Најважније из лекције
Рационалне једначине: Своде се на \(\frac{P(x)}{Q(x)} = 0\); решава се \(P(x) = 0\), а сва решења морају задовољити услов \(Q(x) \neq 0\).
Биквадратне једначине: Облика \(ax^4 + bx^2 + c = 0\); решавају се сменом \(t = x^2\).
Метод смене: Идентични изрази замењују се помоћном променљивом (нпр. \(t = x^2 + ax\), \(t = x^n\) или \(t = x + \frac{1}{x}\) где је \(x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2\)).
Једначине са апсолутном вредношћу: Решавају се растављањем на интервале по знаку израза или сменом \(t = |x|\) (\(t \ge 0\)) користећи \(|x|^2 = x^2\).
Параметарске једначине: Захтевају дискусију водећег коефицијента (\(a = 0\) линеарна, \(a \neq 0\) квадратна), знака дискриминанте \(D\) и дефинисаности израза.
Биквадратне једначине: Облика \(ax^4 + bx^2 + c = 0\); решавају се сменом \(t = x^2\).
Метод смене: Идентични изрази замењују се помоћном променљивом (нпр. \(t = x^2 + ax\), \(t = x^n\) или \(t = x + \frac{1}{x}\) где је \(x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2\)).
Једначине са апсолутном вредношћу: Решавају се растављањем на интервале по знаку израза или сменом \(t = |x|\) (\(t \ge 0\)) користећи \(|x|^2 = x^2\).
Параметарске једначине: Захтевају дискусију водећег коефицијента (\(a = 0\) линеарна, \(a \neq 0\) квадратна), знака дискриминанте \(D\) и дефинисаности израза.
Рационалне једначине у којима се непозната налази у имениоцу решавају се свођењем на облик \(\frac{P(x)}{Q(x)} = 0\).
Разломак је једнак нули ако и само ако је бројилац једнак нули, а именилац различит од нуле:
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = 0 \iff P(x) = 0 \ \land \ Q(x) \neq 0 \]
Сва добијена решења једначине \(P(x) = 0\) морају се проверити уврштавањем у услов \(Q(x) \neq 0\). Вредности које именилац анулира нису решења полазне једначине!
Решимо једначину \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = 2\):
\[ \frac{x-1 + x - 2x(x-1)}{x(x-1)} = 0 \iff \frac{-2x^2 + 4x - 1}{x(x-1)} = 0 \]
Услови дефинисаности: \(x \neq 0\) и \(x \neq 1\).
Решавањем \(-2x^2 + 4x - 1 = 0\) добијамо: \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{-4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Оба решења задовољавају услове дефинисаности.
Решавањем \(-2x^2 + 4x - 1 = 0\) добијамо: \[ x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{-4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Оба решења задовољавају услове дефинисаности.
Решити једначину \(\frac{2x^2 + 3x + 1}{-2x^2 + x + 1} = \frac{1}{2}\).
Пребацивањем на једну страну и одузимањем добија се:
\[ \frac{2(2x^2 + 3x + 1) - (-2x^2 + x + 1)}{2(-2x^2 + x + 1)} = 0 \iff \frac{6x^2 + 5x + 1}{-2x^2 + x + 1} = 0 \]
Услов: \(-2x^2 + x + 1 \neq 0\).
Решавањем бројиоца \(6x^2 + 5x + 1 = 0\) добија се: \[ x_1 = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = -\frac{1}{2} \] За \(x_2 = -\frac{1}{2}\) именилац постаје \(-2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 0\), па то није решење.
Једино решење је \(x = -\frac{1}{3}\).
Решавањем бројиоца \(6x^2 + 5x + 1 = 0\) добија се: \[ x_1 = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = -\frac{1}{2} \] За \(x_2 = -\frac{1}{2}\) именилац постаје \(-2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 0\), па то није решење.
Једино решење је \(x = -\frac{1}{3}\).
Биквадратна једначина је једначина четвртог степена облика:
\[ ax^4 + bx^2 + c = 0 \quad (a \neq 0, a, b, c \in \mathbb{R}) \]
1. Уводи се смена \(t = x^2\), чиме се једначина своди на квадратну: \(at^2 + bt + c = 0\).
2. Одређују се решења квадратне једначине \(t_1\) и \(t_2\).
3. Враћа се смена: решавају се једначине \(x^2 = t_1\) и \(x^2 = t_2\).
2. Одређују се решења квадратне једначине \(t_1\) и \(t_2\).
3. Враћа се смена: решавају се једначине \(x^2 = t_1\) и \(x^2 = t_2\).
Ако се једначина решава у скупу \(\mathbb{R}\), за \(t < 0\) једначина \(x^2 = t\) нема реалних решења. У скупу \(\mathbb{C}\), решења су конјуговано-комплексни бројеви \(x = \pm i\sqrt{|t|}\).
Решимо \(x^4 - 7x^2 + 12 = 0\):
Сменом \(t = x^2\) добијамо \(t^2 - 7t + 12 = 0 \implies t_1 = 4, t_2 = 3\).
Враћањем смене:
Сменом \(t = x^2\) добијамо \(t^2 - 7t + 12 = 0 \implies t_1 = 4, t_2 = 3\).
Враћањем смене:
- \(x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2\)
- \(x^2 = 3 \implies x_3 = \sqrt{3}, x_4 = -\sqrt{3}\)
Када се у једначини више пута појављује исти сложенији алгебарски израз, цео тај израз се замењује новом непознатом \(t\).
1. Смена облика \(t = ax^2 + bx\) или \(t = P(x)\):
За једначину \((x^2 - 5x)^2 - 30(x^2 - 5x) - 216 = 0\), уводи се смена \(t = x^2 - 5x\).
Једначина постаје \(t^2 - 30t - 216 = 0\), одакле је \(t_1 = -6, t_2 = 36\).
Затим се решавају две једначине: \(x^2 - 5x = -6\) и \(x^2 - 5x = 36\).
Једначина постаје \(t^2 - 30t - 216 = 0\), одакле је \(t_1 = -6, t_2 = 36\).
Затим се решавају две једначине: \(x^2 - 5x = -6\) и \(x^2 - 5x = 36\).
2. Смена облика \(t = x^n\):
Једначина \(x^6 + 7x^3 - 8 = 0\) се сменом \(t = x^3\) своди на \(t^2 + 7t - 8 = 0\), чија су решења \(t_1 = 1\) и \(t_2 = -8\).
Затим се факторишу разлике/збирови кубова: \(x^3 - 1 = 0 \iff (x-1)(x^2+x+1) = 0\) и \(x^3 + 8 = 0 \iff (x+2)(x^2-2x+4) = 0\).
Затим се факторишу разлике/збирови кубова: \(x^3 - 1 = 0 \iff (x-1)(x^2+x+1) = 0\) и \(x^3 + 8 = 0 \iff (x+2)(x^2-2x+4) = 0\).
3. Симетричне/реципрочне смене:
Ако се уведе смена \(t = x + \frac{1}{x}\), квадрирањем се добија:
\[ t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 \]
Једначине са апсолутним вредностима се у скупу \(\mathbb{R}\) решавају помоћу основне дефиниције:
\[ |x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} \]
Метод 1: Раздвајање на интервале (случајеве)
1. Поставити услове за знак израза унутар апсолутне вредности.
2. Ослободити се апсолутне вредности за сваки случај посебно.
3. Решити одговарајућу квадратну једначину и проверити да ли решења задовољавају постављени услов случаја.
2. Ослободити се апсолутне вредности за сваки случај посебно.
3. Решити одговарајућу квадратну једначину и проверити да ли решења задовољавају постављени услов случаја.
Метод 2: Смена \(t = |x|\)
Како важи \(|x|^2 = x^2\) за свако \(x \in \mathbb{R}\), једначине облика \(ax^2 + b|x| + c = 0\) могу се записати као \(a|x|^2 + b|x| + c = 0\) и решавати сменом:
\[ t = |x|, \quad t \ge 0 \]
Решимо \(x^2 - 5|x| + 6 = 0\):
Смена \(t = |x| \implies t^2 - 5t + 6 = 0 \implies t_1 = 3, t_2 = 2\).
Из \(|x| = 3 \implies x = \pm 3\); из \(|x| = 2 \implies x = \pm 2\).
Решења су: \(\{-3, -2, 2, 3\}\).
Смена \(t = |x| \implies t^2 - 5t + 6 = 0 \implies t_1 = 3, t_2 = 2\).
Из \(|x| = 3 \implies x = \pm 3\); из \(|x| = 2 \implies x = \pm 2\).
Решења су: \(\{-3, -2, 2, 3\}\).
Приликом решавања једначина са параметрима, неопходно је спровести дискусију свих могућих вредности параметра.
1. Испитивање водећег коефицијента: Ако коефицијент уз \(x^2\) зависи од параметра, одредити када је једнак 0 (једначина тада постаје линеарна).
2. Испитивање дискриминанте: За вредности параметра где је једначина квадратна, одредити \(D\) и анализирати природу решења (\(D > 0\), \(D = 0\), \(D < 0\)).
3. Ограничења и услови: Искључити вредности параметра за које полазна једначина губи смисао (нпр. дељење нулом).
2. Испитивање дискриминанте: За вредности параметра где је једначина квадратна, одредити \(D\) и анализирати природу решења (\(D > 0\), \(D = 0\), \(D < 0\)).
3. Ограничења и услови: Искључити вредности параметра за које полазна једначина губи смисао (нпр. дељење нулом).
За једначину \((1 - a^2)x^2 - 2x + 1 = 0\):
- Ако је \(1 - a^2 = 0 \implies a = \pm 1\), једначина је линеарна: \(-2x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}\).
- Ако је \(a \neq \pm 1\), једначина је квадратна са \(D = (-2)^2 - 4(1 - a^2) = 4a^2 \ge 0\), па су решења: \[ x_1 = \frac{1}{1-a}, \quad x_2 = \frac{1}{1+a} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Решити биквадратну једначину \(x^4 - 10x^2 + 9 = 0\) у скупу реалних бројева \(\mathbb{R}\).
Уводимо смену \(t = x^2\) (\(t \ge 0\)):
\[ t^2 - 10t + 9 = 0 \implies (t - 1)(t - 9) = 0 \implies t_1 = 1, \ t_2 = 9 \]
Враћањем смене:
- \(x^2 = 1 \implies x_{1,2} = \pm 1\)
- \(x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm 3\)
Задатак 2 (средњи): Решити једначину \((x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12 = 0\).
Уводимо смену \(t = x^2 + x\).
Једначина постаје: \[ t^2 - 8t + 12 = 0 \implies (t - 2)(t - 6) = 0 \implies t_1 = 2, \ t_2 = 6 \] Враћамо смену кроз две квадратне једначине:
Једначина постаје: \[ t^2 - 8t + 12 = 0 \implies (t - 2)(t - 6) = 0 \implies t_1 = 2, \ t_2 = 6 \] Враћамо смену кроз две квадратне једначине:
- \(x^2 + x = 2 \iff x^2 + x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x - 1) = 0 \implies x_1 = -2, \ x_2 = 1\)
- \(x^2 + x = 6 \iff x^2 + x - 6 = 0 \implies (x + 3)(x - 2) = 0 \implies x_3 = -3, \ x_4 = 2\)
Задатак 3 (средњи): У скупу \(\mathbb{R}\) решити једначину \(x^2 + 2|x| - 8 = 0\).
Користећи једнакост \(x^2 = |x|^2\), уводимо смену \(t = |x|\) уз услов \(t \ge 0\):
\[ t^2 + 2t - 8 = 0 \implies (t + 4)(t - 2) = 0 \implies t_1 = 2, \ t_2 = -4 \]
Решење \(t_2 = -4\) одбацујемо јер \(|x| \ge 0\).
За \(t_1 = 2\) имамо: \[ |x| = 2 \implies x = 2 \quad \lor \quad x = -2 \] Одговор: Скуп решења је \(\{-2, 2\}\).
За \(t_1 = 2\) имамо: \[ |x| = 2 \implies x = 2 \quad \lor \quad x = -2 \] Одговор: Скуп решења је \(\{-2, 2\}\).
Задатак 4 (тежак): Решити рационалну једначину \(\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x - 3} = 1 - x\).
Факторишемо именилац и бројилац разломка:
\[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1), \quad x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) \]
Услови дефинисаности: \(x \neq 3\) и \(x \neq -1\).
Скраћивањем фактора \((x + 1)\) (уз услов \(x \neq -1\)) добијамо: \[ \frac{x - 1}{x - 3} = 1 - x \iff \frac{x - 1}{x - 3} + (x - 1) = 0 \] \[ (x - 1)\left(\frac{1}{x - 3} + 1\right) = 0 \iff (x - 1)\left(\frac{x - 2}{x - 3}\right) = 0 \] Одавде је: \[ x - 1 = 0 \implies x_1 = 1 \] \[ x - 2 = 0 \implies x_2 = 2 \] Оба решења задовољавају услове дефинисаности (\(x \neq 3, x \neq -1\)).
Одговор: Решења су \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2\).
Скраћивањем фактора \((x + 1)\) (уз услов \(x \neq -1\)) добијамо: \[ \frac{x - 1}{x - 3} = 1 - x \iff \frac{x - 1}{x - 3} + (x - 1) = 0 \] \[ (x - 1)\left(\frac{1}{x - 3} + 1\right) = 0 \iff (x - 1)\left(\frac{x - 2}{x - 3}\right) = 0 \] Одавде је: \[ x - 1 = 0 \implies x_1 = 1 \] \[ x - 2 = 0 \implies x_2 = 2 \] Оба решења задовољавају услове дефинисаности (\(x \neq 3, x \neq -1\)).
Одговор: Решења су \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 2\).
