Најважније из лекције
Дефиниција: За \( a \neq 0 \), \( a^0 = 1 \) и \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \); вредност \( 0^0 \) није дефинисана.
Правила рачунања: За све целе изложиоце важи \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), \( (a^m)^n = a^{mn} \), \( (ab)^n = a^n b^n \), \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \).
Стандардни (научни) запис: Запис облика \( a \cdot 10^n \) где је \( 1 \leq a < 10 \) и \( n \in \mathbb{Z} \) (нпр. \( 0,004 = 4 \cdot 10^{-3} \), \( 32\,000 = 3,2 \cdot 10^4 \)).
Упрошћавање израза: Негативни степени се замењују реципрочним вредностима уз коришћење алгебарских идентитета (разлика квадрата, збир/разлика кубова, квадрат бинома).
Правила рачунања: За све целе изложиоце важи \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \), \( (a^m)^n = a^{mn} \), \( (ab)^n = a^n b^n \), \( \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \).
Стандардни (научни) запис: Запис облика \( a \cdot 10^n \) где је \( 1 \leq a < 10 \) и \( n \in \mathbb{Z} \) (нпр. \( 0,004 = 4 \cdot 10^{-3} \), \( 32\,000 = 3,2 \cdot 10^4 \)).
Упрошћавање израза: Негативни степени се замењују реципрочним вредностима уз коришћење алгебарских идентитета (разлика квадрата, збир/разлика кубова, квадрат бинома).
Степен реалног броја \( a \) природним бројем \( n \) је производ \( n \) једнаких чинилаца:
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ пута}} \]
За сваки реалан број \( a \neq 0 \) и сваки природан број \( n \in \mathbb{N} \) дефинише се:
\[ a^0 = 1 \quad \text{и} \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]
Степен нуле је дефинисан само када је изложилац природан број: \( 0^n = 0 \) (\( n \in \mathbb{N} \)). Изрази \( 0^0 \) и \( 0^{-n} \) нису дефинисани.
- \( 3^0 = 1 \)
- \( 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5 \)
- \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)
- \( (-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9} \)
- \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4} \)
Израчунајте вредност израза \( 5^0 + 4^{-1} - 2^{-2} \).
Применом дефиниције степена са целим изложиоцем добијамо:
\[ 5^0 = 1, \quad 4^{-1} = \frac{1}{4}, \quad 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \]
\[ 5^0 + 4^{-1} - 2^{-2} = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 1 \]
Сваки позитиван реалан број може се једнозначно записати у облику:
\[ a \cdot 10^n \]
где је \( 1 \leq a < 10 \) и \( n \in \mathbb{Z} \). Овакав облик назива се стандардни или научни запис броја.
Степени броја 10 са позитивним и негативним изложиоцима:
| \( 10^0 = 1 \) | \( 10^1 = 10 \) | \( 10^2 = 100 \) | \( 10^3 = 1000 \) | \( 10^6 = 1\,000\,000 \) |
| - | \( 10^{-1} = 0,1 \) | \( 10^{-2} = 0,01 \) | \( 10^{-3} = 0,001 \) | \( 10^{-6} = 0,000001 \) |
Научни запис омогућава прегледно представљање веома великих и веома малих бројева:
- Маса Сунца: \( 1\,989\,100\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000 \text{ kg} = 1,9891 \cdot 10^{30} \text{ kg} \)
- Маса електрона: \( 0,\underbrace{00\dots00}_{30 \text{ нула}}910938 \text{ kg} = 9,10938 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \)
- Број \( 45\,000 = 4,5 \cdot 10^4 \)
- Број \( 0,00032 = 3,2 \cdot 10^{-4} \)
Запишите у научном запису бројеве: \( 74\,100\,000 \) и \( 0,000056 \).
1) За \( 74\,100\,000 \), зарез померамо 7 места улево: \( 7,41 \cdot 10^7 \).
2) За \( 0,000056 \), зарез померамо 5 места удесно: \( 5,6 \cdot 10^{-5} \).
2) За \( 0,000056 \), зарез померамо 5 места удесно: \( 5,6 \cdot 10^{-5} \).
Нека су \( a \) и \( b \) реални бројеви различити од нуле (\( a, b \neq 0 \)) и \( m, n \in \mathbb{Z} \). Тада важе следећа правила:
- Множење степена истих основа: \[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]
- Дељење степена истих основа: \[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \]
- Степеновање степена: \[ (a^m)^n = a^{m \cdot n} \]
- Степен производа: \[ (ab)^n = a^n \cdot b^n \]
- Степен количника (разломка): \[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}, \quad \text{специјално: } \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n \]
\[ \frac{a^{-3} \cdot b^4}{(a^2 \cdot b^{-1})^{-2}} = \frac{a^{-3} \cdot b^4}{a^{2 \cdot (-2)} \cdot b^{(-1) \cdot (-2)}} = \frac{a^{-3} \cdot b^4}{a^{-4} \cdot b^2} = a^{-3 - (-4)} \cdot b^{4 - 2} = a^1 \cdot b^2 = ab^2 \]
Израчунајте вредност израза \( \frac{2^{-3} \cdot 4^2}{8^{-1}} \).
Све чиниоце можемо изразити преко основе 2:
\[ 4^2 = (2^2)^2 = 2^4, \quad 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3} \]
\[ \frac{2^{-3} \cdot 2^4}{2^{-3}} = 2^4 = 16 \]
Приликом упрошћавања сложенијих алгебарских израза са степенима често се користе основни алгебарски идентитети:
- Разлика квадрата: \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)
- Квадрат бинома: \( (x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2 \)
- Разлика кубова: \( x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \)
- Збир кубова: \( x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \)
- Куб бинома: \( (x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3 \)
Упростимо израз \( \frac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-2} - y^{-2}} \) за \( x, y \neq 0, x \neq \pm y \):
\[ \frac{x^{-1} + y^{-1}}{x^{-2} - y^{-2}} = \frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}} = \frac{\frac{y+x}{xy}}{\frac{y^2-x^2}{x^2y^2}} = \frac{x^2y^2(x+y)}{xy(y-x)(y+x)} = \frac{xy}{y-x} \]
Ако је \( \frac{a - a^{-1}}{a + a^{-1}} = 3 \), одредите вредност израза \( a^2 \).
Пођимо од једнакости:
\[ a - a^{-1} = 3(a + a^{-1}) \]
\[ a - a^{-1} = 3a + 3a^{-1} \]
\[ -4a^{-1} = 2a \implies -2a^{-1} = a \]
Множењем обе стране са \( a \) (уз услов \( a \neq 0 \)):
\[ a^2 = -2 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунајте вредност израза:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} + 2^{-3} \cdot 16 - 7^0 \]
Рачунамо појединачне чланове:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9 \]
\[ 2^{-3} \cdot 16 = \frac{1}{8} \cdot 16 = 2 \]
\[ 7^0 = 1 \]
Следи:
\[ 9 + 2 - 1 = 10 \]
Одговор: \( 10 \)
Задатак 2 (средњи): Израчунајте и резултат запишите у стандардном (научном) запису:
\[ \frac{7,2 \cdot 10^8 \cdot 1,5 \cdot 10^{-3}}{3,6 \cdot 10^2} \]
Групишемо коефицијенте и степене броја 10:
\[ \frac{7,2 \cdot 1,5}{3,6} \cdot \frac{10^8 \cdot 10^{-3}}{10^2} \]
Како је \( \frac{7,2}{3,6} = 2 \):
\[ 2 \cdot 1,5 \cdot 10^{8 + (-3) - 2} = 3 \cdot 10^3 \]
Одговор: \( 3 \cdot 10^3 \) (или \( 3000 \))
Задатак 3 (средњи): Трансформишите израз у облик \( a^p b^q \) (\( p, q \in \mathbb{Z} \)), под условом \( a \neq 0, b \neq 0 \):
\[ \left(\frac{a^3 b^{-2}}{a^{-1} b^3}\right)^{-2} \]
Прво средимо израз у загради:
\[ \frac{a^3 b^{-2}}{a^{-1} b^3} = a^{3 - (-1)} \cdot b^{-2 - 3} = a^4 b^{-5} \]
Затим применимо спољашњи изложилац:
\[ (a^4 b^{-5})^{-2} = a^{4 \cdot (-2)} \cdot b^{-5 \cdot (-2)} = a^{-8} b^{10} \]
Одговор: \( a^{-8} b^{10} \)
Задатак 4 (тежак): Упростите израз за све вредности за које је дефинисан (\( a, b \neq 0, a \neq \pm b \)):
\[ (a^{-1} + b^{-1})^{-1} \cdot (a^{-2} - b^{-2}) \cdot \left(\frac{a-b}{ab}\right)^{-1} \]
Преведимо све чиниоце у облик са разломцима:
- \( (a^{-1} + b^{-1})^{-1} = \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)^{-1} = \left(\frac{a+b}{ab}\right)^{-1} = \frac{ab}{a+b} \)
- \( a^{-2} - b^{-2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2 b^2} = \frac{(b-a)(b+a)}{a^2 b^2} = -\frac{(a-b)(a+b)}{a^2 b^2} \)
- \( \left(\frac{a-b}{ab}\right)^{-1} = \frac{ab}{a-b} \)
