Најважније из лекције
Тригонометријске функције реалног броја: Сваком реалном броју \( x \) придружује се тачка \( M(\cos x, \sin x) \) на јединичној кружници (\( \sin x = \sin(x\text{ rad}) \)).
Основни период: За обе функције \( P = 2\pi \), што значи \( \sin(x + 2\pi) = \sin x \) и \( \cos(x + 2\pi) = \cos x \).
Опсег и ограниченост: Скуп вредности за обе функције је \( [-1, 1] \), тј. \( |\sin x| \le 1 \) и \( |\cos x| \le 1 \).
Парност и симетрија:
Нуле: За \( \sin x \) нуле су \( x = k\pi \), а за \( \cos x \) нуле су \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (\( k \in \mathbb{Z} \)).
Основни период: За обе функције \( P = 2\pi \), што значи \( \sin(x + 2\pi) = \sin x \) и \( \cos(x + 2\pi) = \cos x \).
Опсег и ограниченост: Скуп вредности за обе функције је \( [-1, 1] \), тј. \( |\sin x| \le 1 \) и \( |\cos x| \le 1 \).
Парност и симетрија:
- \( \sin x \) је непарна: \( \sin(-x) = -\sin x \) (график симетричан у односу на тачку \( (0,0) \)).
- \( \cos x \) је парна: \( \cos(-x) = \cos x \) (график симетричан у односу на \( y \)-осу).
Нуле: За \( \sin x \) нуле су \( x = k\pi \), а за \( \cos x \) нуле су \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (\( k \in \mathbb{Z} \)).
Тригонометријске функције реалног броја дефинишу се помоћу тригонометријске кружнице полупречника \( 1 \). Тангента у тачки \( I(1,0) \) посматра се као бројевна права која се „намотава” на кружницу: позитиван део у смеру супротном кретању казаљке на сату, а негативни у смеру кретања казаљке.
Сваком реалном броју \( x \) придружује се јединствена тачка \( M \) на тригонометријској кружници тако да централни угао \( \angle IOM \) износи \( x \text{ rad} \).
\[ \cos x = x_M, \quad \sin x = y_M \]
\[ \sin x = \sin(x \text{ rad}), \quad \cos x = \cos(x \text{ rad}) \]
Косинус реалног броја \( x \) јесте апсциса, а синус је ордината одговарајуће тачке \( M \) на тригонометријској кружници.
Оваква дефиниција омогућава да се аргумент функција синус и косинус посматра као обичан реалан број (често представља време или неку другу физичку величину), при чему се ознака јединице „\(\text{rad}\)” изоставља у рачуну.
Карактеристичне вредности за синус и косинус реалног броја:
| \( x \) | \( 0 \) | \( \frac{\pi}{6} \) | \( \frac{\pi}{4} \) | \( \frac{\pi}{3} \) | \( \frac{\pi}{2} \) | \( \pi \) | \( \frac{3\pi}{2} \) | \( 2\pi \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( \sin x \) | \( 0 \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( -1 \) | \( 0 \) |
| \( \cos x \) | \( 1 \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( 0 \) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
Израчунај вредност израза: \( 2\sin\frac{\pi}{6} - \cos\pi + \sin\frac{3\pi}{2} \).
Уврштавањем вредности добијамо:
\[ 2 \cdot \frac{1}{2} - (-1) + (-1) = 1 + 1 - 1 = 1 \]
Функција \( f: D \to \mathbb{R} \) је периодична ако постоји реални број \( p \neq 0 \) такав да за свако \( x \in D \) важи \( x+p \in D \) и:
\[ f(x+p) = f(x) \]
Број \( p \) се назива период функције \( f \).
Ако је \( p \) период функције \( f \), тада је и \( n \cdot p \) период за сваки цео број \( n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \).
Најмањи позитиван период функције (ако постоји) назива се основни период и означава се са \( P \).
\[ \sin(x + 2k\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2k\pi) = \cos x \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Основни период функција \( \sin x \) и \( \cos x \) је \( P = 2\pi \).
Да би се одредила вредност \( \sin\left(\frac{9\pi}{2}\right) \), користимо основни период \( 2\pi \):
\[ \sin\left(\frac{9\pi}{2}\right) = \sin\left(4\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\left(2 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \sin\frac{\pi}{2} = 1 \]
Израчунај вредност \( \cos(5\pi) \).
Како је \( 5\pi = 4\pi + \pi = 2 \cdot 2\pi + \pi \), због периодичности функције косинус важи:
\[ \cos(5\pi) = \cos(4\pi + \pi) = \cos\pi = -1 \]
Крива која представља график функције \( y = \sin x \) назива се синусоида.
Основне особине функције \( f(x) = \sin x \):
- Домен: Дефинисана је за све реалне бројеве, \( D = \mathbb{R} \).
- Скуп вредности: Интервал \( [-1, 1] \). Функција је ограничена: \( |\sin x| \le 1 \).
- Парност: Функција је непарна, што значи да за свако \( x \) важи \( \sin(-x) = -\sin x \). График је симетричан у односу на координатни почетак.
- Периодичност: Основни период је \( P = 2\pi \). Није функција „1-1”.
- Нуле функције: Вредности за које је \( \sin x = 0 \) су \( x = k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \).
- Знак:
- \( \sin x > 0 \) (позитивна) за \( x \in (2k\pi, \pi + 2k\pi), \; k \in \mathbb{Z} \)
- \( \sin x < 0 \) (негативна) за \( x \in (\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi), \; k \in \mathbb{Z} \)
- Монотоност:
- Расте на интервалима \( \left[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right], \; k \in \mathbb{Z} \)
- Опада на интервалима \( \left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right], \; k \in \mathbb{Z} \)
- Екстремне вредности:
- Максимална вредност је \( y_{\max} = 1 \) за \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \)
- Минимална вредност је \( y_{\min} = -1 \) за \( x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \)
Одреди знак израза \( \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \) користећи особину непарности.
Због непарности функције синус важи:
\[ \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Знак је негативан.
\[ \cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) \]
График функције \( y = \cos x \) (косинусоида) добија се транслацијом синусоиде дуж \( x \)-осе улево за растојање \( \frac{\pi}{2} \).
Основне особине функције \( g(x) = \cos x \):
- Домен: Дефинисана је за све реалне бројеве, \( D = \mathbb{R} \).
- Скуп вредности: Интервал \( [-1, 1] \). Функција је ограничена: \( |\cos x| \le 1 \).
- Парност: Функција је парна, што значи да за свако \( x \) важи \( \cos(-x) = \cos x \). График је симетричан у односу на \( y \)-осу.
- Периодичност: Основни период је \( P = 2\pi \). Није функција „1-1”.
- Нуле функције: Вредности за које је \( \cos x = 0 \) су \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \).
- Знак:
- \( \cos x > 0 \) (позитивна) за \( x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right), \; k \in \mathbb{Z} \)
- \( \cos x < 0 \) (негативна) за \( x \in \left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right), \; k \in \mathbb{Z} \)
- Монотоност:
- Опада на интервалима \( [2k\pi, \pi + 2k\pi], \; k \in \mathbb{Z} \)
- Расте на интервалима \( [\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi], \; k \in \mathbb{Z} \)
- Екстремне вредности:
- Максимална вредност је \( y_{\max} = 1 \) за \( x = 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \)
- Минимална вредност је \( y_{\min} = -1 \) за \( x = \pi + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \)
За које вредности \( x \in [0, 2\pi] \) функција \( \cos x \) узима своју максималну вредност?
Максимална вредност функције косинус је \( 1 \), а постиже се у тачкама облика \( x = 2k\pi \).
На интервалу \( [0, 2\pi] \), то су тачке:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2\pi \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност израза:
\[ A = \cos(-2\pi) + \sin(-\pi) - \cos\left(\frac{7\pi}{2}\right) \]
Применимо особине парности, непарности и периодичности:
- \( \cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1 \) (јер је косинус паран)
- \( \sin(-\pi) = -\sin(\pi) = -0 = 0 \) (јер је синус непаран)
- \( \cos\left(\frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \)
Задатак 2 (средњи): Одреди све нуле функције \( f(x) = \sin x \) које припадају интервалу \( [-\pi, 2\pi] \).
Опште решење за нуле функције \( \sin x \) је:
\[ x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Тражимо вредности за \( k \) такве да је \( -\pi \le k\pi \le 2\pi \), одакле је \( -1 \le k \le 2 \).
Према томе, целим бројевима \( k \in \{-1, 0, 1, 2\} \) одговарају следеће нуле:
\[ x \in \{-\pi, 0, \pi, 2\pi\} \]
Задатак 3 (тежак): Одреди интервале на којима је функција \( g(x) = \cos x \) истовремено опадајућа и негативна унутар основног периода \( [0, 2\pi] \).
Посматрамо интервал \( [0, 2\pi] \):
- Функција \( \cos x \) опада на интервалу \( [0, \pi] \).
- Функција \( \cos x \) је негативна за \( x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right) \).
