Најважније из лекције
Основни кораци за решавање тригонометријских неједначина:
- Синус и косинус: Решења се одређују помоћу тригонометријске кружнице са периодом \( 2k\pi \). Посебно обратити пажњу на ограниченост на интервал \( [-1, 1] \).
- Тангенс и котангенс: Неједначине имају решења за свако \( c \in \mathbb{R} \), уз основни период \( k\pi \) и вођење рачуна о тачкама прекида (асимптотама).
- Сложене неједначине: Своде се на основне коришћењем смене, дељењем са \( \sqrt{a^2+b^2} \) код линеарних облика, факторизацијом или применом основних тригонометријских идентитета.
Основне неједначине са синусом су облика \(\sin x > c\), \(\sin x < c\), \(\sin x \ge c\) и \(\sin x \le c\), где је \(c \in \mathbb{R}\).
За \( -1 < c < 1 \) и \( k \in \mathbb{Z} \), скуп решења је:
- \( \sin x > c \iff x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \arcsin c + 2k\pi, \; \pi - \arcsin c + 2k\pi \right) \)
- \( \sin x < c \iff x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \pi - \arcsin c + 2k\pi, \; 2\pi + \arcsin c + 2k\pi \right) \)
- Ако је \( c \ge 1 \): неједначина \( \sin x > c \) нема решења (\(\emptyset\)), док је решење за \( \sin x \le c \) цео скуп \( \mathbb{R} \). Специјално, за \( \sin x \ge 1 \), решења су \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \).
- Ако је \( c \le -1 \): неједначина \( \sin x < c \) нема решења (\(\emptyset\)), док је решење за \( \sin x \ge c \) цео скуп \( \mathbb{R} \).
Реши неједначину: \( 2\sin x < \sqrt{3} \).
Дељењем са 2 добијамо \( \sin x < \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Пошто је \( \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \), решења су: \[ \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < 2\pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] \[ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{7\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Пошто је \( \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} \), решења су: \[ \pi - \frac{\pi}{3} + 2k\pi < x < 2\pi + \frac{\pi}{3} + 2k\pi \] \[ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi < x < \frac{7\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Основне неједначине са косинусом су облика \(\cos x > c\), \(\cos x < c\), \(\cos x \ge c\) и \(\cos x \le c\), где је \(c \in \mathbb{R}\).
За \( -1 < c < 1 \) и \( k \in \mathbb{Z} \), скуп решења је:
- \( \cos x > c \iff x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( -\arccos c + 2k\pi, \; \arccos c + 2k\pi \right) \)
- \( \cos x < c \iff x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \arccos c + 2k\pi, \; 2\pi - \arccos c + 2k\pi \right) \)
- Ако је \( c \ge 1 \): неједначина \( \cos x > c \) нема решења (\(\emptyset\)), док је за \( \cos x \le c \) решење скуп \( \mathbb{R} \).
- Ако је \( c \le -1 \): неједначина \( \cos x < c \) нема решења (\(\emptyset\)), док је за \( \cos x \ge c \) решење скуп \( \mathbb{R} \).
Реши неједначину: \( \cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Како је \( \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} \), интервал решења је:
\[ \frac{3\pi}{4} + 2k\pi < x < 2\pi - \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \]
\[ \frac{3\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Због кодомена функција \( \text{tg}\, x \) и \( \text{ctg}\, x \) који је цео скуп \( \mathbb{R} \), основне неједначине са овим функцијама имају решења за свако \( c \in \mathbb{R} \). Основни период ових функција је \( \pi \).
За свако \( c \in \mathbb{R} \) и \( k \in \mathbb{Z} \):
- \( \text{tg}\, x > c \iff x \in \left( \text{arctg}\, c + k\pi, \; \frac{\pi}{2} + k\pi \right) \)
- \( \text{tg}\, x < c \iff x \in \left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \; \text{arctg}\, c + k\pi \right) \)
- \( \text{ctg}\, x > c \iff x \in \left( k\pi, \; \text{arcctg}\, c + k\pi \right) \)
- \( \text{ctg}\, x < c \iff x \in \left( \text{arcctg}\, c + k\pi, \; \pi + k\pi \right) \)
Реши неједначину: \( \text{tg}\, x \ge \sqrt{3} \).
Како је \( \text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \), а у тачкама \( \frac{\pi}{2} + k\pi \) тангенс није дефинисан, решење је:
\[ x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ \frac{\pi}{3} + k\pi, \; \frac{\pi}{2} + k\pi \right) \]
Код неједначина облика \( \text{trig}(A(x)) \gtreqless c \) уводи се смена \( t = A(x) \). Након одређивања интервала за \( t \), враћа се израз по \( x \).
Неједначине облика \( a\sin x + b\cos x \gtreqless d \) деле се са \( \sqrt{a^2+b^2} \), чиме се лева страна своди на синус (или косинус) збира/разлике:
\[ \sin(x + \varphi) \gtreqless \frac{d}{\sqrt{a^2+b^2}} \]
Неједначина \( A(x) \cdot B(x) > 0 \) или \( \frac{A(x)}{B(x)} > 0 \) решава се разматрањем знака чинилаца:
\[ (A(x) > 0 \land B(x) > 0) \quad \lor \quad (A(x) < 0 \land B(x) < 0) \]
Коришћењем основних релација (\( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)) или формула за трансформацију збира и разлике у производ (\( \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \)), неједначина се факторише.
Реши неједначину: \( \sin x + \cos x > 1 \).
Делимо неједначину са \( \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \):
\[ \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) > \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Решавањем по смени \( t = x + \frac{\pi}{4} \):
\[ \frac{\pi}{4} + 2k\pi < x + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \]
Одузимањем \( \frac{\pi}{4} \):
\[ 2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Реши неједначину \( 2\cos x - 1 \ge 0 \).
Трансформишемо неједначину:
\[ \cos x \ge \frac{1}{2} \]
Како је \( \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \), решење је интервал:
\[ -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Задатак 2 (средњи): Реши неједначину \( \sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) \ge 1 \).
Како за свако \( \alpha \) важи \( \sin \alpha \le 1 \), неједначина је задовољена једино када је \( \sin\left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 \).
\[ 3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \]
\[ 3x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \]
\[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Задатак 3 (средњи): Реши неједначину \( \text{ctg}\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \le -\sqrt{3} \).
Уводимо смену \( t = x - \frac{\pi}{3} \).
\[ \text{ctg}\, t \le -\sqrt{3} \]
Како је \( \text{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \), решења за \( t \) су:
\[ \frac{5\pi}{6} + k\pi \le t < \pi + k\pi \]
Враћањем смене \( t = x - \frac{\pi}{3} \):
\[ \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + k\pi \le x < \pi + \frac{\pi}{3} + k\pi \]
\[ \frac{7\pi}{6} + k\pi \le x < \frac{4\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
(односно \( \frac{\pi}{6} + k\pi \le x < \frac{\pi}{3} + k\pi \)).
Задатак 4 (тежак): Реши неједначину \( 3\cos x - \sin^2 x < -1 \).
Користимо идентитет \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \):
\[ 3\cos x - (1 - \cos^2 x) < -1 \]
\[ \cos^2 x + 3\cos x - 1 < -1 \]
\[ \cos^2 x + 3\cos x < 0 \iff \cos x(\cos x + 3) < 0 \]
Пошто је за свако \( x \), \( -1 \le \cos x \le 1 \), израз \( \cos x + 3 \ge 2 > 0 \) је увек позитиван.
Неједначина се своди на:
\[ \cos x < 0 \]
Решење је:
\[ x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \; \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right) \]
