Најважније из лекције
Основна формула: \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \), где су \( x_1, x_2 \) корени једначине \( ax^2 + bx + c = 0 \).
Растављање над \( \mathbb{R} \): Могуће само када је \( D \ge 0 \). Ако је \( D > 0 \), имамо два различита чиниоца \( a(x-x_1)(x-x_2) \); ако је \( D = 0 \), имамо квадрат бинома \( a(x-x_1)^2 \).
Растављање над \( \mathbb{C} \): Увек могуће. Када је \( D < 0 \), корени су конјуговано-комплексни бројеви \( x_{1,2} = \alpha \pm i\beta \).
Важно: Никада не заборавити водећи коефицијент \( a \) испред заграда!
Растављање над \( \mathbb{R} \): Могуће само када је \( D \ge 0 \). Ако је \( D > 0 \), имамо два различита чиниоца \( a(x-x_1)(x-x_2) \); ако је \( D = 0 \), имамо квадрат бинома \( a(x-x_1)^2 \).
Растављање над \( \mathbb{C} \): Увек могуће. Када је \( D < 0 \), корени су конјуговано-комплексни бројеви \( x_{1,2} = \alpha \pm i\beta \).
Важно: Никада не заборавити водећи коефицијент \( a \) испред заграда!
Сваки квадратни трином \( ax^2 + bx + c \) (\( a \neq 0 \)) може се раставити на производ водећег коефицијента \( a \) и линеарних чинилаца који садрже решења одговарајуће квадратне једначине \( ax^2 + bx + c = 0 \).
\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]
где су \( x_1 \) и \( x_2 \) решења квадратне једначине \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Најчешћа грешка је изостављање коефицијента \( a \) испред заграда. Коефицијент \( a \) се увек мора преписати!
Раставити квадратни трином \( 3x^2 - 9x + 6 \) на линеарне чиниоце.
Решавамо квадратну једначину \( 3x^2 - 9x + 6 = 0 \):
\[ x_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{6} = \frac{9 \pm 3}{6} \]
\[ x_1 = \frac{12}{6} = 2, \quad x_2 = \frac{6}{6} = 1 \]
Примењујемо формулу \( a(x - x_1)(x - x_2) \):
\[ 3x^2 - 9x + 6 = 3(x - 2)(x - 1) \]
Могућност растављања тринома на линеарне чиниоце са реалним коефицијентима зависи од знака дискриминанте \( D = b^2 - 4ac \):
| Дискриминанта | Природа решења | Облик растављеног тринома |
|---|---|---|
| \( D > 0 \) | Два различита реална решења (\( x_1 \neq x_2 \)) | \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \) |
| \( D = 0 \) | Једно двоструко реално решење (\( x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} \)) | \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2 \) |
| \( D < 0 \) | Нема реалних решења | Не може се раставити на линеарне чиниоце над \( \mathbb{R} \) |
Пример 1 (\( D > 0 \)):
За трином \( -x^2 + 4x - 3 \), решења једначине су \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 3 \). \[ -x^2 + 4x - 3 = -(x - 1)(x - 3) \] Пример 2 (\( D = 0 \)):
За трином \( 2{,}5x^2 - 12x + 14{,}4 \), решење је \( x_1 = x_2 = 2{,}4 \). \[ 2{,}5x^2 - 12x + 14{,}4 = 2{,}5(x - 2{,}4)^2 \] Пример 3 (\( D < 0 \)):
За трином \( x^2 - x + 1 \), дискриминанта је \( D = 1 - 4 = -3 < 0 \). Овај трином се не може раставити над скупом реалних бројева.
За трином \( -x^2 + 4x - 3 \), решења једначине су \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 3 \). \[ -x^2 + 4x - 3 = -(x - 1)(x - 3) \] Пример 2 (\( D = 0 \)):
За трином \( 2{,}5x^2 - 12x + 14{,}4 \), решење је \( x_1 = x_2 = 2{,}4 \). \[ 2{,}5x^2 - 12x + 14{,}4 = 2{,}5(x - 2{,}4)^2 \] Пример 3 (\( D < 0 \)):
За трином \( x^2 - x + 1 \), дискриминанта је \( D = 1 - 4 = -3 < 0 \). Овај трином се не може раставити над скупом реалних бројева.
Сваки квадратни трином се може раставити на линеарне чиниоце са комплексним коефицијентима.
Када је \( D = b^2 - 4ac < 0 \), једначина има конјуговано-комплексна решења:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a} \]
Трином се раставља по истој формули: \( ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \).
Раставимо трином \( 4x^2 - 16x + 17 \) над \( \mathbb{C} \):
\[ x_{1,2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 272}}{8} = \frac{16 \pm \sqrt{-16}}{8} = \frac{16 \pm 4i}{8} = 2 \pm \frac{1}{2}i \]
\[ 4x^2 - 16x + 17 = 4\left(x - \left(2 + \frac{1}{2}i\right)\right)\left(x - \left(2 - \frac{1}{2}i\right)\right) = \left(2x - 4 - i\right)\left(2x - 4 + i\right) \]
Раставити квадратни трином \( x^2 + 9 \) на линеарне чиниоце у скупу \( \mathbb{C} \).
Једначина \( x^2 + 9 = 0 \implies x^2 = -9 \implies x_{1,2} = \pm 3i \).
Растављен облик гласи: \[ x^2 + 9 = (x - 3i)(x + 3i) \]
Растављен облик гласи: \[ x^2 + 9 = (x - 3i)(x + 3i) \]
Прво се примењују алгебарски идентитети (нпр. збир или разлика кубова, извлачење заједничког чиниоца испред заграде) како би се полином свео на производ линеарних и квадратних фактора:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]
\[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \]
Добијени квадратни триноми се даље растављају на линеарне чиниоце коришћењем њихових комплексних корена.
Раставимо \( x^3 + 1 \) на линеарне чиниоце над \( \mathbb{C} \):
\[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \]
Корени тринома \( x^2 - x + 1 \) су \( x_{1,2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \), па је:
\[ x^3 + 1 = (x + 1)\left(x - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\left(x - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Раставити на линеарне чиниоце са реалним коефицијентима трином \( 2x^2 + x - 1 \).
Решавамо једначину \( 2x^2 + x - 1 = 0 \):
\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \]
\[ x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-4}{4} = -1 \]
Применом формуле \( a(x - x_1)(x - x_2) \):
\[ 2x^2 + x - 1 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 1) = (2x - 1)(x + 1) \]
Задатак 2 (средњи): Испитати да ли се трином \( 0{,}4x^2 + 4{,}4x + 12{,}1 \) може раставити над \( \mathbb{R} \), и ако може, раставити га.
Рачунамо дискриминанту квадратне једначине \( 0{,}4x^2 + 4{,}4x + 12{,}1 = 0 \):
\[ D = (4{,}4)^2 - 4 \cdot 0{,}4 \cdot 12{,}1 = 19{,}36 - 19{,}36 = 0 \]
Пошто је \( D = 0 \), трином има једно двоструко реално решење:
\[ x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4{,}4}{2 \cdot 0{,}4} = -\frac{4{,}4}{0{,}8} = -5{,}5 \]
Растављени облик гласи:
\[ 0{,}4x^2 + 4{,}4x + 12{,}1 = 0{,}4(x + 5{,}5)^2 \]
Задатак 3 (средњи/тежи): Раставити трином \( x^2 - 2x + 2 \) на линеарне чиниоце над скупом комплексних бројева \( \mathbb{C} \).
Решавамо једначину \( x^2 - 2x + 2 = 0 \):
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i \]
\[ x_1 = 1 + i, \quad x_2 = 1 - i \]
Растављен облик:
\[ x^2 - 2x + 2 = (x - (1 + i))(x - (1 - i)) = (x - 1 - i)(x - 1 + i) \]
Задатак 4 (тежи): Раставити полином \( x^3 - 8 \) на линеарне чиниоце над скупом комплексних бројева \( \mathbb{C} \).
Примењујемо формулу за разлику кубова \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \):
\[ x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \]
Квадратни трином \( x^2 + 2x + 4 \) растављамо преко његових нула:
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3} \]
Следи да је:
\[ x^2 + 2x + 4 = (x - (-1 + i\sqrt{3}))(x - (-1 - i\sqrt{3})) = (x + 1 - i\sqrt{3})(x + 1 + i\sqrt{3}) \]
Коначно решење:
\[ x^3 - 8 = (x - 2)(x + 1 - i\sqrt{3})(x + 1 + i\sqrt{3}) \]
