Најважније из лекције
Основна јединица: \( 1\text{ rad} \) је угао чији је одговарајући лук једнак полупречнику кружнице (\( \ell = r \)).
Основни однос: \( 180^\circ = \pi\text{ rad} \approx 3{,}14\text{ rad} \)
Формуле за превођење: \[ \text{Степени у радијане: } \alpha = \frac{a \cdot \pi}{180}\text{ rad} \qquad | \qquad \text{Радијани у степене: } a^\circ = \frac{b}{\pi} \cdot 180^\circ \] Дужина кружног лука: \( \ell = r \cdot \alpha \) (где је \( \alpha \) у радијанима).
Основни однос: \( 180^\circ = \pi\text{ rad} \approx 3{,}14\text{ rad} \)
Формуле за превођење: \[ \text{Степени у радијане: } \alpha = \frac{a \cdot \pi}{180}\text{ rad} \qquad | \qquad \text{Радијани у степене: } a^\circ = \frac{b}{\pi} \cdot 180^\circ \] Дужина кружног лука: \( \ell = r \cdot \alpha \) (где је \( \alpha \) у радијанима).
Радијанска мера угла је начин мерења углова код кога се за меру угла узима дужина одговарајућег кружног лука на јединичној кружници (\( r = 1 \)).
Јединица мере је радијан (\(\text{rad}\)). Један радијан (\(1\text{ rad}\)) јесте онај централни угао коме на јединичној кружници одговара кружни лук дужине \(1\).
Карактеристични углови изражени у радијанима:
- Пун угао (\(360^\circ\)): \( 2\pi\text{ rad} \approx 6{,}28\text{ rad} \)
- Опружен угао (\(180^\circ\)): \( \pi\text{ rad} \approx 3{,}14\text{ rad} \)
- Прав угао (\(90^\circ\)): \( \frac{\pi}{2}\text{ rad} \approx 1{,}57\text{ rad} \)
Радијанска мера угла једнака је размери дужине одговарајућег кружног лука \( \ell \) и полупречника кружнице \( r \).
\[ \alpha = \frac{\ell}{r}\text{ rad} \quad \Longleftrightarrow \quad \ell = r \cdot \alpha \]
\( \ell \) – дужина кружног лука, \( r \) – полупречник кружнице, \( \alpha \) – мера централног угла у радијанима
Ако је полупречник кружнице \( r = 5\text{ cm} \), а угао \( \alpha = 2\text{ rad} \), дужина одговарајућег кружног лука износи:
\[ \ell = r \cdot \alpha = 5\text{ cm} \cdot 2 = 10\text{ cm} \]
Израчунајте радијанску меру централног угла коме на кружници полупречника \( r = 4\text{ m} \) одговара лук дужине \( \ell = 6\text{ m} \).
Применом формуле:
\[ \alpha = \frac{\ell}{r} = \frac{6\text{ m}}{4\text{ m}} = 1{,}5\text{ rad} \]
Ако је степена мера угла једнака \( a^\circ \), његова радијанска мера \( \alpha \) износи:
\[ \alpha = \frac{a \cdot \pi}{180}\text{ rad} \]
1. Број степени \( a \) помножити са \( \pi \) и поделити са \( 180 \).
2. Скратити разломак \( \frac{a}{180} \) до најједноставнијег облика.
2. Скратити разломак \( \frac{a}{180} \) до најједноставнијег облика.
Превести угао од \( 30^\circ \) у радијане:
\[ \alpha = \frac{30 \cdot \pi}{180}\text{ rad} = \frac{\pi}{6}\text{ rad} \approx 0{,}52\text{ rad} \]
Претворите угао од \( 135^\circ \) у радијанску меру.
\[ \alpha = \frac{135 \cdot \pi}{180}\text{ rad} = \frac{135 : 45}{180 : 45}\pi\text{ rad} = \frac{3\pi}{4}\text{ rad} \]
Ако је радијанска мера угла једнака \( b\text{ rad} \), његова степена мера \( a^\circ \) износи:
\[ a^\circ = \frac{b}{\pi} \cdot 180^\circ \]
Када је угао у радијанима изражен преко \( \pi \), најједноставније је заменити \( \pi \) са \( 180^\circ \).
Превести \( \frac{\pi}{3}\text{ rad} \) у степену меру:
\[ \frac{\pi}{3} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \]
Претворите угао од \( \frac{5\pi}{6}\text{ rad} \) у степену меру.
\[ a^\circ = \frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одредите радијанске мере следећих углова: \( 45^\circ \) и \( 270^\circ \).
Примењујемо формулу \( \alpha = \frac{a \cdot \pi}{180} \):
- За \( 45^\circ \): \( \alpha = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}\text{ rad} \)
- За \( 270^\circ \): \( \alpha = \frac{270\pi}{180} = \frac{3\pi}{2}\text{ rad} \)
Задатак 2 (средњи): Одредите степену меру следећих углова датих у радијанима:
\[ \text{а) } \frac{2\pi}{3}\text{ rad} \qquad \text{б) } \frac{11\pi}{12}\text{ rad} \]
Замењујемо \( \pi \) са \( 180^\circ \):
- а) \( \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \)
- б) \( \frac{11 \cdot 180^\circ}{12} = 11 \cdot 15^\circ = 165^\circ \)
Задатак 3 (средњи): Централном углу од \( 60^\circ \) на некој кружници одговара кружни лук дужине \( 4\pi\text{ cm} \). Одредите дужину полупречника те кружнице.
1. Преводимо угао у радијане:
\[ \alpha = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}\text{ rad} \]
2. Из формуле \( \ell = r \cdot \alpha \) изражавамо полупречник \( r \):
\[ r = \frac{\ell}{\alpha} = \frac{4\pi}{\frac{\pi}{3}} = 4\pi \cdot \frac{3}{\pi} = 12\text{ cm} \]
Задатак 4 (тежи): Терен за бацање диска има облик кружног исечка. На удаљености од \( 80\text{ m} \) од центра исечка исцртан је кружни лук дужине \( 48{,}76\text{ m} \).
а) Израчунајте угао овог сектора у радијанима.
б) Израчунајте дужину исцртаног лука на удаљености од \( 40\text{ m} \) од центра.
а) Израчунајте угао овог сектора у радијанима.
б) Израчунајте дужину исцртаног лука на удаљености од \( 40\text{ m} \) од центра.
а) Радијанска мера угла је размера дужине лука и полупречника:
\[ \alpha = \frac{\ell_1}{r_1} = \frac{48{,}76\text{ m}}{80\text{ m}} = 0{,}6095\text{ rad} \]
б) За полупречник \( r_2 = 40\text{ m} \), дужина лука је:
\[ \ell_2 = r_2 \cdot \alpha = 40\text{ m} \cdot 0{,}6095\text{ rad} = 24{,}38\text{ m} \]
(Уочавамо да је полупречник дупло мањи, па је и дужина лука дупло мања: \( 48{,}76 : 2 = 24{,}38\text{ m} \)).
