Најважније из лекције
Функције и инверзност: Функције \( y = a^x \) и \( y = \log_a x \) (\( a > 0, a \neq 1 \)) узајамно су инверзне и симетричне у односу на праву \( y = x \).
Утицај основе:
Златно правило за логаритме: При сваком решавању логаритамских једначина и неједначина, одређивање области дефинисаности (\( \text{аргумент} > 0 \), \( \text{основа} > 0, \neq 1 \)) представља први и неизоставан корак.
Утицај основе:
- За \( a > 1 \): обе функције су строго растуће; при решавању неједначина смер знака се задржава.
- За \( 0 < a < 1 \): обе функције су строго опадајуће; при решавању неједначина смер знака се окреће.
Златно правило за логаритме: При сваком решавању логаритамских једначина и неједначина, одређивање области дефинисаности (\( \text{аргумент} > 0 \), \( \text{основа} > 0, \neq 1 \)) представља први и неизоставан корак.
Функција облика \( f(x) = a^x \), где је \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \), назива се основна експоненцијална функција. Њен домен је цео скуп реалних бројева \( \mathbb{R} \), а скуп вредности је интервал \( (0, +\infty) \).
Степен са ирационалним изложиоцем \( a^r \) дефинише се преко низа рационалних апроксимација броја \( r \): вредности \( a^{r_n} \) теже броју \( a^r \) када \( r_n \to r \).
За свако \( a, b > 0 \) и \( r, s \in \mathbb{R} \) важе правила степеновања:
\[ a^r \cdot a^s = a^{r+s}, \quad (a^r)^s = a^{rs}, \quad (ab)^r = a^r b^r, \quad \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r} \]
Особине експоненцијалне функције \( f(x) = a^x \):
- График увек садржи тачку \( (0, 1) \) јер је \( a^0 = 1 \).
- Нема нула и увек је позитивна (\( a^x > 0 \)). Права \( y = 0 \) (\( x \)-оса) је хоризонтална асимптота.
- Бијекција је (1-1 функција): из \( a^{x_1} = a^{x_2} \) следи \( x_1 = x_2 \). Конвексна је на целом домену.
- Ако је \( a > 1 \): функција је строго растућа. Када \( x \to -\infty \), график асимптотски тежи \( x \)-оси.
- Ако је \( 0 < a < 1 \): функција је строго опадајућа. Када \( x \to +\infty \), график асимптотски тежи \( x \)-оси.
Одредити да ли је функција \( f(x) = \left(\frac{3}{4}\right)^x \) растућа или опадајућа, и израчунати \( f(-2) \).
Како је основа \( a = \frac{3}{4} \in (0, 1) \), функција је строго опадајућа.
\[ f(-2) = \left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} \]
Експоненцијални модели описују природне и економске процесе у којима се вредност величине мења пропорционално својој тренутној вредности.
Сложена камата:
\[ K = G \left(1 + \frac{p\%}{m}\right)^{mt} \]
\( G \) – почетна главница, \( p\% \) – годишња каматна стопа, \( m \) – број обрачунских периода у години, \( t \) – време у годинама.
Непрекидно обрачунавање камате и раст популације:
\[ K(t) = K_0 e^{kt} \quad \text{односно} \quad P(t) = P_0 e^{kt} \]
\( e \approx 2,71828 \dots \) (Ојлеров број), \( k \) – константа релативног раста, \( K_0, P_0 \) – почетна стања при \( t = 0 \).
Радиоактивни полураспад:
\[ R(t) = R_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \]
\( R_0 \) – почетна маса супстанце, \( T \) – време полураспада, \( t \) – протекло време.
Супстанца има време полураспада \( T = 4 \) сата. Колико грама супстанце преостаје након 12 сати ако је почетна маса била \( 80\text{ g} \)?
Применом формуле за радиоактивни распад:
\[ R(12) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{12}{4}} = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 80 \cdot \frac{1}{8} = 10\text{ g} \]
Логаритам позитивног броја \( y \) за основу \( a \) (\( a > 0, a \neq 1 \)) јесте јединствени реалан број \( x \) којим треба степеновати основу \( a \) да би се добио број \( y \).
\[ \log_a y = x \iff a^x = y \quad (a > 0, a \neq 1, y > 0) \]
Декадни логаритам: \( \log x = \log_{10} x \) (основа је 10).
Природни логаритам: \( \ln x = \log_e x \) (основа је Ојлеров број \( e \)).
Природни логаритам: \( \ln x = \log_e x \) (основа је Ојлеров број \( e \)).
Основна правила логаритмовања (\( a, b > 0; a, b \neq 1; x, y, x_1, x_2 > 0; r \in \mathbb{R} \)):
- \( a^{\log_a x} = x \), као и \( \log_a 1 = 0 \) и \( \log_a a = 1 \)
- Логаритам производа: \( \log_a (x_1 \cdot x_2) = \log_a x_1 + \log_a x_2 \)
- Логаритам количника: \( \log_a \left(\frac{x_1}{x_2}\right) = \log_a x_1 - \log_a x_2 \)
- Логаритам степена: \( \log_a x^r = r \log_a x \quad \left(\text{специјално } \log_a \frac{1}{x} = -\log_a x\right) \)
- Степен у основи: \( \log_{a^r} x = \frac{1}{r} \log_a x \quad (r \neq 0) \)
- Прелазак на нову основу: \( \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \)
- Реципрочна веза: \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
Примене у науци:
- Рихтерова скала земљотреса: \( M = \frac{2}{3} \log \frac{E}{E_0} \), где је \( E \) ослобођена енергија, а \( E_0 = 10^{4,4}\text{ J} \).
- pH вредност киселости раствора: \( \text{pH} = -\log [H^+] \), где је \( [H^+] \) моларна концентрација водоникових јона.
Израчунати вредност израза: \( \log_2 48 - \log_2 3 + \log_5 \sqrt{5} \).
Применом правила за количник и степен:
\[ \log_2 48 - \log_2 3 = \log_2 \left(\frac{48}{3}\right) = \log_2 16 = 4 \]
\[ \log_5 \sqrt{5} = \log_5 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_5 5 = \frac{1}{2} \]
Збир износи: \( 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \).
Функција \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) дефинисана са \( f(x) = \log_a x \) (\( a > 0, a \neq 1 \)) назива се логаритамска функција са основом \( a \).
Логаритамска функција је инверзна функција експоненцијалној функцији \( y = a^x \). Графици функција \( y = \log_a x \) и \( y = a^x \) су симетрични у односу на праву \( y = x \).
Особине логаритамске функције \( f(x) = \log_a x \):
- Домен је скуп позитивних бројева: \( D_f = (0, +\infty) \); скуп вредности је цео скуп реалних бројева: \( R_f = \mathbb{R} \).
- Једина нула функције је \( x = 1 \), тј. график увек сече \( x \)-осу у тачки \( (1, 0) \).
- Права \( x = 0 \) (\( y \)-оса) представља вертикалну асимптоту графика. Није ни парна ни непарна.
- За \( a > 1 \): функција је строго растућа и конкавна. За \( x \in (0, 1) \) вредности су негативне, а за \( x \in (1, +\infty) \) позитивне.
- За \( 0 < a < 1 \): функција је строго опадајућа и конвексна. За \( x \in (0, 1) \) вредности су позитивне, а за \( x \in (1, +\infty) \) негативне.
График funkcije \( y = \log_a(x - c) \) настаје хоризонталном транслацијом графика \( y = \log_a x \) у смеру \( x \)-осе за вредност \( c \). Вертикална асимптота се тада помера на праву \( x = c \), а домен постаје \( (c, +\infty) \).
Одредити домен и вертикалну асимптоту функције \( f(x) = \log_3 (x + 4) \).
Аргумент логаритма мора бити строго позитиван:
\[ x + 4 > 0 \implies x > -4 \]
Домен је интервал \( (-4, +\infty) \).
Вертикална асимптота је права \( x = -4 \).
Вертикална асимптота је права \( x = -4 \).
Једначине где се непозната налази у изложиоцу решавају се помоћу:
- Свођења на исте основе: \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x) \).
- Увођења смене: једначине облика \( A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0 \) сменом \( t = a^x \) (\( t > 0 \)) прелазе у квадратне.
- Логаритмовања: једначине код којих су основе различите, нпр. \( a^{f(x)} = b^{g(x)} \), решавају се логаритмовањем обе стране.
Једначине у којима се непозната налази под знаком или у основи логаритма:
- Област дефинисаности (услови): За \( \log_{g(x)} f(x) \) мора важити \( f(x) > 0 \), \( g(x) > 0 \) и \( g(x) \neq 1 \). Ово се одређује пре почетка решавања!
- Свођење на исти логаритам: коришћењем особина збира и разлике долази се до \( \log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x) \).
- Примена дефиниције или смене: решења се на крају обавезно проверавају у односу на постављене услове дефинисаности.
Решити једначину \( \log_2(x) + \log_2(x - 2) = 3 \).
1. Услови: \( x > 0 \) и \( x - 2 > 0 \implies x > 2 \).
2. Решавање: \[ \log_2 [x(x - 2)] = 3 \implies x(x - 2) = 2^3 \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \] Факторизацијом добијамо \( (x - 4)(x + 2) = 0 \), па су потенцијална решења \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -2 \).
3. Провера услова: Само \( x = 4 \) задовољава услов \( x > 2 \). Вредност \( x = -2 \) се одбацује.
Једино решење је \( x = 4 \).
2. Решавање: \[ \log_2 [x(x - 2)] = 3 \implies x(x - 2) = 2^3 \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \] Факторизацијом добијамо \( (x - 4)(x + 2) = 0 \), па су потенцијална решења \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -2 \).
3. Провера услова: Само \( x = 4 \) задовољава услов \( x > 2 \). Вредност \( x = -2 \) се одбацује.
Једино решење је \( x = 4 \).
Смер неједнакости зависи искључиво од основе \( a \):
| Тип неједначине | Основа \( a > 1 \) (знак се задржава) | Основа \( 0 < a < 1 \) (знак се окреће) |
|---|---|---|
| Експоненцијална | \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x) \) | \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x) \) |
| Логаритамска | \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \iff f(x) > g(x) > 0 \) | \( \log_a f(x) > \log_a g(x) \iff 0 < f(x) < g(x) \) |
Код логаритамских неједначина решење мора бити у пресеку са облашћу дефинисаности свих логаритама који се јављају у неједначини!
Решити неједначину \( \left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 1} \ge 9 \).
Сводимо обе стране на основу \( \frac{1}{3} \):
\[ 9 = 3^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \]
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 1} \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \]
Како је основа \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), смер неједнакости се мења:
\[ 2x - 1 \le -2 \implies 2x \le -1 \implies x \le -\frac{1}{2} \]
Скуп решења је \( x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right] \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки): Израчунати вредност бројевног израза:
\[ A = \log_3 81 - \log_2 \frac{1}{16} + \ln e^5 \]
Израчунавамо појединачне чланове користећи дефиницију логаритма:
- \( \log_3 81 = 4 \) (јер је \( 3^4 = 81 \))
- \( \log_2 \frac{1}{16} = \log_2 2^{-4} = -4 \)
- \( \ln e^5 = 5 \ln e = 5 \cdot 1 = 5 \)
Задатак 2 (Средњи): Решити експоненцијалну једначину:
\[ 4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0 \]
Како је \( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \), једначина има облик:
\[ (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 4 = 0 \]
Уводимо смену \( t = 2^x \) уз услов \( t > 0 \):
\[ t^2 - 5t + 4 = 0 \implies (t - 1)(t - 4) = 0 \]
Добијамо два решења за \( t \):
- \( t_1 = 1 \implies 2^x = 1 = 2^0 \implies x_1 = 0 \)
- \( t_2 = 4 \implies 2^x = 4 = 2^2 \implies x_2 = 2 \)
Задатак 3 (Средњи): Решити логаритамску једначину:
\[ \log_5 (x + 1) + \log_5 (x - 3) = 1 \]
1. Услови дефинисаности:
\[ x + 1 > 0 \land x - 3 > 0 \implies x > -1 \land x > 3 \implies x \in (3, +\infty) \]
2. Трансформација једначине:
\[ \log_5 [(x + 1)(x - 3)] = 1 \]
\[ (x + 1)(x - 3) = 5^1 \]
\[ x^2 - 2x - 3 = 5 \implies x^2 - 2x - 8 = 0 \]
\[ (x - 4)(x + 2) = 0 \implies x_1 = 4, \quad x_2 = -2 \]
3. Провера услова:
Вредност \( x_2 = -2 \) не припада интервалу \( (3, +\infty) \), док \( x_1 = 4 \) припада.
Коначно решење је \( x = 4 \).
Коначно решење је \( x = 4 \).
Задатак 4 (Тешки): Решити логаритамску неједначину:
\[ \log_{0,5} (2x - 4) \ge -2 \]
1. Услов дефинисаности аргумента:
\[ 2x - 4 > 0 \implies 2x > 4 \implies x > 2 \]
2. Решавање неједначине:
Десну страну изражавамо преко логаритма за основу \( 0,5 \):
\[ -2 = \log_{0,5} (0,5)^{-2} = \log_{0,5} \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \log_{0,5} 4 \]
Неједначина постаје:
\[ \log_{0,5} (2x - 4) \ge \log_{0,5} 4 \]
Будући да је основа \( a = 0,5 \in (0, 1) \), смер неједнакости се обрће:
\[ 2x - 4 \le 4 \implies 2x \le 8 \implies x \le 4 \]
3. Пресек са условом:
Услов \( x > 2 \) и резултат \( x \le 4 \) дају коначан скуп решења:
\[ x \in (2, 4] \]
