Најважније из лекције
Квадратне неједначине: Решавају се графичким скицирањем параболе или помоћу таблице знака након факторизације \( a(x - x_1)(x - x_2) \).
Знак параболе (\( D > 0 \)): Између нула знак је супротан од знака коефицијента \( a \), а ван нула исти као знак коефицијента \( a \).
Стална позитивност / негативност:
Знак параболе (\( D > 0 \)): Између нула знак је супротан од знака коефицијента \( a \), а ван нула исти као знак коефицијента \( a \).
Стална позитивност / негативност:
- \( ax^2 + bx + c > 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff a > 0 \text{ и } D < 0 \)
- \( ax^2 + bx + c < 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff a < 0 \text{ и } D < 0 \)
Квадратне неједначине су неједначине облика:
\[ ax^2 + bx + c > 0, \quad ax^2 + bx + c \geq 0, \quad ax^2 + bx + c < 0, \quad ax^2 + bx + c \leq 0 \quad (a \neq 0) \]
- Реши се одговарајућа квадратна једначина \( ax^2 + bx + c = 0 \) ради одређивања нула функције (\( x_1, x_2 \)).
- Одреди се смер отвора параболе на основу коефицијента \( a \):
- Ако је \( a > 0 \), парабола је окренута отвором нагоре (\( \cup \)).
- Ако је \( a < 0 \), парабола је окренута отвором надоле (\( \cap \)).
- Скицира се график и очитају се интервали на \( x \)-оси где је график изнад \( x \)-осе (\( y > 0 \)) или испод \( x \)-осе (\( y < 0 \)).
Решимо неједначину \( x^2 - x - 2 > 0 \):
Нуле тринома су \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 2 \). Пошто је \( a = 1 > 0 \), парабола је окренута нагоре.
Вредности функције су позитивне за \( x < -1 \) и \( x > 2 \).
Решење је \( x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \).
Нуле тринома су \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 2 \). Пошто је \( a = 1 > 0 \), парабола је окренута нагоре.
Вредности функције су позитивне за \( x < -1 \) и \( x > 2 \).
Решење је \( x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \).
Решите неједначину \( -x^2 + 2x + 3 \geq 0 \).
Нуле једначине \( -x^2 + 2x + 3 = 0 \) су \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = 3 \).
Коефицијент \( a = -1 < 0 \), па је парабола окренута надоле.
График је изнад или на \( x \)-оси на сегменту између нула.
Решење: \( x \in [-1, 3] \).
Коефицијент \( a = -1 < 0 \), па је парабола окренута надоле.
График је изнад или на \( x \)-оси на сегменту између нула.
Решење: \( x \in [-1, 3] \).
Квадратни трином се растави на линеарне чиниоце према формули:
\[ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2) \]
На реалној правој се означе нуле свих чинилаца, а затим се у табели одређује знак сваког појединачног чиниоца и њиховог производа на добијеним интервалима.
За неједначину \( x^2 - x - 2 > 0 \), факторизација даје \( (x + 1)(x - 2) > 0 \).
Очитавањем позитивних поља добија се решење: \( x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) \).
| Чинилац / Интервал | \( (-\infty, -1) \) | \( (-1, 2) \) | \( (2, +\infty) \) |
|---|---|---|---|
| \( x + 1 \) | \( - \) | \( + \) | \( + \) |
| \( x - 2 \) | \( - \) | \( - \) | \( + \) |
| \( (x+1)(x-2) \) | \( + \) | \( - \) | \( + \) |
Раставите трином \( 2x^2 - 5x + 2 \) на чиниоце и одредите где је \( 2x^2 - 5x + 2 \leq 0 \).
Нуле једначине су \( x_1 = \frac{1}{2} \) и \( x_2 = 2 \).
Факторизација: \( 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 2) = (2x - 1)(x - 2) \).
Трином има негативне и нулте вредности између својих корена.
Решење: \( x \in \left[\frac{1}{2}, 2\right] \).
Факторизација: \( 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - 2) = (2x - 1)(x - 2) \).
Трином има негативне и нулте вредности између својих корена.
Решење: \( x \in \left[\frac{1}{2}, 2\right] \).
| Услов | Положај параболе | \( ax^2+bx+c > 0 \) | \( ax^2+bx+c \geq 0 \) | \( ax^2+bx+c < 0 \) | \( ax^2+bx+c \leq 0 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( D > 0, a > 0 \) | Сече \( x \)-осу у \( x_1, x_2 \); отвор горе | \( (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) \) | \( (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty) \) | \( (x_1, x_2) \) | \( [x_1, x_2] \) |
| \( D > 0, a < 0 \) | Сече \( x \)-осу у \( x_1, x_2 \); отвор доле | \( (x_1, x_2) \) | \( [x_1, x_2] \) | \( (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) \) | \( (-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty) \) |
| \( D = 0, a > 0 \) | Додирује \( x \)-осу у \( x_T \); цела изнад | \( \mathbb{R} \setminus \{x_T\} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \emptyset \) | \( \{x_T\} \) |
| \( D = 0, a < 0 \) | Додирује \( x \)-осу у \( x_T \); цела испод | \( \emptyset \) | \( \{x_T\} \) | \( \mathbb{R} \setminus \{x_T\} \) | \( \mathbb{R} \) |
| \( D < 0, a > 0 \) | Нема додира са \( x \)-осом; цела изнад | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) | \( \emptyset \) | \( \emptyset \) |
| \( D < 0, a < 0 \) | Нема додира са \( x \)-осом; цела испод | \( \emptyset \) | \( \emptyset \) | \( \mathbb{R} \) | \( \mathbb{R} \) |
Услови за стални знак квадратног тринома:
- Трином је увек позитиван (\( ax^2 + bx + c > 0, \forall x \in \mathbb{R} \)) ако и само ако је \( a > 0 \) и \( D < 0 \).
- Трином је увек негативан (\( ax^2 + bx + c < 0, \forall x \in \mathbb{R} \)) ако и само ако је \( a < 0 \) и \( D < 0 \).
Решите неједначину \( x^2 - 2x + 2 > 0 \).
Дискриминанта: \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 < 0 \).
Коефицијент уз \( x^2 \) је \( a = 1 > 0 \).
Пошто је \( a > 0 \) и \( D < 0 \), вредност тринома је увек строго позитивна.
Решење: \( x \in \mathbb{R} \).
Коефицијент уз \( x^2 \) је \( a = 1 > 0 \).
Пошто је \( a > 0 \) и \( D < 0 \), вредност тринома је увек строго позитивна.
Решење: \( x \in \mathbb{R} \).
Код рационалних неједначина облика \( \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0 \) обавезно важи услов дефинисаности: \( Q(x) \neq 0 \). Именилац не сме бити једнак нули!
- Све чланове пребацити на једну страну тако да на другој страни остане \( 0 \).
- Свести израз на један разломак \( \frac{P(x)}{Q(x)} \).
- Факторисати бројилац и именилац.
- Направити таблицу знака или узети у обзир дефинисане знаке појединих делова тринома (нпр. ако је неки чинилац увек позитиван због \( D < 0 \) и \( a > 0 \)).
Решимо неједначину \( \frac{-x^2 + 8x + 2}{x^2 - x + 1} \geq 0 \):
Именилац има \( a = 1 > 0 \) и \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 \), што значи да је \( x^2 - x + 1 > 0 \) за свако \( x \in \mathbb{R} \).
Како је именилац увек позитиван, знак целог разломка зависи искључиво од бројиоца: \[ -x^2 + 8x + 2 \geq 0 \] Нуле бројиоца су \( x_{1,2} = 4 \mp 3\sqrt{2} \), а пошто је \( a = -1 < 0 \), решење је интервал између нула: \( [4 - 3\sqrt{2}, 4 + 3\sqrt{2}] \).
Именилац има \( a = 1 > 0 \) и \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 \), што значи да је \( x^2 - x + 1 > 0 \) за свако \( x \in \mathbb{R} \).
Како је именилац увек позитиван, знак целог разломка зависи искључиво од бројиоца: \[ -x^2 + 8x + 2 \geq 0 \] Нуле бројиоца су \( x_{1,2} = 4 \mp 3\sqrt{2} \), а пошто је \( a = -1 < 0 \), решење је интервал између нула: \( [4 - 3\sqrt{2}, 4 + 3\sqrt{2}] \).
Решите неједначину \( \frac{x - 3}{x^2 - 4} \leq 0 \).
Разложимо именилац: \( \frac{x - 3}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0 \), уз услов \( x \neq \pm 2 \).
Критичне тачке су \( -2, 2, 3 \).
Знак израза по интервалима:
Критичне тачке су \( -2, 2, 3 \).
Знак израза по интервалима:
- \( (-\infty, -2) \): \( \frac{-}{(-)(-)} = - \) (одговара)
- \( (-2, 2) \): \( \frac{-}{(+)(-)} = + \)
- \( (2, 3] \): \( \frac{-}{(+)(+)} = - \) (одговара)
- \( (3, +\infty) \): \( \frac{+}{(+)(+)} = + \)
Задаци за вежбање
Задатак 1 (Лаки ниво): Решите квадратну неједначину \( x^2 - 4x - 5 \leq 0 \).
1. Решавамо једначину \( x^2 - 4x - 5 = 0 \):
\[ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} \implies x_1 = -1, \ x_2 = 5 \]
2. Пошто је \( a = 1 > 0 \), парабола је окренута нагоре.
3. Неједначина тражи вредности мање или једнаке нули (део испод и на \( x \)-оси).
Решење: \( x \in [-1, 5] \).
3. Неједначина тражи вредности мање или једнаке нули (део испод и на \( x \)-оси).
Решење: \( x \in [-1, 5] \).
Задатак 2 (Средњи ниво): Решите неједначину \( -x^2 + 4x - 4 < 0 \).
1. Извлачењем минуса или формулом за дискриминанту:
\[ -(x^2 - 4x + 4) < 0 \iff -(x - 2)^2 < 0 \iff (x - 2)^2 > 0 \]
2. Квадрат реалног броја \( (x - 2)^2 \) је увек ненегативан (\( \geq 0 \)), а строго већи од нуле је за сваки реалан број осим када је \( x - 2 = 0 \), односно \( x = 2 \).
Решење: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \) илити \( (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) \).
Решење: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \) илити \( (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) \).
Задатак 3 (Средњи ниво): Решите неједначину \( \frac{x^2 - 9}{x^2 + 1} \geq 0 \).
1. Именилац \( x^2 + 1 > 0 \) за свако \( x \in \mathbb{R} \) (јер је \( x^2 \geq 0 \)).
2. Знак целокупног разломка зависи само од бројиоца: \[ x^2 - 9 \geq 0 \iff (x - 3)(x + 3) \geq 0 \] 3. За параболу окренуту нагоре (\( a = 1 > 0 \)) вредности су ненегативне изван корена \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 3 \).
Решење: \( x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) \).
2. Знак целокупног разломка зависи само од бројиоца: \[ x^2 - 9 \geq 0 \iff (x - 3)(x + 3) \geq 0 \] 3. За параболу окренуту нагоре (\( a = 1 > 0 \)) вредности су ненегативне изван корена \( x_1 = -3 \) и \( x_2 = 3 \).
Решење: \( x \in (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) \).
Задатак 4 (Напредни ниво): Одредите све вредности реалног параметра \( p \) за које је неједнакост \( px^2 - (p-1)x + p > 0 \) тачна за сваки реалан број \( x \).
Да би квадратни трином био строго позитиван за свако \( x \in \mathbb{R} \), морају бити испуњена два услова:
1) \( a > 0 \implies p > 0 \)
2) \( D < 0 \): \[ D = [-(p-1)]^2 - 4 \cdot p \cdot p = (p-1)^2 - 4p^2 = p^2 - 2p + 1 - 4p^2 = -3p^2 - 2p + 1 < 0 \] Решавамо неједначину \( -3p^2 - 2p + 1 < 0 \):
Нуле тринома по \( p \): \[ p_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-3)(1)}}{-6} = \frac{2 \pm 4}{-6} \implies p_1 = -1, \ p_2 = \frac{1}{3} \] Пошто је коефицијент уз \( p^2 \) негативан (\( -3 < 0 \)), вредности су испод нуле за: \[ p \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{1}{3}, +\infty\right) \] Узимајући пресек са првим условом (\( p > 0 \)): \[ p \in (0, +\infty) \cap \left((-\infty, -1) \cup \left(\frac{1}{3}, +\infty\right)\right) = \left(\frac{1}{3}, +\infty\right) \] Решење: \( p \in \left(\frac{1}{3}, +\infty\right) \).
1) \( a > 0 \implies p > 0 \)
2) \( D < 0 \): \[ D = [-(p-1)]^2 - 4 \cdot p \cdot p = (p-1)^2 - 4p^2 = p^2 - 2p + 1 - 4p^2 = -3p^2 - 2p + 1 < 0 \] Решавамо неједначину \( -3p^2 - 2p + 1 < 0 \):
Нуле тринома по \( p \): \[ p_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-3)(1)}}{-6} = \frac{2 \pm 4}{-6} \implies p_1 = -1, \ p_2 = \frac{1}{3} \] Пошто је коефицијент уз \( p^2 \) негативан (\( -3 < 0 \)), вредности су испод нуле за: \[ p \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{1}{3}, +\infty\right) \] Узимајући пресек са првим условом (\( p > 0 \)): \[ p \in (0, +\infty) \cap \left((-\infty, -1) \cup \left(\frac{1}{3}, +\infty\right)\right) = \left(\frac{1}{3}, +\infty\right) \] Решење: \( p \in \left(\frac{1}{3}, +\infty\right) \).
