Најважније из лекције
Експоненцијалне једначине:
- Основни облик: \( a^x = b \implies x = \log_a b \).
- Исте основе: \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x) \).
- Квадратни облик: смена \( t = a^x \) уз обавезно \( t > 0 \).
- Обавезни услови за \( \log_a f(x) \): нумерус \( f(x) > 0 \), основа \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \).
- Основни облик: \( \log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b \).
- Једнаке основе: \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x) \) (уз проверу услова).
Експоненцијална једначина је једначина у којој се непозната налази у изложиоцу (експоненту) степена.
\[ a^x = b \quad (a > 0, \, a \neq 1, \, b > 0) \implies x = \log_a b \]
- \( 2^x = 4 \implies x = 2 \)
- \( 3^x = \frac{1}{9} = 3^{-2} \implies x = -2 \)
- \( 4^x = 1 \implies x = 0 \)
- \( 2^x = 3 \implies x = \log_2 3 \approx 1{,}585 \)
Решите једначину: \( 3^{x+2} = 27 \).
Број 27 можемо записати као степен броја 3: \( 27 = 3^3 \).
\[ 3^{x+2} = 3^3 \implies x + 2 = 3 \implies x = 1 \]
Ако се једначина може трансформисати у облик \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) (\( a > 0, a \neq 1 \)), изједначавају се изложиоци:
\[ a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x) \]
Чланови са истим основама се групишу и извлачи се заједнички чинилац, а затим се једначина своди на облик \( \left(\frac{a}{b}\right)^{f(x)} = 1 \implies f(x) = 0 \).
Једначине у којима се јавља квадрат неког степена (нпр. \( a^{2x} = (a^x)^2 \)) своде се на квадратну једначину сменом:
\[ t = a^x \quad (\text{уз обавезан услов } t > 0) \]
Када су основе различите и не могу се изједначити (\( a^{f(x)} = b^{g(x)} \)), логаритмују се обе стране:
\[ \log\left(a^{f(x)}\right) = \log\left(b^{g(x)}\right) \implies f(x) \log a = g(x) \log b \]
Једначине облика \( A \cdot a^{2x} + B \cdot (ab)^x + C \cdot b^{2x} = 0 \) деле се са \( b^{2x} \neq 0 \), чиме се добија квадратна једначина по смени \( t = \left(\frac{a}{b}\right)^x \).
Решите једначину: \( 2^{x+3} - 2^x = 56 \).
Раздвајамо степене и извлачимо заједнички чинилац \( 2^x \):
\[ 2^x \cdot 2^3 - 2^x = 56 \]
\[ 2^x \cdot (8 - 1) = 56 \]
\[ 2^x \cdot 7 = 56 \implies 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3 \]
Логаритамска једначина је једначина у којој се непозната налази у аргументу (нумерусу) или у основи (бази) логаритма.
Пре решавања логаритамске једначине обавезно се одређује област дефинисаности:
- Нумерус (аргумент) мора бити строго позитиван: \( f(x) > 0 \)
- Основа (база) мора бити строго позитивна и различита од 1: \( a > 0, \, a \neq 1 \)
\[ \log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b \quad (\text{уз } f(x) > 0, \, a > 0, \, a \neq 1) \]
Решите једначину: \( \log_5(2x - 4) = 2 \).
1. Услов дефинисаности: \( 2x - 4 > 0 \implies 2x > 4 \implies x > 2 \).
2. Решавање: Према дефиницији логаритма: \[ 2x - 4 = 5^2 \implies 2x - 4 = 25 \implies 2x = 29 \implies x = \frac{29}{2} = 14{,}5 \] Како је \( 14{,}5 > 2 \), услов је испуњен, па је решење \( x = \frac{29}{2} \).
2. Решавање: Према дефиницији логаритма: \[ 2x - 4 = 5^2 \implies 2x - 4 = 25 \implies 2x = 29 \implies x = \frac{29}{2} = 14{,}5 \] Како је \( 14{,}5 > 2 \), услов је испуњен, па је решење \( x = \frac{29}{2} \).
Једнакост логаритама: Ако логаритми имају исте основе, изједначавају се њихови нумериси:
\[ \log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x) \quad (\text{уз } f(x) > 0, g(x) > 0) \]
Свођење на један логаритам коришћењем особина:
- \( \log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y) \)
- \( \log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right) \)
- \( \log_a (x^k) = k \cdot \log_a x \)
- \( \log_{a^k} x = \frac{1}{k} \cdot \log_a x \)
- \( \log_b a = \frac{1}{\log_a b} \)
Једначине које садрже степен логаритма (нпр. \( \log_a^2 x = (\log_a x)^2 \)) решавају се сменом:
\[ t = \log_a x \]
Решите једначину: \( \log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0 \).
Услов: \( x > 0 \).
Уводимо смену \( t = \log_2 x \): \[ t^2 - 3t + 2 = 0 \implies (t - 1)(t - 2) = 0 \implies t_1 = 1, \, t_2 = 2 \] Враћамо смену:
Уводимо смену \( t = \log_2 x \): \[ t^2 - 3t + 2 = 0 \implies (t - 1)(t - 2) = 0 \implies t_1 = 1, \, t_2 = 2 \] Враћамо смену:
- \( \log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2 \)
- \( \log_2 x = 2 \implies x_2 = 2^2 = 4 \)
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Решите експоненцијалну једначину:
\[ 5^{2x - 1} = \frac{1}{25} \]
Трансформишемо десну страну у степен са основом 5:
\[ \frac{1}{25} = 5^{-2} \]
\[ 5^{2x - 1} = 5^{-2} \implies 2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} \]
Задатак 2 (средњи): Решите експоненцијалну једначину:
\[ 4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0 \]
Како је \( 4^x = (2^x)^2 \), уводимо смену \( t = 2^x \) уз услов \( t > 0 \):
\[ t^2 - 3t - 4 = 0 \]
\[ t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(-4)}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \implies t_1 = 4, \, t_2 = -1 \]
Пошто \( t \) мора бити позитивно (\( t > 0 \)), вредност \( t_2 = -1 \) одбацујемо.
\[ 2^x = 4 \implies 2^x = 2^2 \implies x = 2 \]
Задатак 3 (средњи): Решите логаритамску једначину:
\[ \log_3(x + 1) + \log_3(x - 1) = 1 \]
1. Услови:
\[ x + 1 > 0 \implies x > -1 \quad \text{и} \quad x - 1 > 0 \implies x > 1 \]
Пресек услова је \( x > 1 \).
2. Решавање: Примењујемо правило за збир логаритама: \[ \log_3((x + 1)(x - 1)) = 1 \] \[ \log_3(x^2 - 1) = 1 \implies x^2 - 1 = 3^1 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] Због услова \( x > 1 \), вредност \( x = -2 \) се одбацује. Једино решење је \( x = 2 \).
2. Решавање: Примењујемо правило за збир логаритама: \[ \log_3((x + 1)(x - 1)) = 1 \] \[ \log_3(x^2 - 1) = 1 \implies x^2 - 1 = 3^1 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] Због услова \( x > 1 \), вредност \( x = -2 \) се одбацује. Једино решење је \( x = 2 \).
Задатак 4 (тежак): Решите једначину:
\[ \log_x 16 + \log_4 x = 3 \]
1. Услови: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \), односно \( x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) \).
2. Свођење на исту основу: Користимо формулу за замену основе \( \log_x 16 = \frac{\log_4 16}{\log_4 x} = \frac{2}{\log_4 x} \): \[ \frac{2}{\log_4 x} + \log_4 x = 3 \] Уводимо смену \( t = \log_4 x \): \[ \frac{2}{t} + t = 3 \quad / \cdot t \implies t^2 - 3t + 2 = 0 \] \[ t_1 = 1, \quad t_2 = 2 \] 3. Враћање смене:
2. Свођење на исту основу: Користимо формулу за замену основе \( \log_x 16 = \frac{\log_4 16}{\log_4 x} = \frac{2}{\log_4 x} \): \[ \frac{2}{\log_4 x} + \log_4 x = 3 \] Уводимо смену \( t = \log_4 x \): \[ \frac{2}{t} + t = 3 \quad / \cdot t \implies t^2 - 3t + 2 = 0 \] \[ t_1 = 1, \quad t_2 = 2 \] 3. Враћање смене:
- \( \log_4 x = 1 \implies x_1 = 4^1 = 4 \)
- \( \log_4 x = 2 \implies x_2 = 4^2 = 16 \)
