Најважније из лекције
Адиционе формуле: \(\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y\), \(\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y\).
Двоструки угао: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\), \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x\).
Половина угла: \(\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}\), \(\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}\) (знак корена зависи од квадранта угла \(\frac{x}{2}\)).
Збир и производ: Омогућавају прелазак са збира функција на производ ради скраћивања и факторизације: \(\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\), \(\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\).
Углови троугла: Због \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\) важи \(\sin(\alpha+\beta) = \sin\gamma\), \(\cos(\alpha+\beta) = -\cos\gamma\), \(\sin\frac{\alpha+\beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}\).
Двоструки угао: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\), \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x\).
Половина угла: \(\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}\), \(\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}\) (знак корена зависи од квадранта угла \(\frac{x}{2}\)).
Збир и производ: Омогућавају прелазак са збира функција на производ ради скраћивања и факторизације: \(\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\), \(\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}\).
Углови троугла: Због \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\) важи \(\sin(\alpha+\beta) = \sin\gamma\), \(\cos(\alpha+\beta) = -\cos\gamma\), \(\sin\frac{\alpha+\beta}{2} = \cos\frac{\gamma}{2}\).
Адиционе формуле изражавају вредности тригонометријских функција збира или разлике два угла (\(x \pm y\)) преко тригонометријских функција тих појединачних углова.
\[ \cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \]
\[ \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \]
\[ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \]
\[ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y \]
Код косинуса се знак мења (збир у аргументу даје минус у формули, и обрнуто), док код синуса знак остаје исти.
Израчунавање вредности \(\sin 75^\circ\):
\[ \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
Израчунајте \(\cos 15^\circ\) користећи адициону формулу.
\[ \cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ \]
\[ \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
Формуле се изводе коришћењем односа \(\text{tg}(x \pm y) = \frac{\sin(x \pm y)}{\cos(x \pm y)}\) и \(\text{ctg}(x \pm y) = \frac{\cos(x \pm y)}{\sin(x \pm y)}\) за све углове за које су функције дефинисане.
\[ \text{tg}(x + y) = \frac{\text{tg}\,x + \text{tg}\,y}{1 - \text{tg}\,x \cdot \text{tg}\,y} \qquad \text{tg}(x - y) = \frac{\text{tg}\,x - \text{tg}\,y}{1 + \text{tg}\,x \cdot \text{tg}\,y} \]
\[ \text{ctg}(x + y) = \frac{\text{ctg}\,x \cdot \text{ctg}\,y - 1}{\text{ctg}\,x + \text{ctg}\,y} \qquad \text{ctg}(x - y) = \frac{\text{ctg}\,x \cdot \text{ctg}\,y + 1}{\text{ctg}\,y - \text{ctg}\,x} \]
Формуле важе искључиво за вредности аргумената за које су сви имениоци различити од нуле (тј. када су \(\text{tg}\) и \(\text{ctg}\) дефинисани).
Израчунавање \(\text{tg} 105^\circ\):
\[ \text{tg} 105^\circ = \text{tg}(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\text{tg}\,60^\circ + \text{tg}\,45^\circ}{1 - \text{tg}\,60^\circ \cdot \text{tg}\,45^\circ} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}} \cdot \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = -(2 + \sqrt{3}) \]
Ако је \(\text{tg}\,x = 2\) и \(\text{tg}\,y = 3\), израчунајте \(\text{tg}(x + y)\).
\[ \text{tg}(x+y) = \frac{\text{tg}\,x + \text{tg}\,y}{1 - \text{tg}\,x \cdot \text{tg}\,y} = \frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{-5} = -1 \]
Настају као директна последица адиционих формула за збир када се узме да је \(y = x\).
\[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \]
\[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \]
\[ \text{tg}\,2x = \frac{2\text{tg}\,x}{1 - \text{tg}^2 x} \qquad \text{ctg}\,2x = \frac{\text{ctg}^2 x - 1}{2\text{ctg}\,x} \]
Користећи основни тригонометријски идентитет \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), косинус двоструког угла може се записати и у облицима:
\[ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x \]
Ако је \(\sin x = \frac{3}{5}\) и \(x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)\), израчунајте \(\sin 2x\).
Прво одређујемо \(\cos x\):
\[ \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5} \]
Затим примењујемо формулу за двоструки угао:
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \]
Изводе се из формула за косинус двоструког угла \(\cos x = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1\).
\[ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} \implies \sin \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} \]
\[ \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2} \implies \cos \frac{x}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} \]
\[ \text{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \qquad \text{ctg}^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} \]
Знак испред корена (\(+\) или \(-\)) одређује се на основу квадранта у коме се налази угао \(\frac{x}{2}\).
Израчунавање \(\cos \frac{\pi}{8}\):
Како је \(\frac{\pi}{8}\) у I квадранту, знак је позитиван:
\[ \cos \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 + \cos \frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \]
Претварање производа у збир / разлику:
\[ \sin x \cos y = \frac{1}{2} [\sin(x + y) + \sin(x - y)] \]
\[ \cos x \sin y = \frac{1}{2} [\sin(x + y) - \sin(x - y)] \]
\[ \cos x \cos y = \frac{1}{2} [\cos(x + y) + \cos(x - y)] \]
\[ \sin x \sin y = \frac{1}{2} [\cos(x - y) - \cos(x + y)] \]
Претварање збира / разлике у производ:
\[ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} \]
\[ \sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} \]
\[ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} \]
\[ \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2} \]
Трансформишите израз \(\cos 5x + \cos 3x\) у производ.
\[ \cos 5x + \cos 3x = 2 \cos \frac{5x + 3x}{2} \cos \frac{5x - 3x}{2} = 2 \cos 4x \cos x \]
За унутрашње углове \(\alpha, \beta, \gamma\) произвољног троугла важи \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\) (односно \(180^\circ\)). Из овога следи да су углови \(\alpha + \beta\) и \(\gamma\) суплементни, док су \(\frac{\alpha+\beta}{2}\) и \(\frac{\gamma}{2}\) комплементни.
\[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \gamma \qquad \cos(\alpha + \beta) = -\cos \gamma \]
\[ \text{tg}(\alpha + \beta) = -\text{tg}\,\gamma \qquad \text{ctg}(\alpha + \beta) = -\text{ctg}\,\gamma \]
\[ \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = \cos \frac{\gamma}{2} \qquad \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = \sin \frac{\gamma}{2} \]
\[ \text{tg} \frac{\alpha + \beta}{2} = \text{ctg} \frac{\gamma}{2} \qquad \text{ctg} \frac{\alpha + \beta}{2} = \text{tg} \frac{\gamma}{2} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунајте тачну вредност израза \(\cos 75^\circ \cos 15^\circ - \sin 75^\circ \sin 15^\circ\).
Препознајемо формулу за косинус збира: \(\cos x \cos y - \sin x \sin y = \cos(x + y)\).
\[ \cos 75^\circ \cos 15^\circ - \sin 75^\circ \sin 15^\circ = \cos(75^\circ + 15^\circ) = \cos 90^\circ = 0 \]
Одговор: \(0\).
Задатак 2 (средњи): Ако је \(\cos x = -\frac{4}{5}\) и \(x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)\), израчунајте \(\cos 2x\) и \(\sin 2x\).
1. Како је \(x\) у III квадранту, \(\sin x\) је негативан:
\[ \sin x = -\sqrt{1 - \cos^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\frac{3}{5} \]
2. Рачунамо \(\cos 2x\):
\[ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} \]
3. Рачунамо \(\sin 2x\):
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{24}{25} \]
Одговор: \(\cos 2x = \frac{7}{25}\), \(\sin 2x = \frac{24}{25}\).
Задатак 3 (средњи): Упростите разломак \(\frac{\sin 3x + \sin x}{\cos 3x + \cos x}\).
Применимо формуле за трансформацију збира у производ:
\[ \sin 3x + \sin x = 2 \sin \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 2 \sin 2x \cos x \]
\[ \cos 3x + \cos x = 2 \cos \frac{3x+x}{2} \cos \frac{3x-x}{2} = 2 \cos 2x \cos x \]
Дељењем бројиоца и имениоца добијамо:
\[ \frac{2 \sin 2x \cos x}{2 \cos 2x \cos x} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \text{tg}\,2x \]
Одговор: \(\text{tg}\,2x\).
Задатак 4 (тежак): Израчунајте вредност производа \(\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ\).
Групишимо прва два чиниоца и применимо формулу за производ синуса:
\[ \sin 20^\circ \sin 40^\circ = \frac{1}{2}[\cos(40^\circ - 20^\circ) - \cos(40^\circ + 20^\circ)] = \frac{1}{2}[\cos 20^\circ - \cos 60^\circ] = \frac{1}{2}\left[\cos 20^\circ - \frac{1}{2}\right] \]
Множимо са \(\sin 80^\circ\):
\[ \sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{1}{2}\sin 80^\circ \cos 20^\circ - \frac{1}{4}\sin 80^\circ \]
Трансформишемо \(\sin 80^\circ \cos 20^\circ\):
\[ \sin 80^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2}[\sin(80^\circ + 20^\circ) + \sin(80^\circ - 20^\circ)] = \frac{1}{2}[\sin 100^\circ + \sin 60^\circ] \]
Како је \(\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ\) и \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[ = \frac{1}{4}\sin 80^\circ + \frac{\sqrt{3}}{8} - \frac{1}{4}\sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8} \]
Одговор: \(\frac{\sqrt{3}}{8}\).
