Најважније из лекције
Степене функције \( f(x) = x^n \):
• Парни експоненти (\( n = 2k \)): Све функције су парне, скуп вредности је \( [0, +\infty) \), графички симетричне у односу на \( y \)-осу, пролазе кроз \( (-1, 1), (0,0), (1,1) \). За \( |x| < 1 \) већи степен даје мању вредност (нпр. \( 0{,}5^4 < 0{,}5^2 \)), а за \( |x| > 1 \) већи степен даје већу вредност (нпр. \( 2^4 > 2^2 \)).
• Непарни експоненти (\( n = 2k+1 \)): Све функције су непарне, растуће на \( \mathbb{R} \), скуп вредности је \( \mathbb{R} \), графички симетричне у односу на \( (0,0) \), пролазе кроз \( (-1,-1), (0,0), (1,1) \).
• Негативни експоненти (\( f(x) = \frac{1}{x^n} \)): Домен је \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \), имају две асимптоте: \( x = 0 \) и \( y = 0 \). За парне \( n \) график је у I и II квадранту (увек позитиван), а за непарне \( n \) у I и III квадранту.
• Парни експоненти (\( n = 2k \)): Све функције су парне, скуп вредности је \( [0, +\infty) \), графички симетричне у односу на \( y \)-осу, пролазе кроз \( (-1, 1), (0,0), (1,1) \). За \( |x| < 1 \) већи степен даје мању вредност (нпр. \( 0{,}5^4 < 0{,}5^2 \)), а за \( |x| > 1 \) већи степен даје већу вредност (нпр. \( 2^4 > 2^2 \)).
• Непарни експоненти (\( n = 2k+1 \)): Све функције су непарне, растуће на \( \mathbb{R} \), скуп вредности је \( \mathbb{R} \), графички симетричне у односу на \( (0,0) \), пролазе кроз \( (-1,-1), (0,0), (1,1) \).
• Негативни експоненти (\( f(x) = \frac{1}{x^n} \)): Домен је \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \), имају две асимптоте: \( x = 0 \) и \( y = 0 \). За парне \( n \) график је у I и II квадранту (увек позитиван), а за непарне \( n \) у I и III квадранту.
Кубна парабола је крива која представља график основне кубне функције \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^3 \).
Основне особине функције \( f(x) = x^3 \):
- Домен и скуп вредности: \( D_f = \mathbb{R} \), \( R_f = \mathbb{R} \). За свако \( y \in \mathbb{R} \) постоји јединствено \( x \in \mathbb{R} \) тако да је \( x^3 = y \).
- Инјективност: Функција је \( 1-1 \) (бијекција на \( \mathbb{R} \)).
- Нула и знак: Једина нула је \( x = 0 \). Функција је негативна за \( x \in (-\infty, 0) \), а позитивна за \( x \in (0, +\infty) \).
- Монотоност: Функција је строго растућа на целом домену \( \mathbb{R} \).
- Конкавност/конвексност: Конкавна је на \( (-\infty, 0] \), а конвексна на \( [0, +\infty) \). Превојна тачка је \( (0,0) \).
- Парност: Функција је непарна, јер важи \( f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) \) (график је централно симетричан у односу на координатни почетак).
Одредити вредност функције \( f(x) = x^3 \) за \( x = -0{,}5 \) и \( x = 1{,}5 \).
\( f(-0{,}5) = (-0{,}5)^3 = -0{,}125 \)
\( f(1{,}5) = (1{,}5)^3 = 3{,}375 \)
\( f(1{,}5) = (1{,}5)^3 = 3{,}375 \)
Функције облика \( f(x) = x^{2k} \) (\( x^2, x^4, x^6, \dots \)) деле основне особине са квадратном функцијом \( f(x) = x^2 \).
Особине функција \( f(x) = x^{2k} \):
- Домен: \( \mathbb{R} \); Скуп вредности: \( [0, +\infty) \).
- Парност: Све функције су парне: \( f(-x) = (-x)^{2k} = x^{2k} = f(x) \) (график је симетричан у односу на \( y \)-осу).
- Монотоност: Опадају на интервалу \( (-\infty, 0] \), а расту на интервалу \( [0, +\infty) \).
- Минимум: Достижу глобални минимум у тачки \( (0, 0) \).
- Сви графици пролазе кроз карактеристичне тачке: \( (-1, 1) \), \( (0, 0) \) и \( (1, 1) \).
Међусобни положај графика парних степена:
\[ \text{За } x \in (-1, 0) \cup (0, 1): \quad |x| > x^2 > x^4 > x^6 > \dots \]
\[ \text{За } x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty): \quad |x| < x^2 < x^4 < x^6 < \dots \]
Повећањем степена \( k \), график постаје "спљоштенији" око нуле, а знатно стрмији за \( |x| > 1 \).
Упоредити по величини бројеве \( (-0{,}8)^2 \) и \( (-0{,}8)^4 \).
Пошто \( -0{,}8 \in (-1, 0) \), важи правило да је \( x^2 > x^4 \).
Рачунски: \( (-0{,}8)^2 = 0{,}64 \), а \( (-0{,}8)^4 = 0{,}4096 \).
Дакле, \( (-0{,}8)^2 > (-0{,}8)^4 \).
Рачунски: \( (-0{,}8)^2 = 0{,}64 \), а \( (-0{,}8)^4 = 0{,}4096 \).
Дакле, \( (-0{,}8)^2 > (-0{,}8)^4 \).
Функције облика \( f(x) = x^{2k+1} \) (\( x^3, x^5, x^7, \dots \)) деле основне особине са кубном функцијом \( f(x) = x^3 \).
Особине функција \( f(x) = x^{2k+1} \):
- Домен и скуп вредности: \( D_f = \mathbb{R} \), \( R_f = \mathbb{R} \).
- Парност: Све су непарне: \( f(-x) = -f(x) \) (симетрија у односу на координатни почетак).
- Монотоност: Строго растуће на целом \( \mathbb{R} \).
- Сви графици пролазе кроз карактеристичне тачке: \( (-1, -1) \), \( (0, 0) \) и \( (1, 1) \).
Међусобни положај графика непарних степена:
\[ \text{За } x \in (0, 1): \quad x > x^3 > x^5 > x^7 > \dots \]
\[ \text{За } x \in (1, +\infty): \quad x < x^3 < x^5 < x^7 < \dots \]
\[ \text{За } x \in (-1, 0): \quad x < x^3 < x^5 < x^7 < \dots \]
\[ \text{За } x \in (-\infty, -1): \quad x > x^3 > x^5 > x^7 > \dots \]
За које реалне бројеве \( x \) важи неједнакост \( x^5 > x^3 \)?
Посматрањем међусобног положаја графика кривих \( y = x^5 \) и \( y = x^3 \):
1. За \( x > 1 \), виши непарни степен расте брже, па је \( x^5 > x^3 \).
2. За \( x \in (-1, 0) \), степеновањем негативног броја мањег по апсолутној вредности од 1 добија се број ближи нули (већи), па је \( x^5 > x^3 \).
Решење: \( x \in (-1, 0) \cup (1, +\infty) \).
1. За \( x > 1 \), виши непарни степен расте брже, па је \( x^5 > x^3 \).
2. За \( x \in (-1, 0) \), степеновањем негативног броја мањег по апсолутној вредности од 1 добија се број ближи нули (већи), па је \( x^5 > x^3 \).
Решење: \( x \in (-1, 0) \cup (1, +\infty) \).
Дефинисане су за сваки природан број \( n \ge 1 \) на домену \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
Асимптотско понашање и особине:
- Асимптоте: Координатне осе \( x = 0 \) (вертикална асимптота) и \( y = 0 \) (хоризонтална асимптота).
- Када \( |x| \to \infty \), вредности функције теже ка \( 0 \) (график се приближава \( x \)-оси).
- Када се \( x \) приближава нули (\( x \to 0 \)), вредности функције неограничено расту по апсолутној вредности.
- Паран експонент \( n = 2k \): Функција је парна, скуп вредности је \( (0, +\infty) \), график је увек изнад \( x \)-осе (у I и II квадранту).
- Непаран експонент \( n = 2k+1 \): Функција је непарна, график се налази у I и III квадранту. За \( x < 0 \) вредности функције су негативне.
За функције \( f(x) = \frac{1}{x} \) и \( g(x) = \frac{1}{x^2} \):
Ако је \( x = 0{,}5 \): \( f(0{,}5) = \frac{1}{0{,}5} = 2 \), док је \( g(0{,}5) = \frac{1}{0{,}25} = 4 \).
Ако је \( x = 2 \): \( f(2) = \frac{1}{2} = 0{,}5 \), док је \( g(2) = \frac{1}{4} = 0{,}25 \).
Ако је \( x = 0{,}5 \): \( f(0{,}5) = \frac{1}{0{,}5} = 2 \), док је \( g(0{,}5) = \frac{1}{0{,}25} = 4 \).
Ако је \( x = 2 \): \( f(2) = \frac{1}{2} = 0{,}5 \), док је \( g(2) = \frac{1}{4} = 0{,}25 \).
Одредити знак функције \( f(x) = \frac{1}{x^3} \) на интервалима \( (-\infty, 0) \) и \( (0, +\infty) \).
Пошто је степен \( n = 3 \) непаран број:
За \( x \in (-\infty, 0) \) важи \( x^3 < 0 \implies \frac{1}{x^3} < 0 \) (функција је негативна).
За \( x \in (0, +\infty) \) важи \( x^3 > 0 \implies \frac{1}{x^3} > 0 \) (функција је позитивна).
За \( x \in (-\infty, 0) \) важи \( x^3 < 0 \implies \frac{1}{x^3} < 0 \) (функција је негативна).
За \( x \in (0, +\infty) \) важи \( x^3 > 0 \implies \frac{1}{x^3} > 0 \) (функција је позитивна).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Испитати парност следећих степених функција:
а) \( f(x) = x^8 \)
б) \( g(x) = x^7 \)
в) \( h(x) = \frac{1}{x^4} \)
а) \( f(x) = x^8 \)
б) \( g(x) = x^7 \)
в) \( h(x) = \frac{1}{x^4} \)
а) \( f(-x) = (-x)^8 = x^8 = f(x) \implies \) функција је парна.
б) \( g(-x) = (-x)^7 = -x^7 = -g(x) \implies \) функција је непарна.
в) \( h(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = h(x) \implies \) функција је парна.
б) \( g(-x) = (-x)^7 = -x^7 = -g(x) \implies \) функција је непарна.
в) \( h(-x) = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = h(x) \implies \) функција је парна.
Задатак 2 (средњи): Решити неједначину \( x^4 \le x^2 \) користећи особине степених функција.
Графици функција \( y = x^4 \) и \( y = x^2 \) се секу у тачкама за које је \( x^4 = x^2 \), а то су \( x \in \{-1, 0, 1\} \).
График функције \( y = x^4 \) налази се испод или се поклапа са графиком \( y = x^2 \) за све вредности \( x \) чија је апсолутна вредност мања или једнака 1: \[ |x| \le 1 \iff -1 \le x \le 1 \] Одговор: Решење неједначине је интервал \( x \in [-1, 1] \).
График функције \( y = x^4 \) налази се испод или се поклапа са графиком \( y = x^2 \) за све вредности \( x \) чија је апсолутна вредност мања или једнака 1: \[ |x| \le 1 \iff -1 \le x \le 1 \] Одговор: Решење неједначине је интервал \( x \in [-1, 1] \).
Задатак 3 (средњи): На основу графичког приказа упоредити вредности функција \( f(x) = \frac{1}{x} \) и \( g(x) = \frac{1}{x^2} \) за \( x \in (1, +\infty) \).
За \( x > 1 \) важи \( x^2 > x \).
Када се узму реципрочне вредности, смер неједнакости се мења: \[ \frac{1}{x^2} < \frac{1}{x} \] Према томе, на интервалу \( (1, +\infty) \) график функције \( \frac{1}{x} \) налази се изнад графика функције \( \frac{1}{x^2} \).
Када се узму реципрочне вредности, смер неједнакости се мења: \[ \frac{1}{x^2} < \frac{1}{x} \] Према томе, на интервалу \( (1, +\infty) \) график функције \( \frac{1}{x} \) налази се изнад графика функције \( \frac{1}{x^2} \).
Задатак 4 (тежак): Решити неједначину \( x^3 \le x \).
Посматрамо пресечне тачке графика \( y = x^3 \) и праве \( y = x \):
\[ x^3 - x = 0 \iff x(x-1)(x+1) = 0 \implies x \in \{-1, 0, 1\} \]
Анализом положаја графика на интервалима:
1. За \( x \in (-\infty, -1] \): график \( y = x^3 \) је испод праве \( y = x \) (\( x^3 \le x \)).
2. За \( x \in [-1, 0] \): график \( y = x^3 \) је изнад праве \( y = x \).
3. За \( x \in [0, 1] \): график \( y = x^3 \) је испод праве \( y = x \) (\( x^3 \le x \)).
4. За \( x \in [1, +\infty) \): кубна парабола је изнад праве \( y = x \).
Одговор: Решење неједначине је \( x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1] \).
1. За \( x \in (-\infty, -1] \): график \( y = x^3 \) је испод праве \( y = x \) (\( x^3 \le x \)).
2. За \( x \in [-1, 0] \): график \( y = x^3 \) је изнад праве \( y = x \).
3. За \( x \in [0, 1] \): график \( y = x^3 \) је испод праве \( y = x \) (\( x^3 \le x \)).
4. За \( x \in [1, +\infty) \): кубна парабола је изнад праве \( y = x \).
Одговор: Решење неједначине је \( x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1] \).
