Најважније из лекције
Кључни закључци:
- Квадратни корен (\(y = \sqrt{x}\)): дефинисан само за \( x \ge 0 \), вредности су \( y \ge 0 \), строго растућа и конкавна, није ни парна ни непарна. Представља инверзну функцију за \( y = x^2 \) (\(x \ge 0\)).
- Кубни корен (\(y = \sqrt[3]{x}\)): дефинисан за све \( x \in \mathbb{R} \), вредности су сви реални бројеви, строго растућа на \( \mathbb{R} \), непарна функција (\( \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} \)). Представља инверзну функцију за \( y = x^3 \).
- Сви парни корени (\(\sqrt[4]{x}, \sqrt[6]{x}, \dots\)) понашају се слично квадратном корену, док се сви непарни корени (\(\sqrt[5]{x}, \sqrt[7]{x}, \dots\)) понашају слично кубном корену.
Функција квадратни корен је реална функција која сваком ненегативном реалном броју додељује његов квадратни корен:
\[ f: [0, +\infty) \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \sqrt{x} \]
Пошто функција \( g: [0, +\infty) \to [0, +\infty), g(x) = x^2 \) јесте бијекција (\(1-1\) и „на”), она има инверзну функцију, а то је управо функција квадратни корен \( f(x) = \sqrt{x} \).
График функције \( y = \sqrt{x} \) добија се пресликавањем дела графика \( y = x^2 \) за \( x \ge 0 \) осном симетријом у односу на праву \( y = x \).
Основне особине функције \( f(x) = \sqrt{x} \):
- Домен: \( D_f = [0, +\infty) \)
- Скуп вредности (кодомен): \( V_f = [0, +\infty) \)
- Инјективност: Јесте \(1-1\) функција
- Нула функције: \( x = 0 \) (тачка \( (0,0) \))
- Знак: \( f(x) > 0 \) за свако \( x \in (0, +\infty) \)
- Монотоност: Функција је строго растућа на целом домену \( [0, +\infty) \)
- Конкавност/конвексност: Функција је конкавна (\(\cap\)) на \( [0, +\infty) \)
- Парност: Није ни парна ни непарна (домен није симетричан у односу на нулу)
Трансформације графика:
- \( y = \sqrt{x+1} \) настаје померањем графика \( y = \sqrt{x} \) за 1 улево дуж \( x \)-осе (домен је \( [-1, +\infty) \)).
- \( y = \sqrt{x} + 2 \) настаје померањем графика \( y = \sqrt{x} \) за 2 навише дуж \( y \)-осе (скуп вредности је \( [2, +\infty) \)).
Одредити домен и нулу функције \( f(x) = \sqrt{x - 5} \).
Поткорена величина мора бити ненегативна:
\[ x - 5 \ge 0 \implies x \ge 5 \implies D_f = [5, +\infty) \]
Нула функције се добија за \( f(x) = 0 \):
\[ \sqrt{x - 5} = 0 \implies x - 5 = 0 \implies x = 5 \]
Функција кубни корен је реална функција дефинисана на целом скупу реалних бројева која сваком реалном броју додељује његов кубни корен:
\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \quad f(x) = \sqrt[3]{x} \]
Основна кубна функција \( y = x^3 \) је бијекција (\(1-1\) функција), па има инверзну функцију на целом \( \mathbb{R} \), а то је кубни корен \( y = \sqrt[3]{x} \).
График функције \( y = \sqrt[3]{x} \) добија се пресликавањем графика функције \( y = x^3 \) осном симетријом у односу на праву \( y = x \).
Основне особине функције \( f(x) = \sqrt[3]{x} \):
- Домен: \( D_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty) \)
- Скуп вредности: \( V_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty) \)
- Инјективност: Јесте \(1-1\) функција
- Нула функције: \( x = 0 \)
- Знак: \( f(x) > 0 \) за \( x \in (0, +\infty) \), а \( f(x) < 0 \) за \( x \in (-\infty, 0) \)
- Монотоност: Строго растућа на целом \( \mathbb{R} \)
- Конкавност/конвексност: Конвексна (\(\cup\)) на \( (-\infty, 0] \), а конкавна (\(\cap\)) на \( [0, +\infty) \)
- Парност: Функција је непарна, јер важи \( f(-x) = \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} = -f(x) \) за свако \( x \in \mathbb{R} \) (график је централно симетричан у односу на координатни почетак).
Израчунати вредности функције \( f(x) = \sqrt[3]{x} \) за \( x \in \{-27, -1, 0, 8\} \).
\[ f(-27) = \sqrt[3]{-27} = -3 \]
\[ f(-1) = \sqrt[3]{-1} = -1 \]
\[ f(0) = \sqrt[3]{0} = 0 \]
\[ f(8) = \sqrt[3]{8} = 2 \]
Особине општих корених функција зависе од топлог/парног или непарног карактера изложиоца корена \( n \in \mathbb{N} \):
| Особина | Парни корен: \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) | Непарни корен: \( f(x) = \sqrt[2n+1]{x} \) |
|---|---|---|
| Домен | \( [0, +\infty) \) | \( \mathbb{R} \) |
| Скуп вредности | \( [0, +\infty) \) | \( \mathbb{R} \) |
| Парност | Ни парна ни непарна | Непарна (\( f(-x) = -f(x) \)) |
| Монотоност | Строго растућа на \( [0, +\infty) \) | Строго растућа на \( \mathbb{R} \) |
| Инверзна функција | Инверзна за \( y = x^{2n} \) (\( x \ge 0 \)) | Инверзна за \( y = x^{2n+1} \) (\( x \in \mathbb{R} \)) |
Све функције облика \( f(x) = \sqrt[2n]{x} \) имају график аналоган графику \( y = \sqrt{x} \), док све функције облика \( f(x) = \sqrt[2n+1]{x} \) имају график аналоган графику \( y = \sqrt[3]{x} \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одредити дефинисаност (домен) следећих функција:
а) \( f(x) = \sqrt{2x - 6} \)
б) \( g(x) = \sqrt[3]{2x - 6} \)
а) \( f(x) = \sqrt{2x - 6} \)
б) \( g(x) = \sqrt[3]{2x - 6} \)
а) За парни корен поткорена величина мора бити ненегативна:
\[ 2x - 6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3 \implies D_f = [3, +\infty) \]
б) Непарни корен је дефинисан за све реалне бројеве, па нема ограничења:
\[ D_g = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty) \]
Задатак 2 (средњи): Дата је функција \( f(x) = \sqrt{x + 4} - 3 \).
а) Одредити њен домен и скуп вредности.
б) Одредити нулу функције.
а) Одредити њен домен и скуп вредности.
б) Одредити нулу функције.
а) Домен: \( x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4 \implies D_f = [-4, +\infty) \).
Скуп вредности: Како је \( \sqrt{x+4} \ge 0 \), одузимањем 3 добијамо \( f(x) \ge -3 \), па је \( V_f = [-3, +\infty) \).
б) Нула функције: \[ \sqrt{x + 4} - 3 = 0 \implies \sqrt{x + 4} = 3 \implies x + 4 = 9 \implies x = 5 \] Нула функције је \( x = 5 \).
Скуп вредности: Како је \( \sqrt{x+4} \ge 0 \), одузимањем 3 добијамо \( f(x) \ge -3 \), па је \( V_f = [-3, +\infty) \).
б) Нула функције: \[ \sqrt{x + 4} - 3 = 0 \implies \sqrt{x + 4} = 3 \implies x + 4 = 9 \implies x = 5 \] Нула функције је \( x = 5 \).
Задатак 3 (средњи): Испитати парност функције \( f(x) = \sqrt[5]{x^3 - x} \).
Домен функције је цео скуп \( \mathbb{R} \) јер је у питању непаран корен (пети корен). Домен је симетричан.
Рачунамо \( f(-x) \): \[ f(-x) = \sqrt[5]{(-x)^3 - (-x)} = \sqrt[5]{-x^3 + x} = \sqrt[5]{-(x^3 - x)} \] Пошто је пети корен непарна функција (\(\sqrt[5]{-A} = -\sqrt[5]{A}\)): \[ f(-x) = -\sqrt[5]{x^3 - x} = -f(x) \] Одговор: Функција је непарна.
Рачунамо \( f(-x) \): \[ f(-x) = \sqrt[5]{(-x)^3 - (-x)} = \sqrt[5]{-x^3 + x} = \sqrt[5]{-(x^3 - x)} \] Пошто је пети корен непарна функција (\(\sqrt[5]{-A} = -\sqrt[5]{A}\)): \[ f(-x) = -\sqrt[5]{x^3 - x} = -f(x) \] Одговор: Функција је непарна.
Задатак 4 (тежак): Решити неједначину \( \sqrt{x} \le x \) на скупу реалних бројева и геометријски интерпретирати решење преко међусобног положаја графика \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x \).
1. Домен: \( x \ge 0 \).
2. За \( x = 0 \): \( \sqrt{0} \le 0 \) је тачно (\(0 \le 0\)).
3. За \( x > 0 \), можемо поделити неједначину са \( \sqrt{x} > 0 \): \[ 1 \le \sqrt{x} \implies \sqrt{x} \ge 1 \implies x \ge 1 \] Према томе, решење неједначине је \( x = 0 \lor x \in [1, +\infty) \), односно \( x \in \{0\} \cup [1, +\infty) \).
Геометријска интерпретација: График функције \( y = \sqrt{x} \) се налази испод или на правој \( y = x \) за \( x = 0 \) и за свако \( x \ge 1 \), док је на интервалу \( (0, 1) \) график корена изнад праве \( y = x \) (нпр. \( \sqrt{0.25} = 0.5 > 0.25 \)).
2. За \( x = 0 \): \( \sqrt{0} \le 0 \) је тачно (\(0 \le 0\)).
3. За \( x > 0 \), можемо поделити неједначину са \( \sqrt{x} > 0 \): \[ 1 \le \sqrt{x} \implies \sqrt{x} \ge 1 \implies x \ge 1 \] Према томе, решење неједначине је \( x = 0 \lor x \in [1, +\infty) \), односно \( x \in \{0\} \cup [1, +\infty) \).
Геометријска интерпретација: График функције \( y = \sqrt{x} \) се налази испод или на правој \( y = x \) за \( x = 0 \) и за свако \( x \ge 1 \), док је на интервалу \( (0, 1) \) график корена изнад праве \( y = x \) (нпр. \( \sqrt{0.25} = 0.5 > 0.25 \)).
