Најважније из лекције
Координате на кружници: Свакој тачки \( M \) на тригонометријској кружници одговара угао \( \alpha \), при чему је \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \). Важи \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Ограниченост и период: \( -1 \le \sin \alpha, \cos \alpha \le 1 \). Основни период обе функције износи \( 2\pi \) (\( 360^\circ \)).
Парност: \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \) (парна), док је \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \) (непарна).
Свођење на I квадрант: Преко облика \( k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha \): знак се одређује према квадранту полазног угла; функција мења име за непарно \( k \), а задржава име за парно \( k \).
Једначине: Решења једначине \( \sin \alpha = c \) су \( \arcsin c + 2k\pi \) и \( \pi - \arcsin c + 2k\pi \). Решења једначине \( \cos \alpha = c \) су \( \pm \arccos c + 2k\pi \) (за \( |c| \le 1 \)).
Ограниченост и период: \( -1 \le \sin \alpha, \cos \alpha \le 1 \). Основни период обе функције износи \( 2\pi \) (\( 360^\circ \)).
Парност: \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \) (парна), док је \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \) (непарна).
Свођење на I квадрант: Преко облика \( k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha \): знак се одређује према квадранту полазног угла; функција мења име за непарно \( k \), а задржава име за парно \( k \).
Једначине: Решења једначине \( \sin \alpha = c \) су \( \arcsin c + 2k\pi \) и \( \pi - \arcsin c + 2k\pi \). Решења једначине \( \cos \alpha = c \) су \( \pm \arccos c + 2k\pi \) (за \( |c| \le 1 \)).
Тригонометријска кружница је кружница \( k(O, 1) \) са центром у координатном почетку \( O(0,0) \) и полупречником \( r = 1 \). Њена једначина у Декартовом систему гласи \( x^2 + y^2 = 1 \).
Нека завршни крак уопштеног угла \( \alpha \) сече тригонометријску кружницу у тачки \( M(x, y) \). Тада је:
\[ \cos \alpha = x \quad (\text{апсциса тачке } M) \]
\[ \sin \alpha = y \quad (\text{ордината тачке } M) \]
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
Основни тригонометријски идентитет
Ограниченост: Вредности синуса и косинуса за било који угао \( \alpha \) припадају интервалу \( [-1, 1] \):
\[ -1 \le \sin \alpha \le 1, \quad -1 \le \cos \alpha \le 1 \]
Да ли тачка са координатама \( M\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) \) може представљати пресек завршног крака неког угла и тригонометријске кружнице?
Проверавамо једначину тригонометријске кружнице:
\[ x^2 + y^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 \]
Тачка задовољава једначину \( x^2 + y^2 = 1 \), па припада тригонометријској кружници и одређује угао за који је \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \) и \( \sin \alpha = \frac{4}{5} \).
Периодичност: Функције синус и косинус су периодичне са основним периодом \( 2\pi \) (односно \( 360^\circ \)). За свако \( k \in \mathbb{Z} \) важи:
\[ \sin(\alpha + 2k\pi) = \sin \alpha \quad \text{и} \quad \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos \alpha \]
Парност: Косинус је парна функција, а синус непарна:
\[ \cos(-\alpha) = \cos \alpha \qquad \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \]
Знаци тригонометријских функција по квадрантима:
| Функција | I квадрант | II квадрант | III квадрант | IV квадрант |
|---|---|---|---|---|
| \( \sin \alpha \) (\( y \)-координата) | \( + \) | \( + \) | \( - \) | \( - \) |
| \( \cos \alpha \) (\( x \)-координата) | \( + \) | \( - \) | \( - \) | \( + \) |
Нуле и екстремне вредности (\( k \in \mathbb{Z} \)):
\[ \sin(k\pi) = 0, \quad \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = 1, \quad \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right) = -1 \]
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right) = 0, \quad \cos(2k\pi) = 1, \quad \cos(\pi + 2k\pi) = -1 \]
Одреди знак производа \( \sin 210^\circ \cdot \cos 300^\circ \).
Угао \( 210^\circ \) се налази у III квадранту, па је \( \sin 210^\circ < 0 \).
Угао \( 300^\circ \) се налази у IV квадранту, па је \( \cos 300^\circ > 0 \).
Производ негативног и позитивног броја је негативан: \( \sin 210^\circ \cdot \cos 300^\circ < 0 \).
Угао \( 300^\circ \) се налази у IV квадранту, па је \( \cos 300^\circ > 0 \).
Производ негативног и позитивног броја је негативан: \( \sin 210^\circ \cdot \cos 300^\circ < 0 \).
Вредност синуса или косинуса било ког уопштеног угла \( \beta \) може се изразити преко одговарајућег оштрог угла \( \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \).
Угао \( \beta \) записујемо у облику \( k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) (или \( k \cdot 90^\circ \pm \alpha \)).
Одређујемо знак полазне функције у квадранту у коме се налази угао \( \beta \).
Испитујемо парност броја \( k \):
- Ако је \( k \) паран број (\( k = 2p \)): функција не мења своје име (\( \sin \to \sin \), \( \cos \to \cos \)).
- Ако је \( k \) непаран број (\( k = 2p + 1 \)): функција прелази у одговарајућу кофункцију (\( \sin \to \cos \), \( \cos \to \sin \)).
| II квадрант | III квадрант | IV квадрант |
|---|---|---|
| \( \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha \) | \( \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \) | \( \sin(2\pi - \alpha) = -\sin \alpha \) |
| \( \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha \) | \( \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha \) | \( \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha \) |
| \( \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha \) | \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos \alpha \) | \( \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos \alpha \) |
| \( \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha \) | \( \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin \alpha \) | \( \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha \) |
Израчунавање \( \cos 120^\circ \):
1. начин: \( \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \) (јер је косинус у II квадранту негативан, а за \( 180^\circ = 2 \cdot 90^\circ \) функција не мења име).
2. начин: \( \cos(90^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} \) (јер је за \( 90^\circ = 1 \cdot 90^\circ \) број \( k=1 \) непаран, па косинус прелази у синус).
1. начин: \( \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \) (јер је косинус у II квадранту негативан, а за \( 180^\circ = 2 \cdot 90^\circ \) функција не мења име).
2. начин: \( \cos(90^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2} \) (јер је за \( 90^\circ = 1 \cdot 90^\circ \) број \( k=1 \) непаран, па косинус прелази у синус).
Ако је \( |c| > 1 \), једначине \( \sin \alpha = c \) и \( \cos \alpha = c \) немају реалних решења због особине ограничености.
Аркус синус (\( \arcsin c \)): За свако \( c \in [-1, 1] \), то је јединствени угао из интервала \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) чији је синус једнак \( c \).
Решења једначине \( \sin \alpha = c \) (\( |c| \le 1 \)):
\[ \alpha \in \{ \arcsin c + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ \pi - \arcsin c + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \]
Аркус косинус (\( \arccos c \)): За свако \( c \in [-1, 1] \), то је јединствени угао из интервала \( [0, \pi] \) чији је косинус једнак \( c \).
Решења једначине \( \cos \alpha = c \) (\( |c| \le 1 \)):
\[ \alpha \in \{ \arccos c + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \cup \{ -\arccos c + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} \]
Краће се записује као: \( \alpha = \pm \arccos c + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \).
Реши једначину \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \).
Главно решење је \( \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \).
Скуп свих решења је: \[ \alpha = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Скуп свих решења је: \[ \alpha = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност израза:
\[ A = \sin 150^\circ + \cos 60^\circ \]
Угао \( 150^\circ \) сводимо на први квадрант:
\[ \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \]
Знамо да је \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).
Следи: \[ A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
Следи: \[ A = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
Задатак 2 (средњи): Применом свођења на први квадрант и периодичности израчунај:
\[ \cos \frac{7\pi}{3} - \sin \frac{5\pi}{4} \]
1. Због периодичности од \( 2\pi \):
\[ \cos \frac{7\pi}{3} = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \]
2. Угао \( \frac{5\pi}{4} \) припада III квадранту (синус је негативан):
\[ \sin \frac{5\pi}{4} = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
3. Вредност израза је:
\[ \frac{1}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \]
Задатак 3 (средњи): Реши тригонометријску једначину:
\[ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
Одређујемо главно решење: \( \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} \).
Друго решење унутар једног периода је: \( \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} \).
Скуп свих решења чине две серије решења (\( k \in \mathbb{Z} \)): \[ \alpha_1 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \left(\text{или } \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\right) \] \[ \alpha_2 = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \]
Друго решење унутар једног периода је: \( \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} \).
Скуп свих решења чине две серије решења (\( k \in \mathbb{Z} \)): \[ \alpha_1 = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \left(\text{или } \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\right) \] \[ \alpha_2 = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \]
Задатак 4 (тежак): Одреди сва решења једначине \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) која се налазе на интервалу \( [\pi, 2\pi] \).
Опште решење једначине је:
\[ \alpha = \pm \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2k\pi \]
Како је \( \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} \), решења су:
\[ \alpha = \pm \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Тражимо вредности за које је \( \pi \le \alpha \le 2\pi \):
- За серију \( \alpha = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \): за \( k = 0 \) добијамо \( \frac{3\pi}{4} < \pi \), а за \( k = 1 \) је \( \frac{11\pi}{4} > 2\pi \), па овде нема решења на задатом интервалу.
- За серију \( \alpha = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi \): за \( k = 1 \) добијамо: \[ \alpha = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} \] Будући да је \( \pi \le \frac{5\pi}{4} \le 2\pi \), ово је тражено решење.
