Најважније из лекције
Тангенс (\( \text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x} \)): дефинисан за \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \), основни период \( \pi \), непарна функција, нуле у \( x = k\pi \), строго растућа на интервалима дефинисаности, вертикалне асимптоте \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \).
Котангенс (\( \text{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x} \)): дефинисан за \( x \neq k\pi \), основни период \( \pi \), непарна функција, нуле у \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), строго опадајућа на интервалима дефинисаности, вертикалне асимптоте \( x = k\pi \).
Котангенс (\( \text{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x} \)): дефинисан за \( x \neq k\pi \), основни период \( \pi \), непарна функција, нуле у \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), строго опадајућа на интервалима дефинисаности, вертикалне асимптоте \( x = k\pi \).
Тангенс и котангенс реалног броја \( x \) дефинишу се преко вредности функција синус и косинус.
\[ \text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}, \quad \text{за } \cos x \neq 0 \]
\[ \text{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x}, \quad \text{за } \sin x \neq 0 \]
Функција \( \text{tg}\,x \) није дефинисана за бројеве где је \( \cos x = 0 \), односно за \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \).
Функција \( \text{ctg}\,x \) није дефинисана за бројеве где је \( \sin x = 0 \), односно за \( x = k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \).
Функција \( \text{ctg}\,x \) није дефинисана за бројеве где је \( \sin x = 0 \), односно за \( x = k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \).
Обе функције су периодичне са основним периодом \( T = \pi \).
Израчунавање вредности за \( x = \frac{\pi}{4} \):
\[ \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin\frac{\pi}{4}}{\cos\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \]
\[ \text{ctg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}} = 1 \]
Одредити да ли су дефинисане вредности \( \text{tg}\,\pi \) и \( \text{ctg}\,\pi \).
За \( x = \pi \):
\( \sin \pi = 0 \), \( \cos \pi = -1 \).
\( \text{tg}\,\pi = \frac{0}{-1} = 0 \) (дефинисано).
\( \text{ctg}\,\pi = \frac{-1}{0} \) → није дефинисано, јер дељење нулом није дозвољено.
\( \sin \pi = 0 \), \( \cos \pi = -1 \).
\( \text{tg}\,\pi = \frac{0}{-1} = 0 \) (дефинисано).
\( \text{ctg}\,\pi = \frac{-1}{0} \) → није дефинисано, јер дељење нулом није дозвољено.
Особине функције \( f(x) = \text{tg}\,x \):
- Домен: \( D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \)
- Кодомен (скуп вредности): \( \mathbb{R} \) (функција је неограничена)
- Парност: непарна је функција, \( \text{tg}(-x) = -\text{tg}\,x \); график је централно симетричан у односу на координатни почетак \( (0,0) \)
- Периодичност: основни период је \( T = \pi \), тј. \( \text{tg}(x + \pi) = \text{tg}\,x \)
- Нуле функције: \( x = k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \)
- Знак:
- \( \text{tg}\,x > 0 \) за \( x \in \left( k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right), \, k \in \mathbb{Z} \)
- \( \text{tg}\,x < 0 \) за \( x \in \left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, k\pi \right), \, k \in \mathbb{Z} \)
- Монотоност: строго је растућа на сваком појединачном интервалу дефинисаности \( \left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right), \, k \in \mathbb{Z} \)
- Асимптоте: вертикалне праве \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \)
- Конвексност: конвексна на \( \left[ k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right) \), а конкавна на \( \left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, k\pi \right] \), \( k \in \mathbb{Z} \)
Карактеристичне вредности функције \( \text{tg}\,x \) на основном интервалу \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \):
| \( x \) | \( -\frac{\pi}{3} \) | \( -\frac{\pi}{4} \) | \( -\frac{\pi}{6} \) | \( 0 \) | \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\pi}{3} \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( \text{tg}\,x \) | \( -\sqrt{3} \) | \( -1 \) | \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 0 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( 1 \) | \( \sqrt{3} \) |
Одредити вредност израза \( \text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) + \text{tg}\left(\frac{4\pi}{3}\right) \).
Због непарности: \( \text{tg}\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3} \).
Због периодичности (\( T = \pi \)): \( \text{tg}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \).
Збир: \( -\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0 \).
Због периодичности (\( T = \pi \)): \( \text{tg}\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3} \).
Збир: \( -\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0 \).
Особине функције \( f(x) = \text{ctg}\,x \):
- Домен: \( D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \)
- Кодомен (скуп вредности): \( \mathbb{R} \) (функција је неограничена)
- Парност: непарна је функција, \( \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}\,x \); график је симетричан у односу на координатни почетак
- Периодичност: основни период је \( T = \pi \), тј. \( \text{ctg}(x + \pi) = \text{ctg}\,x \)
- Нуле функције: \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \)
- Знак:
- \( \text{ctg}\,x > 0 \) за \( x \in \left( k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right), \, k \in \mathbb{Z} \)
- \( \text{ctg}\,x < 0 \) за \( x \in \left( \frac{\pi}{2} + k\pi, \pi + k\pi \right), \, k \in \mathbb{Z} \)
- Монотоност: строго је опадајућа на сваком појединачном интервалу дефинисаности \( \left( k\pi, \pi + k\pi \right), \, k \in \mathbb{Z} \)
- Асимптоте: вертикалне праве \( x = k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \)
- Конвексност: конвексна на \( \left( k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right] \), а конкавна на \( \left[ \frac{\pi}{2} + k\pi, \pi + k\pi \right) \), \( k \in \mathbb{Z} \)
Који знак има вредност функције \( \text{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) \)?
Број \( \frac{2\pi}{3} \) припада интервалу \( \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \).
На интервалима облика \( \left(\frac{\pi}{2} + k\pi, \pi + k\pi\right) \) котангенс је негативан, па је \( \text{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) < 0 \).
(Тачна вредност је \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \)).
На интервалима облика \( \left(\frac{\pi}{2} + k\pi, \pi + k\pi\right) \) котангенс је негативан, па је \( \text{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right) < 0 \).
(Тачна вредност је \( -\frac{\sqrt{3}}{3} \)).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати тачну вредност израза \( A = \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) \cdot \text{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) - \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) \).
1. Из основних вредности: \( \text{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} \), а \( \text{ctg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \).
Њихов производ је \( \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = 1 \).
2. Због непарности: \( \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 \).
3. Уврштавањем: \( A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \).
Њихов производ је \( \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = 1 \).
2. Због непарности: \( \text{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -1 \).
3. Уврштавањем: \( A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \).
Задатак 2 (средњи): Одредити све нуле и једначине вертикалних асимптота функције \( f(x) = \text{tg}\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \).
Нуле: Тангенс је једнак нули када је аргумент једнак \( k\pi \):
\[ x - \frac{\pi}{4} = k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Вертикалне асимптоте: Асимптоте се налазе тамо где функција није дефинисана (аргумент је \( \frac{\pi}{2} + k\pi \)):
\[ x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + k\pi \implies x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Задатак 3 (тежак): Упоредити по величини вредности \( a = \text{tg}\,1 \), \( b = \text{tg}\,2 \) и \( c = \text{tg}\,3 \) користећи особине знака и монотоности функције тангенс.
Анализирамо интервале којима бројеви 1, 2 и 3 припадају (знајући да је \( \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57 \) и \( \pi \approx 3{,}14 \)):
- \( 1 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \implies \text{tg}\,1 > 0 \).
- \( 2 \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \implies \text{tg}\,2 < 0 \). Користећи периодичност: \( \text{tg}\,2 = \text{tg}(2 - \pi) \).
- \( 3 \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \implies \text{tg}\,3 < 0 \). Користећи периодичност: \( \text{tg}\,3 = \text{tg}(3 - \pi) \).
