
Применом Питагорине теореме (\( a^2 + b^2 = c^2 \)): \[ x^2 + (x + 2)^2 = 10^2 \] \[ x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100 \] \[ 2x^2 + 4x - 96 = 0 \quad / : 2 \] \[ x^2 + 2x - 48 = 0 \] Решавамо квадратну једначину: \[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2} \] \[ x_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{-16}{2} = -8 \] Пошто дужина странице мора бити позитивна, одбацујемо \( x_2 = -8 \).
Одговор: Катете троугла имају дужине \( 6\text{ cm} \) и \( 8\text{ cm} \).
Применом Питагорине теореме (\( a^2 + b^2 = c^2 \)): \[ x^2 + (x + 2)^2 = 10^2 \] \[ x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100 \] \[ 2x^2 + 4x - 96 = 0 \quad / : 2 \] \[ x^2 + 2x - 48 = 0 \] Решавамо квадратну једначину: \[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2} \] \[ x_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{-16}{2} = -8 \] Пошто дужина странице мора бити позитивна, одбацујемо \( x_2 = -8 \).
Одговор: Катете троугла имају дужине \( 6\text{ cm} \) и \( 8\text{ cm} \).
