Најважније из лекције
Комплексан број: \(z = a + bi\), \(a = \text{Re}(z)\), \(b = \text{Im}(z)\), \(i^2 = -1\).
Операције:
Модуо: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) (растојање од координатног почетка у комплексној равни).
Једначина \(x^2 = a\) (\(a < 0\)): Решења су чисто имагинарна: \(x = \pm i\sqrt{-a}\).
Операције:
- Сабирање/одузимање: \((a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i\)
- Множење: \((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
- Степени \(i\): \(i^{4k}=1, i^{4k+1}=i, i^{4k+2}=-1, i^{4k+3}=-i\)
Модуо: \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) (растојање од координатног почетка у комплексној равни).
Једначина \(x^2 = a\) (\(a < 0\)): Решења су чисто имагинарна: \(x = \pm i\sqrt{-a}\).
Имагинарна јединица је број означен са \(i\) за који важи:
\[ i^2 = -1 \]
Комплексан број је сваки израз облика \(z = a + bi\), где су \(a, b \in \mathbb{R}\). Скуп свих комплексних бројева означава се са \(\mathbb{C}\):
\[ \mathbb{C} = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{R} \} \]
За комплексан број \(z = a + bi\):
- \(a = \text{Re}(z)\) је реални део комплексног броја;
- \(b = \text{Im}(z)\) је имагинарни део комплексног броја (обратите пажњу: \(b\) је реалан број, без \(i\)).
Сваки реалан број \(a\) јесте и комплексан број јер се може записати као \(a + 0 \cdot i\), па важи \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\).
Једнакост комплексних бројева: Два комплексна броја \(z_1 = a_1 + b_1i\) и \(z_2 = a_2 + b_2i\) једнака су ако и само ако су им једнаки реални делови и једнаки имагинарни делови:
\[ z_1 = z_2 \iff \text{Re}(z_1) = \text{Re}(z_2) \land \text{Im}(z_1) = \text{Im}(z_2) \]
За број \(z = 2 - \frac{2}{3}i\) важи: \(\text{Re}(z) = 2\) и \(\text{Im}(z) = -\frac{2}{3}\).
За број \(z = i = 0 + 1\cdot i\) важи: \(\text{Re}(z) = 0\) и \(\text{Im}(z) = 1\).
За број \(z = i = 0 + 1\cdot i\) важи: \(\text{Re}(z) = 0\) и \(\text{Im}(z) = 1\).
Одредити реалне бројеве \(a\) и \(b\) тако да важи \(1 + a - 3i = 2 + (1 - b)i\).
Изједначавањем реалних и имагинарних делова добијамо систем:
\[ 1 + a = 2 \implies a = 1 \]
\[ -3 = 1 - b \implies b = 4 \]
Одговор: \(a = 1\), \(b = 4\).
Сваки комплексан број \(z = a + bi\) једнозначно је одређен паром реалних бројева \((a, b)\). Због тога се комплексни бројеви могу представити у координатној равни, која се назива комплексна (или Гаусова) раван:
- Хоризонтална \(x\)-оса назива се реална оса;
- Вертикална \(y\)-оса назива се имагинарна оса.
Број \(z = 2 + 3i\) одговара тачки са координатама \((2, 3)\), док број \(z = -1 - i\) одговара тачки \((-1, -1)\).
\[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
\[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \]
Сабирање и одузимање врше се тако што се посебно саберу/одузму реални, а посебно имагинарни делови.
Супротан број броја \(z = a + bi\) јесте број \(-z = -a - bi\). Збир броја и његовог супротног броја је \(0\).
За сабирање и множење комплексних бројева важе сва уобичајена алгебарска својства:
- Комутативност: \(x + y = y + x\), \(x \cdot y = y \cdot x\)
- Асоцијативност: \((x + y) + z = x + (y + z)\), \((x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)\)
- Неутрални елементи: \(0\) за сабирање (\(x + 0 = x\)), \(1\) за множење (\(x \cdot 1 = x\))
- Дистрибутивност множења према сабирању: \(x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z\)
У скупу комплексних бројева поредак није дефинисан (нема смисла писати \(z_1 < z_2\) или \(z_1 > z_2\)).
\[ (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \]
Формула се добија множењем „сваки са сваким” уз коришћење \(i^2 = -1\).
Степени имагинарне јединице \(i\):
Степени броја \(i\) се циклично понављају са периодом 4:
\[ i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1 \]
Уопштено, за сваки цео број \(k \ge 0\):
\[ i^{4k} = 1, \quad i^{4k+1} = i, \quad i^{4k+2} = -1, \quad i^{4k+3} = -i \]
\(i^{2023} = i^{4 \cdot 505 + 3} = i^3 = -i\).
Израчунати производ \((2 + 3i)(1 - 2i)\).
\[ (2 + 3i)(1 - 2i) = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 2i + 3i \cdot 1 - 3i \cdot 2i \]
\[ = 2 - 4i + 3i - 6i^2 = 2 - i - 6(-1) = 2 - i + 6 = 8 - i \]
Одговор: \(8 - i\).
Конјугован број броја \(z = a + bi\) јесте број:
\[ \bar{z} = a - bi \]
\[ z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 = (\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2 \]
Производ броја и њему конјугованог броја је увек ненегативан реалан број!
Дељење комплексних бројева се врши множењем бројиоца и имениоца конјугованим бројем имениоца (рационализација имениоца):
\[ \frac{c + di}{a + bi} = \frac{(c + di)(a - bi)}{(a + bi)(a - bi)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{a^2 + b^2} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + \frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i \]
\[ \frac{1 - i}{2 + 3i} = \frac{(1 - i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{2 - 3i - 2i + 3i^2}{2^2 + 3^2} = \frac{2 - 5i - 3}{13} = -\frac{1}{13} - \frac{5}{13}i \]
\[ |z| = \sqrt{z \cdot \bar{z}} = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Геометријска интерпретација: Модуо \(|z|\) представља растојање тачке \(z = (a, b)\) од координатног почетка у комплексној равни.
Важи: \(|z| = |\bar{z}| = |-z| \ge 0\), при чему је \(|z| = 0 \iff z = 0\).
За \(z = 3 - 4i\):
\[ |z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
У скупу комплексних бројева \(\mathbb{C}\), решења једначине \(x^2 = a\) (\(a \in \mathbb{R}\)) одређена су знаком броја \(a\):
- Ако је \(a > 0\), једначина има два реална решења: \(x_1 = \sqrt{a}\) и \(x_2 = -\sqrt{a}\).
- Ако је \(a = 0\), једначина има јединствено решење: \(x = 0\).
- Ако је \(a < 0\), једначина има два коњуговано комплексна решења: \(x_1 = i\sqrt{-a}\) и \(x_2 = -i\sqrt{-a}\).
Решења једначине \(x^2 = -9\) су:
\[ x = \pm i\sqrt{-(-9)} = \pm i\sqrt{9} = \pm 3i \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лак):
Одредити реални и имагинарни део броја \(z = 5 - 7i\), написати његов конјуговани број \(\bar{z}\) и израчунати степен \(i^{58}\).
1) Реални и имагинарни део:
\[ \text{Re}(z) = 5, \quad \text{Im}(z) = -7 \]
2) Конјуговани број:
\[ \bar{z} = 5 + 7i \]
3) Степен броја \(i\): дељењем броја 58 са 4 добијамо \(58 = 4 \cdot 14 + 2\) (остатак 2), па је:
\[ i^{58} = i^2 = -1 \]
Задатак 2 (Средњи):
Израчунати вредност израза \(\frac{3 - i}{1 + 2i}\), а затим одредити модуо добијеног комплексног броја.
Прво извршимо дељење проширивањем са \((1 - 2i)\):
\[ \frac{3 - i}{1 + 2i} = \frac{(3 - i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \frac{3 - 6i - i + 2i^2}{1^2 + 2^2} \]
\[ = \frac{3 - 7i - 2}{5} = \frac{1 - 7i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{7}{5}i \]
Сада рачунамо модуо:
\[ |z| = \sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \left(-\frac{7}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{25} + \frac{49}{25}} = \sqrt{\frac{50}{25}} = \sqrt{2} \]
Одговор: \(z = \frac{1}{5} - \frac{7}{5}i\), \(|z| = \sqrt{2}\).
Задатак 3 (Тежак):
Решити једначину по непознатом комплексном броју \(z\):
\[ (2 + i)z + 3 - i = 1 + 3i \]
Пребацимо познате чланове на десну страну:
\[ (2 + i)z = (1 + 3i) - (3 - i) \]
\[ (2 + i)z = 1 - 3 + 3i + i \]
\[ (2 + i)z = -2 + 4i \]
Сада изразимо \(z\) дељењем:
\[ z = \frac{-2 + 4i}{2 + i} = \frac{(-2 + 4i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} \]
\[ z = \frac{-4 + 2i + 8i - 4i^2}{2^2 + 1^2} = \frac{-4 + 10i + 4}{5} = \frac{10i}{5} = 2i \]
Одговор: \(z = 2i\).
