Најважније из лекције
Вијетове формуле: За једначину \( ax^2 + bx + c = 0 \) важи \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) и \( x_1x_2 = \frac{c}{a} \).
Растављање тринома: \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \).
Симетрични изрази: Вредности сложенијих симетричних израза рачунају се преко збира и производа, нпр. \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 \).
Знак корена:
Растављање тринома: \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \).
Симетрични изрази: Вредности сложенијих симетричних израза рачунају се преко збира и производа, нпр. \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 \).
Знак корена:
- Оба позитивна: \( D \ge 0, \; x_1 + x_2 > 0, \; x_1x_2 > 0 \)
- Оба негативна: \( D \ge 0, \; x_1 + x_2 < 0, \; x_1x_2 > 0 \)
- Супротног знака: \( x_1x_2 < 0 \)
Бројеви \( x_1 \) и \( x_2 \) су решења квадратне једначине \( ax^2 + bx + c = 0 \) (\( a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0 \)) ако и само ако важи:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \quad \text{и} \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a} \]
Растављање квадратног тринома на чиниоце помоћу корена:
\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]
Ако квадратна једначина има једно двоструко реално решење (\( D = 0 \)), тада се узима да је \( x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} \).
Код једначине \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) тражимо два броја чији је збир \( x_1 + x_2 = 5 \), а производ \( x_1 x_2 = 6 \). Непосредно уочавамо да су то бројеви \( 2 \) и \( 3 \), па су решења \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = 3 \).
Не решавајући једначину \( 3x^2 + 9x - 12 = 0 \), одредити збир и производ њених решења.
Коефицијенти су \( a = 3, b = 9, c = -12 \).
Збир решења: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{9}{3} = -3 \)
Производ решења: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-12}{3} = -4 \)
Збир решења: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{9}{3} = -3 \)
Производ решења: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-12}{3} = -4 \)
Симетричан израз је алгебарски израз по променљивама \( x_1 \) и \( x_2 \) који не мења своју вредност ако \( x_1 \) и \( x_2 \) замене места. Сваки такав израз може се изразити преко основних симетричних израза: збира \( (x_1 + x_2) \) и производа \( (x_1 x_2) \).
Најчешће трансформације симетричних израза:
- \( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \)
- \( x_1^2 + x_1x_2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - x_1x_2 \)
- \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} \)
- \( \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} \)
- \( x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) \)
Ако су \( x_1 \) и \( x_2 \) решења једначине \( x^2 - 4x + 2 = 0 \), израчунати вредност израза \( x_1^2 + x_2^2 \).
Према Вијетовим формулама: \( x_1 + x_2 = 4 \) и \( x_1 x_2 = 2 \).
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2 \cdot 2 = 16 - 4 = 12 \]
Да би се испитао знак решења, решења морају бити реална, што значи да дискриминанта мора задовољавати услов \( D = b^2 - 4ac \ge 0 \).
Услови за знак реалних решења \( x_1 \) и \( x_2 \):
- Оба решења су позитивна (\( x_1 > 0, x_2 > 0 \)): \[ D \ge 0, \quad x_1 + x_2 > 0, \quad x_1x_2 > 0 \]
- Оба решења су негативна (\( x_1 < 0, x_2 < 0 \)): \[ D \ge 0, \quad x_1 + x_2 < 0, \quad x_1x_2 > 0 \]
- Решења су различитог знака (\( x_1 < 0 < x_2 \)):
\[ x_1x_2 < 0 \]
(Напомена: када је \( x_1x_2 = \frac{c}{a} < 0 \), дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \) је увек строго позитивна, па услов \( D \ge 0 \) није потребно посебно проверавати.)
- Ако је уз то \( x_1 + x_2 > 0 \), позитивно решење има већу апсолутну вредност.
- Ако је уз то \( x_1 + x_2 < 0 \), негативно решење има већу апсолутну вредност.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Решити „напамет” квадратну једначину \( x^2 - 7x + 12 = 0 \) користећи Вијетове формуле.
Према Вијетовим формулама за нормирану једначину (\( a = 1 \)):
\[ x_1 + x_2 = 7, \quad x_1x_2 = 12 \]
Тражимо два цела броја чији је производ 12, а збир 7. То су бројеви 3 и 4.
Решења: \( x_1 = 3, x_2 = 4 \).
Решења: \( x_1 = 3, x_2 = 4 \).
Задатак 2 (средњи): Одредити вредност реалног параметра \( k \) у једначини \( x^2 - 6x + k = 0 \) тако да једно решење буде два пута веће од другог (\( x_1 = 2x_2 \)).
Према Вијетовим формулама:
\[ x_1 + x_2 = 6 \quad \text{и} \quad x_1x_2 = k \]
Заменом услова \( x_1 = 2x_2 \) у једнакост за збир:
\[ 2x_2 + x_2 = 6 \implies 3x_2 = 6 \implies x_2 = 2 \]
Одавде је друго решење \( x_1 = 2 \cdot 2 = 4 \).
Сада из једнакости за производ одређујемо параметар \( k \): \[ k = x_1x_2 = 4 \cdot 2 = 8 \] Одговор: \( k = 8 \).
Сада из једнакости за производ одређујемо параметар \( k \): \[ k = x_1x_2 = 4 \cdot 2 = 8 \] Одговор: \( k = 8 \).
Задатак 3 (средњи): Нека су \( x_1 \) и \( x_2 \) решења једначине \( 2x^2 - 3x - 1 = 0 \). Израчунати вредност израза \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \).
Из једначине налазимо коефицијенте \( a = 2, b = -3, c = -1 \).
Применом Вијетових формула: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}, \quad x_1x_2 = -\frac{1}{2} \] Свођењем разломака на заједнички именилац: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = -3 \] Одговор: Вредност израза је \( -3 \).
Применом Вијетових формула: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}, \quad x_1x_2 = -\frac{1}{2} \] Свођењем разломака на заједнички именилац: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = -3 \] Одговор: Вредност израза је \( -3 \).
Задатак 4 (тежак): Одредити све вредности реалног параметра \( m \) за које једначина \( x^2 - (m - 2)x + m + 1 = 0 \) има оба решења негативна.
Да би решења била реална и негативна, потребно је да истовремено буду задовољена три услова:
- Реалност решења (\( D \ge 0 \)): \[ D = (-(m - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 1) = m^2 - 4m + 4 - 4m - 4 = m^2 - 8m \ge 0 \] \[ m(m - 8) \ge 0 \implies m \in (-\infty, 0] \cup [8, +\infty) \]
- Збир решења је негативан (\( x_1 + x_2 < 0 \)): \[ x_1 + x_2 = m - 2 < 0 \implies m < 2 \]
- Производ решења је позитиван (\( x_1x_2 > 0 \)): \[ x_1x_2 = m + 1 > 0 \implies m > -1 \]
