Најважније из лекције
Композиција функција: \( (g \circ f)(x) = g(f(x)) \), дефинисана када је \( E_f \subseteq D_g \). У општем случају \( g \circ f \neq f \circ g \).
Транслације графика:
Инверзна функција: Постоји ако и само ако је \( f \) „\( 1-1 \)” функција. Важи \( f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x \). Графици функција \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) су међусобно осно симетрични у односу на праву \( y = x \).
Транслације графика:
- \( y = f(x + c) \) помера график хоризонтално: за \( c > 0 \) улево, за \( c < 0 \) удесно.
- \( y = f(x) + c \) помера график вертикално: за \( c > 0 \) нагоре, за \( c < 0 \) надоле.
Инверзна функција: Постоји ако и само ако је \( f \) „\( 1-1 \)” функција. Важи \( f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x \). Графици функција \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) су међусобно осно симетрични у односу на праву \( y = x \).
Нека су \( f: D_f \to \mathbb{R} \) и \( g: D_g \to \mathbb{R} \) две реалне функције. Композиција (слагање) функција \( g \) и \( f \), у ознаци \( g \circ f \), јесте функција дефинисана са:
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)), \quad x \in D_f \]
Композиција \( g \circ f \) је дефинисана само ако је скуп вредности прве функције подскуп домена друге функције, односно \( E_f \subseteq D_g \). У супротном, композиција није дефинисана.
Композиција функција генерално није комутативна, што значи да у општем случају важи \( g \circ f \neq f \circ g \).
За функције \( f(x) = |x| \) и \( g(x) = x + 1 \):
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(|x|) = |x| + 1 \]
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = |x + 1| \]
Видимо да су \( g \circ f \) и \( f \circ g \) различите функције.
Дате су функције \( f(x) = 2x - 1 \) и \( g(x) = x^2 + 3 \). Одредити \( (g \circ f)(2) \).
Прво израчунавамо вредност унутрашње функције \( f(2) \):
\[ f(2) = 2 \cdot 2 - 1 = 3 \]
Затим налазимо \( g(f(2)) = g(3) \):
\[ g(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 \]
Дакле, \( (g \circ f)(2) = 12 \).
Нека је познат график функције \( y = f(x) \) и нека је \( c > 0 \):
- Хоризонтална транслација:
- График функције \( y = f(x + c) \) добија се померањем графика \( y = f(x) \) дуж \( x \)-осе за \( c \) јединица улево.
- График функције \( y = f(x - c) \) добија се померањем графика \( y = f(x) \) дуж \( x \)-осе за \( c \) јединица удесно.
- Вертикална транслација:
- График функције \( y = f(x) + c \) добија се померањем графика \( y = f(x) \) дуж \( y \)-осе за \( c \) јединица нагоре.
- График функције \( y = f(x) - c \) добија се померањем графика \( y = f(x) \) дуж \( y \)-осе за \( c \) јединица надоле.
График функције \( h(x) = \frac{1}{x + 2} \) добија се транслацијом графика функције \( f(x) = \frac{1}{x} \) за \( 2 \) јединице улево дуж \( x \)-осе. Асимптоте функције \( h(x) \) су праве \( x = -2 \) (вертикална) и \( y = 0 \) (хоризонтална).
Како се из графика функције \( f(x) = |x| \) добија график функције \( g(x) = |x - 3| + 2 \)?
График функције \( g(x) = |x - 3| + 2 \) добија се тако што се график функције \( f(x) = |x| \) транслира:
1) за \( 3 \) јединице удесно дуж \( x \)-осе (због \( x - 3 \)),
2) за \( 2 \) јединице нагоре дуж \( y \)-осе (због \( + 2 \)).
Врх графика прелази из тачке \( (0, 0) \) у тачку \( (3, 2) \).
1) за \( 3 \) јединице удесно дуж \( x \)-осе (због \( x - 3 \)),
2) за \( 2 \) јединице нагоре дуж \( y \)-осе (због \( + 2 \)).
Врх графика прелази из тачке \( (0, 0) \) у тачку \( (3, 2) \).
График функције \( y = c \cdot f(x) \) (\( c \neq 0 \)) добија се трансформацијом графика функције \( y = f(x) \) тако што се ординате (\( y \)-координате) свих тачака помноже са константом \( c \), док апсцисе (\( x \)-координате) остају непромењене:
- Ако је \( c > 1 \), график се вертикално истеже.
- Ако је \( 0 < c < 1 \), график се вертикално сажима (спљоштава).
- Ако је \( c < 0 \), поред промене размере долази и до осне симетрије (рефлексије) у односу на \( x \)-осу (нпр. график \( y = -f(x) \) је симетрична слика графика \( y = f(x) \) у односу на \( x \)-осу).
График функције обрнуте пропорционалности \( f(x) = \frac{k}{x} \) (\( k \neq 0 \)) представља хиперболу. Координатне осе \( x = 0 \) (\( y \)-оса) и \( y = 0 \) (\( x \)-оса) јесу њене асимптоте.
Ако тачка \( A(2, -3) \) припада графику функције \( y = f(x) \), која тачка сигурно припада графику функције \( y = -2f(x) \)?
При трансформацији \( y = c \cdot f(x) \), \( x \)-координата остаје иста, а \( y \)-координата се множи са \( c \).
За \( c = -2 \): \[ x' = 2, \quad y' = -2 \cdot (-3) = 6 \] Графику функције \( y = -2f(x) \) припада тачка \( A'(2, 6) \).
За \( c = -2 \): \[ x' = 2, \quad y' = -2 \cdot (-3) = 6 \] Графику функције \( y = -2f(x) \) припада тачка \( A'(2, 6) \).
Нека је \( f: D_f \to E_f \) „\( 1-1 \)” (инјективна) функција. Функција \( f^{-1}: E_f \to D_f \) која сваком елементу \( y \in E_f \) додељује јединствен елемент \( x \in D_f \) за који важи \( f(x) = y \) назива се инверзна функција функције \( f \).
Функција има инверзну функцију ако и само ако је „\( 1-1 \)” (инјекција на свом кодомену, односно бијекција \( f: D_f \xrightarrow[1-1]{\text{на}} E_f \)). Ако функција није \( 1-1 \), инверзна функција не постоји.
\[ f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x \]
\[ (f^{-1} \circ f)(x) = x, \quad \text{за свако } x \in D_f \]
\[ (f \circ f^{-1})(y) = y, \quad \text{за свако } y \in E_f \]
Геометријско својство инверзне функције:
Тачка \( (x, y) \) припада графику функције \( f \) ако и само ако тачка \( (y, x) \) припада графику функције \( f^{-1} \).
Због тога су графици функција \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) међусобно осно симетрични у односу на праву \( y = x \) (симетралу I и III квадранта).
Тачка \( (x, y) \) припада графику функције \( f \) ако и само ако тачка \( (y, x) \) припада графику функције \( f^{-1} \).
Због тога су графици функција \( y = f(x) \) и \( y = f^{-1}(x) \) међусобно осно симетрични у односу на праву \( y = x \) (симетралу I и III квадранта).
Функција \( f(x) = \frac{1}{x} \) (\( x \neq 0 \)) је сама себи инверзна (\( f^{-1} = f \)), јер су њене гране хиперболе симетричне саме себи у односу на праву \( y = x \).
Одредити инверзну функцију за \( f(x) = 3x - 5 \).
Заменимо \( f(x) \) са \( y \):
\[ y = 3x - 5 \]
Изразимо \( x \) преко \( y \):
\[ 3x = y + 5 \implies x = \frac{y + 5}{3} \]
Заменимо променљиве тако да добијемо \( f^{-1}(x) \):
\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3} = \frac{1}{3}x + \frac{5}{3} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Дате су функције \( f(x) = x^2 + 1 \) и \( g(x) = 2x - 3 \). Одредити аналитички израз за композицију \( (f \circ g)(x) \).
Према дефиницији композиције функција:
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x - 3) \]
Уврштавањем израза \( 2x - 3 \) на место \( x \) у функцији \( f \):
\[ (f \circ g)(x) = (2x - 3)^2 + 1 = (4x^2 - 12x + 9) + 1 = 4x^2 - 12x + 10 \]
Задатак 2 (средњи): Описати како се од графика функције \( f(x) = x^2 \) може конструисати график функције \( g(x) = -(x + 4)^2 - 3 \).
График функције \( g(x) \) настаје применом следећих трансформација на параболу \( y = x^2 \):
- Хоризонтална транслација: график \( y = x^2 \) се помера за \( 4 \) јединице улево дуж \( x \)-осе (добија се график \( y = (x + 4)^2 \)).
- Рефлексија: график се пресликава симетрично у односу на \( x \)-осу због минуса испред заграде (добија се график \( y = -(x + 4)^2 \)).
- Вертикална транслација: добијени график се помера за \( 3 \) јединице надоле дуж \( y \)-осе (добија се коначни график \( y = -(x + 4)^2 - 3 \)).
Задатак 3 (средњи): Дата је бијективна функција \( f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R} \setminus \{3\} \) дефинисана са \( f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2} \). Одредити њену инверзну функцију \( f^{-1}(x) \).
Постављамо једначину \( y = \frac{3x + 1}{x - 2} \) и изражавамо \( x \) у зависности од \( y \):
\[ y(x - 2) = 3x + 1 \]
\[ yx - 2y = 3x + 1 \]
\[ yx - 3x = 2y + 1 \]
\[ x(y - 3) = 2y + 1 \]
\[ x = \frac{2y + 1}{y - 3} \]
Заменом ознаке променљиве \( y \) са \( x \), добијамо инверзну функцију:
\[ f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}, \quad x \neq 3 \]
Задатак 4 (тежак): Дата је делом дефинисана функција:
\[ f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 1 \\ 2x + 1, & x \ge 1 \end{cases} \]
Доказати да је функција \( f \) инјективна на \( \mathbb{R} \) и одредити њену инверзну функцију \( f^{-1}(x) \).
1. Инјективност и скуп вредности:
2. Одређивање инверзне функције:
- За \( x < 1 \), вредности функције су \( y = x + 2 < 1 + 2 = 3 \), па је скуп вредности ове гране \( (-\infty, 3) \). На овом интервалу функција строго расте, па је инјективна.
- За \( x \ge 1 \), вредности функције су \( y = 2x + 1 \ge 2(1) + 1 = 3 \), па је скуп вредности ове гране \( [3, +\infty) \). На овом интервалу функција такође строго расте.
2. Одређивање инверзне функције:
- За \( y < 3 \): \( y = x + 2 \implies x = y - 2 \)
- За \( y \ge 3 \): \( y = 2x + 1 \implies x = \frac{y - 1}{2} \)
