Најважније из лекције
Експоненцијална функција: \( f(x) = a^x \) (\( a > 0, a \neq 1 \)), дефинисана на \( \mathbb{R} \), са вредностима у \( (0, +\infty) \).
Ток: За \( a > 1 \) функција је строго растућа; за \( 0 < a < 1 \) функција је строго опадајућа.
Кључне тачке и праве: Све основне функције пролазе кроз \( (0, 1) \) и имају хоризонталну асимптоту \( y = 0 \) (\( x \)-оса).
Транслације: График \( y = a^{x-p} + q \) има асимптоту \( y = q \) и скуп вредности \( (q, +\infty) \).
Примене: Моделирање сложене камате \( K = G\left(1 + \frac{p\%}{m}\right)^{mt} \), непрекидног улагања \( K = Ge^{kt} \) и раста популација \( P = P_0 e^{kt} \) помоћу Ојлеровог броја \( e \approx 2{,}718 \).
Ток: За \( a > 1 \) функција је строго растућа; за \( 0 < a < 1 \) функција је строго опадајућа.
Кључне тачке и праве: Све основне функције пролазе кроз \( (0, 1) \) и имају хоризонталну асимптоту \( y = 0 \) (\( x \)-оса).
Транслације: График \( y = a^{x-p} + q \) има асимптоту \( y = q \) и скуп вредности \( (q, +\infty) \).
Примене: Моделирање сложене камате \( K = G\left(1 + \frac{p\%}{m}\right)^{mt} \), непрекидног улагања \( K = Ge^{kt} \) и раста популација \( P = P_0 e^{kt} \) помоћу Ојлеровог броја \( e \approx 2{,}718 \).
Ако је \( a > 0 \) реалан број и \( r \) ирационалан број, степен \( a^r \) представља број коме теже вредности \( a^{r_n} \), где је \( r_n \) низ рационалних апроксимација ирационалног броја \( r \).
За \( a, b > 0 \) и све реалне бројеве \( r, s \in \mathbb{R} \) важе правила:
\[ a^r \cdot a^s = a^{r+s} \]
\[ (a^r)^s = a^{r \cdot s} \]
\[ (a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r \]
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r} \]
Упростити израз \( \frac{2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{2\sqrt{3}}}{(2^{\sqrt{3}})^2} \):
\[ \frac{2^{\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}}{2^{2\sqrt{3}}} = \frac{2^{3\sqrt{3}}}{2^{2\sqrt{3}}} = 2^{3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3}} \]
Израчунајте вредност израза: \( (3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} + 5^{\sqrt{3}-1} \cdot 5^{1-\sqrt{3}} \).
Применом правила степеновања:
\[ (3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = 3^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 3^2 = 9 \]
\[ 5^{\sqrt{3}-1} \cdot 5^{1-\sqrt{3}} = 5^{(\sqrt{3}-1) + (1-\sqrt{3})} = 5^0 = 1 \]
Збир је: \( 9 + 1 = 10 \).
Основна експоненцијална функција је функција облика \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), \( f(x) = a^x \), где је основа \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \).
Графици функција \( y = a^x \) и \( y = \left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x} \) су симетрични у односу на \( y \)-осу, јер тачка \( (x_0, y_0) \) припада првом графику ако и само ако тачка \( (-x_0, y_0) \) припада другом графику.
Сви графици основних експоненцијалних функција независно од основе \( a \) секу \( y \)-осу у истој тачки: \( f(0) = a^0 = 1 \), односно у тачки \( (0, 1) \).
Особине експоненцијалне функције \( f(x) = a^x \) зависе од вредности основе \( a \):
| Особина | Случај \( a > 1 \) | Случај \( 0 < a < 1 \) |
|---|---|---|
| Домен | \( D_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty) \) | \( D_f = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty) \) |
| Скуп вредности (кодомен) | \( V_f = (0, +\infty) \) | \( V_f = (0, +\infty) \) |
| Монотоност | Строго растућа на целом домену | Строго опадајућа на целом домену |
| Ињективност (1-1) | Јесте 1-1: \( a^{x_1} = a^{x_2} \iff x_1 = x_2 \) | Јесте 1-1: \( a^{x_1} = a^{x_2} \iff x_1 = x_2 \) |
| Нуле и знак | Нема нуле; увек позитивна (\( a^x > 0 \)) | Нема нуле; увек позитивна (\( a^x > 0 \)) |
| Конвексност | Конвексна на \( \mathbb{R} \) (\( \cup \)) | Конвексна на \( \mathbb{R} \) (\( \cup \)) |
| Парност | Није ни парна ни непарна | Није ни парна ни непарна |
| Асимптота | Хоризонтална асимптота је \( x \)-оса (\( y = 0 \)) када \( x \to -\infty \) | Хоризонтална асимптота је \( x \)-оса (\( y = 0 \)) када \( x \to +\infty \) |
Упоредите по величини бројеве \( \left(\frac{2}{3}\right)^{-1{,}5} \) и \( \left(\frac{2}{3}\right)^{0{,}8} \).
Основа је \( a = \frac{2}{3} \). Пошто је \( 0 < \frac{2}{3} < 1 \), одговарајућа експоненцијална функција је опадајућа.
Како је \( -1{,}5 < 0{,}8 \), важи обрнут смер неједнакости: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-1{,}5} > \left(\frac{2}{3}\right)^{0{,}8} \]
Како је \( -1{,}5 < 0{,}8 \), важи обрнут смер неједнакости: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^{-1{,}5} > \left(\frac{2}{3}\right)^{0{,}8} \]
График функције \( g(x) = a^{x - p} + q \) добија се транслацијом основног графика \( f(x) = a^x \):
Померање за \( p \) јединица дуж \( x \)-осе (удесно ако је \( p > 0 \), улево ако је \( p < 0 \)).
Померање за \( q \) јединица дуж \( y \)-осе (нагоре ако је \( q > 0 \), надоле ако је \( q < 0 \)).
При вертикалној транслацији за \( q \), транслира се и хоризонтална асимптота, па нова асимптота постаје права \( y = q \), а скуп вредности функције постаје \( (q, +\infty) \).
За функцију \( f(x) = 2^{x-1} + 1 \):
- График се добија транслацијом графика \( y = 2^x \) за 1 удесно и 1 нагоре.
- Скуп вредности је \( V_f = (1, +\infty) \).
- Хоризонтална асимптота је права \( y = 1 \).
- Пресек са \( y \)-осом је \( f(0) = 2^{0-1} + 1 = 2^{-1} + 1 = 1{,}5 \).
Сложена каматна формула (периодично обрачунавање):
\[ K = G \left(1 + \frac{p\%}{m}\right)^{m \cdot t} \]
\( G \) – почетна главница, \( p\% = \frac{p}{100} \) – годишња каматна стопа, \( m \) – број обрачуна у току године, \( t \) – време у годинама, \( K \) – коначна сума.
Ојлеров број \( e \) је ирационалан број дефинисан као гранична вредност израза \( \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \) када \( x \to +\infty \):
\[ e \approx 2{,}718281828459\dots \]
Непрекидно обрачунавање камате и експоненцијални раст популације:
\[ K = G e^{kt} \quad \text{односно} \quad P(t) = P_0 e^{kt} \]
\( P_0 \) – почетни број јединки (\( t = 0 \)), \( k \) – релативна стопа раста, \( t \) – време, \( P(t) \) – број јединки након времена \( t \).
Ако се уложи \( 1000\text{ €} \) уз каматну стопу од \( 6\% \) годишње (\( k = 0{,}06 \)) уз непрекидно обрачунавање на период од \( 5 \) година:
\[ K = 1000 \cdot e^{0{,}06 \cdot 5} = 1000 \cdot e^{0{,}3} \approx 1000 \cdot 1{,}34986 = 1349{,}86\text{ €} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одредите кодомен (скуп вредности), хоризонталну асимптоту и пресек са \( y \)-осом за функцију \( f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x \). Да ли је функција растућа или опадајућа?
- Основа је \( a = \frac{1}{3} \). Пошто је \( 0 < \frac{1}{3} < 1 \), функција је строго опадајућа на целом домену \( \mathbb{R} \).
- Скуп вредности: \( V_f = (0, +\infty) \).
- Хоризонтална асимптота: \( y = 0 \) (\( x \)-оса, за \( x \to +\infty \)).
- Пресек са \( y \)-осом: \( f(0) = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \), односно тачка \( (0, 1) \).
Задатак 2 (средњи): Дата је функција \( f(x) = 3^{x+2} - 9 \).
а) Одредите њен скуп вредности и једначину асимптоте.
б) Одредите нулу ове функције.
а) Одредите њен скуп вредности и једначину асимптоте.
б) Одредите нулу ове функције.
а) Основна функција \( y = 3^x \) је транслирана за 2 улево и 9 надоле (\( q = -9 \)).
Скуп вредности је \( V_f = (-9, +\infty) \).
Једначина хоризонталне асимптоте је \( y = -9 \).
б) Нулу функције налазимо из једначине \( f(x) = 0 \): \[ 3^{x+2} - 9 = 0 \implies 3^{x+2} = 9 \implies 3^{x+2} = 3^2 \] Због ињективности функције \( 3^x \) следи: \[ x + 2 = 2 \implies x = 0 \] Нула функције је \( x = 0 \).
Скуп вредности је \( V_f = (-9, +\infty) \).
Једначина хоризонталне асимптоте је \( y = -9 \).
б) Нулу функције налазимо из једначине \( f(x) = 0 \): \[ 3^{x+2} - 9 = 0 \implies 3^{x+2} = 9 \implies 3^{x+2} = 3^2 \] Због ињективности функције \( 3^x \) следи: \[ x + 2 = 2 \implies x = 0 \] Нула функције је \( x = 0 \).
Задатак 3 (тежак): Број бактерија у једној култури у почетном тренутку износи \( P_0 = 500 \). Бактерије се размножавају према закону експоненцијалног раста \( P(t) = P_0 e^{kt} \), где се време \( t \) мери у сатима. Након 2 сата, број бактерија се удвостручио.
а) Израчунајте вредност израза \( e^{2k} \).
б) Колико ће бактерија бити након 6 сати?
а) Израчунајте вредност израза \( e^{2k} \).
б) Колико ће бактерија бити након 6 сати?
а) Након \( t = 2 \text{ h} \), број бактерија је \( P(2) = 2 \cdot P_0 = 1000 \).
\[ P(2) = P_0 e^{k \cdot 2} \implies 1000 = 500 \cdot e^{2k} \implies e^{2k} = 2 \]
б) За \( t = 6 \text{ h} \), број бактерија је: \[ P(6) = P_0 e^{6k} = 500 \cdot (e^{2k})^3 \] Заменом \( e^{2k} = 2 \) добијамо: \[ P(6) = 500 \cdot 2^3 = 500 \cdot 8 = 4000 \text{ бактерија} \]
б) За \( t = 6 \text{ h} \), број бактерија је: \[ P(6) = P_0 e^{6k} = 500 \cdot (e^{2k})^3 \] Заменом \( e^{2k} = 2 \) добијамо: \[ P(6) = 500 \cdot 2^3 = 500 \cdot 8 = 4000 \text{ бактерија} \]
