Најважније из лекције
Експоненцијалне неједначине: За \( a > 1 \) важи \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x) \) (знак остаје). За \( 0 < a < 1 \) важи \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x) \) (знак се обрће). Код смене \( t = a^x \), увек важи \( t > 0 \).
Логаритамске неједначине: Први и најважнији корак је одређивање области дефинисаности (\( \text{нумерис} > 0 \)). За основу \( a > 1 \) знак се задржава, а за \( 0 < a < 1 \) знак се обрће. Код променљиве основе раздвајају се случајеви \( 0 < a(x) < 1 \) и \( a(x) > 1 \).
Логаритамске неједначине: Први и најважнији корак је одређивање области дефинисаности (\( \text{нумерис} > 0 \)). За основу \( a > 1 \) знак се задржава, а за \( 0 < a < 1 \) знак се обрће. Код променљиве основе раздвајају се случајеви \( 0 < a(x) < 1 \) и \( a(x) > 1 \).
Експоненцијалне неједначине су неједначине код којих се непозната налази у изложиоцу (експоненту). Њихово решавање се заснива на монотоности експоненцијалне функције \( y = a^x \) (\( a > 0, a \neq 1 \)).
Правила упоређивања основа:
- Када је основа \( a > 1 \), функција је растућа, па се смер знака неједнакости задржава: \[ a^{f(x)} < a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x) \] \[ a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x) \]
- Када је основа \( 0 < a < 1 \), функција је опадајућа, па се смер знака неједнакости мења (обрће): \[ a^{f(x)} < a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x) \] \[ a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x) \]
Решити неједначину: \( 2^{x^2+6} > 0{,}5^{-5x} \).
Трансформишемо десну страну на основу 2: \[ 0{,}5^{-5x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5x} = (2^{-1})^{-5x} = 2^{5x} \] Како је основа \( 2 > 1 \), знак се не мења: \[ 2^{x^2+6} > 2^{5x} \Leftrightarrow x^2+6 > 5x \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 > 0 \] Решења одговарајуће квадратне једначине су \( x_1 = 2, x_2 = 3 \).
Решење неједначине је \( x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \).
Трансформишемо десну страну на основу 2: \[ 0{,}5^{-5x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5x} = (2^{-1})^{-5x} = 2^{5x} \] Како је основа \( 2 > 1 \), знак се не мења: \[ 2^{x^2+6} > 2^{5x} \Leftrightarrow x^2+6 > 5x \Leftrightarrow x^2 - 5x + 6 > 0 \] Решења одговарајуће квадратне једначине су \( x_1 = 2, x_2 = 3 \).
Решење неједначине је \( x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \).
Реши неједначину: \( \left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 1} \ge 9 \).
Сводимо обе стране на основу \( \frac{1}{3} \):
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x - 1} \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \]
Пошто је основа \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), смер знака се обрће:
\[ 2x - 1 \le -2 \implies 2x \le -1 \implies x \le -\frac{1}{2} \]
Скуп решења: \( x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right] \).
Неједначине у којима се појављују чланови облика \( a^{2x} \) и \( a^x \) решавају се увођењем помоћне непознате \( t = a^x \).
Експоненцијална функција је увек позитивна, па за уведену смену мора важити \( t > 0 \).
- Трансформисати изразе тако да се уочи \( a^x \) и \( a^{2x} = (a^x)^2 \).
- Увести смену \( t = a^x \), уз услов \( t > 0 \).
- Решити добијену квадратну неједначину по непознатој \( t \).
- Пресећи решења са условом \( t > 0 \).
- Вратити смену и решити једноставне експоненцијалне неједначине за \( x \).
Решити неједначину: \( 4^{x+1} - 9 \cdot 2^x + 2 > 0 \).
\[ 4 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 2 > 0 \]
Уводимо смену \( t = 2^x \) (\( t > 0 \)):
\[ 4t^2 - 9t + 2 > 0 \]
Корени квадратне једначине су \( t_1 = \frac{1}{4}, t_2 = 2 \).
Решење по \( t \) (уз услов \( t > 0 \)): \( t \in \left(0, \frac{1}{4}\right) \cup (2, +\infty) \).
Враћањем смене добијамо две неједначине: \[ 2^x < \frac{1}{4} = 2^{-2} \implies x < -2 \] \[ 2^x > 2^1 \implies x > 1 \] Скуп решења: \( x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \).
Решење по \( t \) (уз услов \( t > 0 \)): \( t \in \left(0, \frac{1}{4}\right) \cup (2, +\infty) \).
Враћањем смене добијамо две неједначине: \[ 2^x < \frac{1}{4} = 2^{-2} \implies x < -2 \] \[ 2^x > 2^1 \implies x > 1 \] Скуп решења: \( x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \).
Реши неједначину: \( 4^x \le 2^{x+1} - 1 \).
Препишимо неједначину: \( (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 1 \le 0 \).
Увођењем смене \( t = 2^x \) (\( t > 0 \)): \[ t^2 - 2t + 1 \le 0 \implies (t-1)^2 \le 0 \] Квадрат реалног броја може бити мањи или једнак нули само ако је једнак нули: \[ t - 1 = 0 \implies t = 1 \] Враћамо смену: \( 2^x = 1 = 2^0 \implies x = 0 \).
Скуп решења: \( x \in \{0\} \).
Увођењем смене \( t = 2^x \) (\( t > 0 \)): \[ t^2 - 2t + 1 \le 0 \implies (t-1)^2 \le 0 \] Квадрат реалног броја може бити мањи или једнак нули само ако је једнак нули: \[ t - 1 = 0 \implies t = 1 \] Враћамо смену: \( 2^x = 1 = 2^0 \implies x = 0 \).
Скуп решења: \( x \in \{0\} \).
Област дефинисаности (Услови): Пре било каквог решавања, обавезно се постављају услови под којима су логаритми дефинисани:
- Нумерис (аргумент логаритма) мора бити строго већи од нуле: \( f(x) > 0 \).
- Основа логаритма мора бити позитивна и различита од један: \( a > 0, a \neq 1 \).
Правила за логаритамске неједначине (за \( f(x) > 0 \) и \( g(x) > 0 \)):
- Када је основа \( a > 1 \) (функција је растућа), смер знака се задржава: \[ \log_a f(x) < \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) < g(x) \]
- Када је основа \( 0 < a < 1 \) (функција је опадајућа), смер знака се обрће: \[ \log_a f(x) < \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) \]
Решити неједначину: \( \log_{0{,}5}(x+1) \le \log_{0{,}5}(2x-3) \).
1. Услови дефинисаности: \[ x+1 > 0 \land 2x-3 > 0 \Leftrightarrow x > -1 \land x > \frac{3}{2} \Leftrightarrow x > \frac{3}{2} \] 2. Решавање неједначине: Пошто је основа \( 0 < 0{,}5 < 1 \), смер знака неједнакости се мења: \[ x + 1 \ge 2x - 3 \implies -x \ge -4 \implies x \le 4 \] 3. Пресек са условима: \[ x \in \left(\frac{3}{2}, +\infty\right) \cap (-\infty, 4] \implies x \in \left(\frac{3}{2}, 4\right] \]
1. Услови дефинисаности: \[ x+1 > 0 \land 2x-3 > 0 \Leftrightarrow x > -1 \land x > \frac{3}{2} \Leftrightarrow x > \frac{3}{2} \] 2. Решавање неједначине: Пошто је основа \( 0 < 0{,}5 < 1 \), смер знака неједнакости се мења: \[ x + 1 \ge 2x - 3 \implies -x \ge -4 \implies x \le 4 \] 3. Пресек са условима: \[ x \in \left(\frac{3}{2}, +\infty\right) \cap (-\infty, 4] \implies x \in \left(\frac{3}{2}, 4\right] \]
Реши неједначину: \( \log_3(2x - 5) < 2 \).
1. Услов: \( 2x - 5 > 0 \implies x > \frac{5}{2} \).
2. Решавање: Записујемо \( 2 = \log_3(3^2) = \log_3 9 \).
Пошто је основа \( 3 > 1 \), знак се не мења: \[ \log_3(2x - 5) < \log_3 9 \implies 2x - 5 < 9 \implies 2x < 14 \implies x < 7 \] 3. Пресек са условом: \( x \in \left(\frac{5}{2}, 7\right) \).
2. Решавање: Записујемо \( 2 = \log_3(3^2) = \log_3 9 \).
Пошто је основа \( 3 > 1 \), знак се не мења: \[ \log_3(2x - 5) < \log_3 9 \implies 2x - 5 < 9 \implies 2x < 14 \implies x < 7 \] 3. Пресек са условом: \( x \in \left(\frac{5}{2}, 7\right) \).
Код неједначина са степеном логаритма, на пример \( A\log_a^2 x + B\log_a x + C \le 0 \):
- Поставити услов: \( x > 0 \).
- Увести смену \( t = \log_a x \) (вредност \( t \) може бити било који реалан број).
- Решити квадратну неједначину по \( t \), а затим из \( t_1 \le \log_a x \le t_2 \) одредити вредности за \( x \).
Код неједначина облика \( \log_{a(x)} f(x) \ge b \), након одређивања области дефинисаности (\( f(x) > 0, a(x) > 0, a(x) \neq 1 \)), разматрају се два одвојена случаја:
- Случај 1: \( 0 < a(x) < 1 \) \(\implies\) знак неједнакости се обрће.
- Случај 2: \( a(x) > 1 \) \(\implies\) знак неједнакости се задржава.
Решити неједначину: \( \log_2^2 x - \log_2 x^2 \le 3 \).
Услов: \( x > 0 \).
Користећи особину \( \log_2 x^2 = 2\log_2 x \) за \( x > 0 \), добијамо: \[ (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x - 3 \le 0 \] Смена \( t = \log_2 x \): \[ t^2 - 2t - 3 \le 0 \implies (t + 1)(t - 3) \le 0 \implies t \in [-1, 3] \] Враћамо смену: \[ -1 \le \log_2 x \le 3 \implies \log_2\left(2^{-1}\right) \le \log_2 x \le \log_2\left(2^3\right) \] Пошто је основа \( 2 > 1 \): \[ \frac{1}{2} \le x \le 8 \] Решење испуњава услов \( x > 0 \), па је коначно решење \( x \in \left[\frac{1}{2}, 8\right] \).
Услов: \( x > 0 \).
Користећи особину \( \log_2 x^2 = 2\log_2 x \) за \( x > 0 \), добијамо: \[ (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x - 3 \le 0 \] Смена \( t = \log_2 x \): \[ t^2 - 2t - 3 \le 0 \implies (t + 1)(t - 3) \le 0 \implies t \in [-1, 3] \] Враћамо смену: \[ -1 \le \log_2 x \le 3 \implies \log_2\left(2^{-1}\right) \le \log_2 x \le \log_2\left(2^3\right) \] Пошто је основа \( 2 > 1 \): \[ \frac{1}{2} \le x \le 8 \] Решење испуњава услов \( x > 0 \), па је коначно решење \( x \in \left[\frac{1}{2}, 8\right] \).
Реши неједначину: \( \log_x (x+2) \le 1 \).
Услови: \( x+2 > 0 \land x > 0 \land x \neq 1 \implies x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) \).
Записујемо \( 1 = \log_x x \):
1. случај: \( x \in (0, 1) \) (основа је између 0 и 1, знак се мења): \[ x + 2 \ge x \implies 2 \ge 0 \quad (\text{тачно за свако } x) \] Пресек са претпоставком случаја даје \( x \in (0, 1) \).
2. случај: \( x \in (1, +\infty) \) (основа је већа од 1, знак остаје исти): \[ x + 2 \le x \implies 2 \le 0 \quad (\text{нема решења}) \] Коначно решење: Унија оба случаја је \( x \in (0, 1) \).
Записујемо \( 1 = \log_x x \):
1. случај: \( x \in (0, 1) \) (основа је између 0 и 1, знак се мења): \[ x + 2 \ge x \implies 2 \ge 0 \quad (\text{тачно за свако } x) \] Пресек са претпоставком случаја даје \( x \in (0, 1) \).
2. случај: \( x \in (1, +\infty) \) (основа је већа од 1, знак остаје исти): \[ x + 2 \le x \implies 2 \le 0 \quad (\text{нема решења}) \] Коначно решење: Унија оба случаја је \( x \in (0, 1) \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Решити неједначину:
\[ 3^{2x - 1} \ge \sqrt{27} \]
Пребацујемо обе стране на основу 3:
\[ \sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}} \]
\[ 3^{2x - 1} \ge 3^{\frac{3}{2}} \]
Пошто је основа \( 3 > 1 \), смер неједнакости се задржава:
\[ 2x - 1 \ge \frac{3}{2} \implies 2x \ge \frac{5}{2} \implies x \ge \frac{5}{4} \]
Решење: \( x \in \left[\frac{5}{4}, +\infty\right) \).
Задатак 2 (средњи): Решити неједначину:
\[ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 8) > -2 \]
1. Услов дефинисаности:
\[ x^2 - 8 > 0 \implies x \in (-\infty, -\sqrt{8}) \cup (\sqrt{8}, +\infty) = (-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, +\infty) \]
2. Решавање неједначине:
\[ -2 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right) = \log_{\frac{1}{3}} 9 \]
\[ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 8) > \log_{\frac{1}{3}} 9 \]
Пошто је основа \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), знак се обрће:
\[ x^2 - 8 < 9 \implies x^2 < 17 \implies x \in (-\sqrt{17}, \sqrt{17}) \]
3. Пресек са условом:
\[ x \in (-\sqrt{17}, -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, \sqrt{17}) \]
Задатак 3 (средњи/тежак): Решити неједначину:
\[ 2^{x+2} + 2^{1-x} \le 9 \]
Трансформишемо израз:
\[ 4 \cdot 2^x + \frac{2}{2^x} \le 9 \]
Уводимо смену \( t = 2^x \) (\( t > 0 \)):
\[ 4t + \frac{2}{t} - 9 \le 0 \implies \frac{4t^2 - 9t + 2}{t} \le 0 \]
Пошто је \( t > 0 \), именилац је увек позитиван, па мора бити:
\[ 4t^2 - 9t + 2 \le 0 \]
Нуле бројиоца су \( t_1 = \frac{1}{4}, t_2 = 2 \), па је решење по \( t \):
\[ \frac{1}{4} \le t \le 2 \]
Враћамо смену:
\[ 2^{-2} \le 2^x \le 2^1 \implies -2 \le x \le 1 \]
Решење: \( x \in [-2, 1] \).
Задатак 4 (тежак): Решити логаритамску неједначину:
\[ \log_{\frac{1}{2}}\left(\log_3 x\right) \ge 0 \]
1. Услови дефинисаности:
Унутрашњи логаритам: \( x > 0 \).
Нумерис спољашњег логаритма: \( \log_3 x > 0 \implies x > 3^0 \implies x > 1 \).
Дакле, услов је \( x \in (1, +\infty) \).
2. Решавање: Записујемо \( 0 = \log_{\frac{1}{2}} 1 \): \[ \log_{\frac{1}{2}}\left(\log_3 x\right) \ge \log_{\frac{1}{2}} 1 \] Пошто је основа \( \frac{1}{2} < 1 \), обрћемо знак: \[ \log_3 x \le 1 \] Пошто је основа \( 3 > 1 \), знак остаје исти: \[ \log_3 x \le \log_3 3 \implies x \le 3 \] 3. Пресек са условом (\( x > 1 \)): Решење: \( x \in (1, 3] \).
Нумерис спољашњег логаритма: \( \log_3 x > 0 \implies x > 3^0 \implies x > 1 \).
Дакле, услов је \( x \in (1, +\infty) \).
2. Решавање: Записујемо \( 0 = \log_{\frac{1}{2}} 1 \): \[ \log_{\frac{1}{2}}\left(\log_3 x\right) \ge \log_{\frac{1}{2}} 1 \] Пошто је основа \( \frac{1}{2} < 1 \), обрћемо знак: \[ \log_3 x \le 1 \] Пошто је основа \( 3 > 1 \), знак остаје исти: \[ \log_3 x \le \log_3 3 \implies x \le 3 \] 3. Пресек са условом (\( x > 1 \)): Решење: \( x \in (1, 3] \).
