Најважније из лекције
Дефиниција: За \( a > 0 \), \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \). Сваки корен јесте степен са разломачким изложиоцем (нпр. \( \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} \)).
Правила рачунања: За рационалне изложиоце важе идентична правила као и за целе: \[ a^p \cdot a^q = a^{p+q}, \quad a^p : a^q = a^{p-q}, \quad (a^p)^q = a^{pq}, \quad (ab)^p = a^p b^p \]
Примена: Сложени изрази са уметнутим коренима најбрже се решавају претварањем корена у разломке, алгебарским сабирањем/одузимањем изложилаца, и коначним враћањем у облик једног корена.
Правила рачунања: За рационалне изложиоце важе идентична правила као и за целе: \[ a^p \cdot a^q = a^{p+q}, \quad a^p : a^q = a^{p-q}, \quad (a^p)^q = a^{pq}, \quad (ab)^p = a^p b^p \]
Примена: Сложени изрази са уметнутим коренима најбрже се решавају претварањем корена у разломке, алгебарским сабирањем/одузимањем изложилаца, и коначним враћањем у облик једног корена.
Степен позитивног реалног броја \( a \) чији је изложилац рационалан број \( \frac{m}{n} \) (\( m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \)) дефинише се преко кореновања.
\[ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \quad (a > 0, \; n \in \mathbb{N}, \; m \in \mathbb{Z}) \]
Посебно, када је \( m = 1 \): \( a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)
Сваки корен позитивног броја може се записати као степен са разломачким изложиоцем и обрнуто.
- \( 8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 \)
- \( 25^{-\frac{3}{2}} = (\sqrt{25})^{-3} = 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125} \)
- \( 16^{0{,}25} = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2 \)
Израчунајте вредност израза: \( 27^{\frac{4}{3}} \).
\( 27^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{27})^4 = 3^4 = 81 \).
За позитивне реалне бројеве \( a > 0, b > 0 \) и произвољне рационалне бројеве \( p, q \in \mathbb{Q} \) важе сва основна правила степеновања:
- Множење степена истих основа: \( a^p \cdot a^q = a^{p+q} \)
- Дељење степена истих основа: \( a^p : a^q = a^{p-q} \)
- Степеновање степена: \( (a^p)^q = a^{p \cdot q} \)
- Степен производа: \( (ab)^p = a^p \cdot b^p \)
- Степен количника: \( \left(\frac{a}{b}\right)^p = \frac{a^p}{b^p} \)
Упростимо израз коришћењем особина:
\[ a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = a^{\frac{3+2}{6}} = a^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{a^5} \]
Израчунајте вредност израза \( (2^{\frac{1}{2}} \cdot 4^{\frac{1}{4}})^2 \).
Сведемо све чиниоце на исту основу \( 2 \):
\[ 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} \]
\[ (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})^2 = (2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})^2 = (2^1)^2 = 4 \]
Корене у сложеним алгебарским изразима често је знатно лакше средити превођењем корена у степене са рационалним изложиоцима.
Прелазак на степене: Сваки корен се записује као рационалан изложилац према правилу \( \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} \).
Примена правила степеновања: Множењем, сабирањем и одузимањем изложилаца груписати исте променљиве.
Повратак на корен (по потреби): Крајњи резултат облика \( x^{\frac{m}{n}} \) по потреби се поново записује у облику корена \( \sqrt[n]{x^m} \).
Упростимо израз \( \sqrt{a \sqrt[3]{a}} \) за \( a > 0 \):
\[ \sqrt{a \sqrt[3]{a}} = (a \cdot a^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{1 + \frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2} \]
Упростите израз \( \sqrt[3]{\frac{\sqrt{x}}{x}} \) за \( x > 0 \).
\[ \sqrt[3]{\frac{\sqrt{x}}{x}} = \left( \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^1} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( x^{\frac{1}{2} - 1} \right)^{\frac{1}{3}} = (x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = x^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{x}} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунајте без употребе калкулатора вредности израза:
а) \( 81^{\frac{3}{4}} \)
б) \( 64^{-\frac{1}{3}} \)
в) \( 0{,}001^{\frac{2}{3}} \)
а) \( 81^{\frac{3}{4}} \)
б) \( 64^{-\frac{1}{3}} \)
в) \( 0{,}001^{\frac{2}{3}} \)
а) \( 81^{\frac{3}{4}} = (\sqrt[4]{81})^3 = 3^3 = 27 \)
б) \( 64^{-\frac{1}{3}} = (\sqrt[3]{64})^{-1} = 4^{-1} = \frac{1}{4} \)
в) \( 0{,}001^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{1000}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{\frac{1}{1000}}\right)^2 = \left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{1}{100} = 0{,}01 \)
б) \( 64^{-\frac{1}{3}} = (\sqrt[3]{64})^{-1} = 4^{-1} = \frac{1}{4} \)
в) \( 0{,}001^{\frac{2}{3}} = \left(\frac{1}{1000}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{\frac{1}{1000}}\right)^2 = \left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{1}{100} = 0{,}01 \)
Задатак 2 (средњи): Израчунајте вредност бројевног израза:
\[ \frac{8^{\frac{2}{3}} \cdot 16^{-\frac{3}{4}}}{4^{-\frac{1}{2}}} \]
Сведемо све бројеве на степен основе 2:
\( 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \)
\( 16^{-\frac{3}{4}} = (2^4)^{-\frac{3}{4}} = 2^{-3} = \frac{1}{8} \)
\( 4^{-\frac{1}{2}} = (2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \)
Уврштавањем добијамо: \[ \frac{4 \cdot \frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \]
\( 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \)
\( 16^{-\frac{3}{4}} = (2^4)^{-\frac{3}{4}} = 2^{-3} = \frac{1}{8} \)
\( 4^{-\frac{1}{2}} = (2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} \)
Уврштавањем добијамо: \[ \frac{4 \cdot \frac{1}{8}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1 \]
Задатак 3 (средњи): Упростите израз за \( x > 0 \) и \( y > 0 \):
\[ \left( x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{1}{3}} \right)^6 \cdot (x^2 y)^{\frac{1}{2}} \]
Применимо степеновање на сваки чинилац у заградама:
\[ (x^{\frac{1}{2}})^6 \cdot (y^{-\frac{1}{3}})^6 \cdot (x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} \]
\[ = x^3 \cdot y^{-2} \cdot x^1 \cdot y^{\frac{1}{2}} \]
Саберемо изложиоце са истим основама:
\[ = x^{3+1} \cdot y^{-2 + \frac{1}{2}} = x^4 \cdot y^{-\frac{3}{2}} = \frac{x^4}{\sqrt{y^3}} = \frac{x^4}{y\sqrt{y}} \]
Задатак 4 (тежак): Запишите у облику једног корена израз:
\[ \sqrt{\frac{\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt{a}}{\sqrt{a \sqrt[3]{b}}}} \quad (a > 0, \; b > 0) \]
Преведемо све корене у степене са рационалним изложиоцима:
Бројилац под спољашњим кореном: \( b^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} \)
Именилац под спољашњим кореном: \( \sqrt{a \cdot b^{\frac{1}{3}}} = (a \cdot b^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{6}} \)
Разломак под спољашњим кореном: \[ \frac{b^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = a^0 \cdot b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{6}} \] Сада применимо спољашњи квадратни корен: \[ \sqrt{b^{\frac{1}{6}}} = (b^{\frac{1}{6}})^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{b} \]
Бројилац под спољашњим кореном: \( b^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} \)
Именилац под спољашњим кореном: \( \sqrt{a \cdot b^{\frac{1}{3}}} = (a \cdot b^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{6}} \)
Разломак под спољашњим кореном: \[ \frac{b^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = a^0 \cdot b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{6}} \] Сада применимо спољашњи квадратни корен: \[ \sqrt{b^{\frac{1}{6}}} = (b^{\frac{1}{6}})^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{12}} = \sqrt[12]{b} \]
