Најважније из лекције
Преглед кључних формула и правила:
- Веза јединица: \( \pi\text{ rad} = 180^\circ \). Пример: \( 60^\circ = \frac{\pi}{3}\text{ rad} \).
- Тригонометријска кружница: \( x = \cos \alpha \), \( y = \sin \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x} \), \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
- Адиционе формуле и двоструки угао: \( \sin(x \pm y) = \sin x\cos y \pm \cos x\sin y \), \( \cos(x \pm y) = \cos x\cos y \mp \sin x\sin y \), \( \sin 2x = 2\sin x\cos x \), \( \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \).
- Једначине: \( \sin x = c \implies x = \arcsin c + 2k\pi \lor x = \pi - \arcsin c + 2k\pi \); \( \cos x = c \implies x = \pm\arccos c + 2k\pi \); \( \operatorname{tg} x = c \implies x = \operatorname{arctg} c + k\pi \).
- Теореме о троуглу:
- Синусна: \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \)
- Косинусна: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha \)
- Површина: \( P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = \frac{abc}{4R} = r \cdot s = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
Тригонометријске функције оштрог угла дефинишу се као односи страница правоуглог троугла са катетама \( a \) и \( b \) и хипотенузом \( c \):
\[ \sin \alpha = \frac{\text{наспрамна катета}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c}, \qquad \cos \alpha = \frac{\text{налегла катета}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{наспрамна катета}}{\text{налегла катета}} = \frac{a}{b}, \qquad \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\text{налегла катета}}{\text{наспрамна катета}} = \frac{b}{a} \]
Основне тригонометријске идентичности:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \qquad \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \]
Однос функција комплементних углова (\( \alpha + \beta = 90^\circ \)):
\[ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha, \qquad \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha \]
\[ \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{ctg} \alpha, \qquad \operatorname{ctg}(90^\circ - \alpha) = \operatorname{tg} \alpha \]
| Угао | \( \sin \alpha \) | \( \cos \alpha \) | \( \operatorname{tg} \alpha \) | \( \operatorname{ctg} \alpha \) |
|---|---|---|---|---|
| \( 30^\circ \) (\( \frac{\pi}{6} \)) | \( \frac{1}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) | \( \sqrt{3} \) |
| \( 45^\circ \) (\( \frac{\pi}{4} \)) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) | \( 1 \) | \( 1 \) |
| \( 60^\circ \) (\( \frac{\pi}{3} \)) | \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) | \( \frac{1}{2} \) | \( \sqrt{3} \) | \( \frac{\sqrt{3}}{3} \) |
Ако је за оштар угао \( \alpha \) познато да је \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), одредити \( \cos \alpha \) и \( \operatorname{tg} \alpha \).
Из основног идентитета:
\[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \]
Један радијан (\( 1\text{ rad} \)) је величина централног угла коме на кружници одговара лук дужине једнаке полупречнику кружнице: \( \alpha = \frac{\ell}{r} \text{ rad} \). Вредност пуног угла је \( 360^\circ = 2\pi\text{ rad} \), а опруженог \( 180^\circ = \pi\text{ rad} \).
Превођење степене и радијанске мере:
\[ \alpha_{\text{rad}} = \frac{\alpha^\circ \cdot \pi}{180^\circ}, \qquad \alpha^\circ = \frac{\alpha_{\text{rad}} \cdot 180^\circ}{\pi} \]
Уопштени угао представља уређени пар \( (n, \alpha) \), где је \( n \in \mathbb{Z} \) број пуних обртаја, а \( \alpha \) основни угао: \( n \cdot 360^\circ + \alpha \), односно \( 2k\pi + \alpha \).
У стандардном положају, теме угла је у координатном почетку, почетни крак лежи на позитивном делу \( x \)-осе, а завршни настаје ротацијом:
- Позитиван смер: супротно од кретања казаљке на сату.
- Негативан смер: у смеру кретања казаљке на сату.
Превести угао од \( 135^\circ \) у радијанску меру и одредити његов положај.
\[ \alpha_{\text{rad}} = \frac{135^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{4}\text{ rad} \]
Угао се налази у другом квадранту (\( \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi \)).
Тригонометријска кружница је кружница полупречника \( r = 1 \) са центром у координатном почетку \( O(0,0) \). Ако завршни крак угла сече кружницу у тачки \( M(x, y) \), дефинише се:
\[ \cos \alpha = x, \qquad \sin \alpha = y \]
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad \left(x \neq 0, \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\right) \]
\[ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{x}{y} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \quad \left(y \neq 0, \alpha \neq k\pi\right) \]
Знаци функција по квадрантима:
- I квадрант: сви су позитивни (\( \sin > 0, \cos > 0, \operatorname{tg} > 0, \operatorname{ctg} > 0 \)).
- II квадрант: \( \sin > 0 \), док су \( \cos < 0, \operatorname{tg} < 0, \operatorname{ctg} < 0 \).
- III квадрант: \( \operatorname{tg} > 0, \operatorname{ctg} > 0 \), док су \( \sin < 0, \cos < 0 \).
- IV квадрант: \( \cos > 0 \), док су \( \sin < 0, \operatorname{tg} < 0, \operatorname{ctg} < 0 \).
Парност функција:
\[ \cos(-\alpha) = \cos \alpha \quad (\text{парна}), \qquad \sin(-\alpha) = -\sin \alpha, \quad \operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha, \quad \operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg}\alpha \quad (\text{непарне}) \]
Периодичност:
За свако \( k \in \mathbb{Z} \):
\[ \sin(\alpha + 2k\pi) = \sin \alpha, \qquad \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos \alpha \]
\[ \operatorname{tg}(\alpha + k\pi) = \operatorname{tg} \alpha, \qquad \operatorname{ctg}(\alpha + k\pi) = \operatorname{ctg} \alpha \]
Угао се записује у облику \( k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha \) (где је \( \alpha \) оштар угао):
- Знак резултата одређује се према квадранту у којем се налази почетни угао.
- Ако је \( k \) паран број (\( \pi \pm \alpha, 2\pi - \alpha \)), функција задржава назив: \[ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha, \quad \cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha, \quad \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha, \quad \cos(2\pi - \alpha) = \cos \alpha \]
- Ако је \( k \) непаран број (\( \frac{\pi}{2} \pm \alpha, \frac{3\pi}{2} \pm \alpha \)), функција прелази у кофункцију (\( \sin \leftrightarrow \cos, \operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{ctg} \)): \[ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos \alpha, \qquad \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha \]
Израчунати вредност \( \cos 240^\circ \).
Угао \( 240^\circ \) припада III квадранту (косинус је негативан):
\[ \cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \]
Функције реалног броја дефинишу се помоћу намотавања бројевне праве на јединичну кружницу: \( \sin x = \sin(x\text{ rad}) \), \( \cos x = \cos(x\text{ rad}) \).
Основне особине:
- \( y = \sin x \): дефинисана за све \( x \in \mathbb{R} \); скуп вредности \( [-1, 1] \); основни период \( T = 2\pi \); нуле \( x = k\pi \); максимум 1 за \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \); минимум -1 за \( x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \).
- \( y = \cos x \): дефинисана за све \( x \in \mathbb{R} \); скуп вредности \( [-1, 1] \); основни период \( T = 2\pi \); нуле \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \); максимум 1 за \( x = 2k\pi \); минимум -1 за \( x = \pi + 2k\pi \). Важи \( \cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2}) \).
- \( y = \operatorname{tg} x \): дефинисана за \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \); скуп вредности \( \mathbb{R} \); основни период \( T = \pi \); стално растућа на интервалима дефинисаности; вертикалне асимптоте \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \).
- \( y = \operatorname{ctg} x \): дефинисана за \( x \neq k\pi \); скуп вредности \( \mathbb{R} \); основни период \( T = \pi \); стално опадајућа на интервалима дефинисаности; вертикалне асимптоте \( x = k\pi \).
Трансформације облика \( y = a \sin(bx + c) \) или \( y = a \cos(bx + c) \):
- Амплитуда: \( |a| \) одређује вертикално растезање/сажимање (вредности су у интервалу \( [-|a|, |a|] \)).
- Период: \( T = \frac{2\pi}{|b|} \) (за тангенс и котангенс \( T = \frac{\pi}{|b|} \)).
- Фазни померај: \( x_0 = -\frac{c}{b} \) представља хоризонтално померање дуж \( x \)-осе (улево ако је \( \frac{c}{b} > 0 \), удесно ако је \( \frac{c}{b} < 0 \)).
Одредити амплитуду, основни период и фазни померај функције \( f(x) = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \).
Запис у облику \( f(x) = 3\sin\left[2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right] \):
- Амплитуда: \( A = |a| = 3 \)
- Период: \( T = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{2} = \pi \)
- Фазни померај: \( x_0 = -\frac{c}{b} = \frac{\pi}{6} \) (померање удесно за \( \frac{\pi}{6} \))
Адиционе формуле за збир и разлику:
\[ \sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y \]
\[ \cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y \]
\[ \operatorname{tg}(x \pm y) = \frac{\operatorname{tg} x \pm \operatorname{tg} y}{1 \mp \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y}, \qquad \operatorname{ctg}(x \pm y) = \frac{\operatorname{ctg} x \operatorname{ctg} y \mp 1}{\operatorname{ctg} y \pm \operatorname{ctg} x} \]
Функције двоструког угла:
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x, \qquad \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x \]
\[ \operatorname{tg} 2x = \frac{2\operatorname{tg} x}{1 - \operatorname{tg}^2 x}, \qquad \operatorname{ctg} 2x = \frac{\operatorname{ctg}^2 x - 1}{2\operatorname{ctg} x} \]
Функције половине угла:
\[ \sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{2}, \qquad \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}, \qquad \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} \]
Трансформација збира и разлике у производ:
\[ \sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}, \qquad \sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \]
\[ \cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}, \qquad \cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2} \]
Трансформација производа у збир:
\[ \sin x \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x+y) + \sin(x-y)], \qquad \cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x+y) + \cos(x-y)] \]
\[ \sin x \sin y = \frac{1}{2}[\cos(x-y) - \cos(x+y)] \]
Израчунати тачну вредност \( \sin 75^\circ \).
Применом адиционе формуле за \( 75^\circ = 45^\circ + 30^\circ \):
\[ \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \]
\[ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]
Инверзне тригонометријске вредности (главна решења):
- \( \arcsin c \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \) за \( c \in [-1, 1] \); важи \( \arcsin(-c) = -\arcsin c \)
- \( \arccos c \in [0, \pi] \) за \( c \in [-1, 1] \); важи \( \arccos(-c) = \pi - \arccos c \)
- \( \operatorname{arctg} c \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) за свако \( c \in \mathbb{R} \); важи \( \operatorname{arctg}(-c) = -\operatorname{arctg} c \)
- \( \operatorname{arcctg} c \in (0, \pi) \) за свако \( c \in \mathbb{R} \); важи \( \operatorname{arcctg}(-c) = \pi - \operatorname{arcctg} c \)
Скупови свих решења основних једначина (\( k \in \mathbb{Z} \)):
- \( \sin x = c \ (|c| \le 1) \iff x = \arcsin c + 2k\pi \quad \lor \quad x = \pi - \arcsin c + 2k\pi \)
- \( \cos x = c \ (|c| \le 1) \iff x = \pm \arccos c + 2k\pi \)
- \( \operatorname{tg} x = c \iff x = \operatorname{arctg} c + k\pi \)
- \( \operatorname{ctg} x = c \iff x = \operatorname{arcctg} c + k\pi \)
- Увођење смене: једначине облика \( a \cdot \operatorname{trig}^2 x + b \cdot \operatorname{trig} x + c = 0 \) своде се на квадратну једначину сменом \( t = \operatorname{trig} x \).
- Хомогене једначине: \( a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0 \) решавају се дељењем са \( \cos^2 x \) (уз проверу случаја \( \cos x = 0 \)), чиме прелазе у квадратну по \( \operatorname{tg} x \).
- Линеарна комбинација: \( a \sin x + b \cos x = c \) дели се са \( \sqrt{a^2+b^2} \), након чега се користи формула за синус збира \( \sin(x + \phi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \). Једначина има решења акко је \( |c| \le \sqrt{a^2+b^2} \).
- Универзална смена: замена \( t = \operatorname{tg}\frac{x}{2} \) даје \( \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \), \( \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \) (посебно се испитује \( x = \pi + 2k\pi \)).
Основне неједначине (\( -1 < c < 1 \)):
- \( \sin x > c \iff x \in (\arcsin c + 2k\pi, \pi - \arcsin c + 2k\pi) \)
- \( \cos x > c \iff x \in (-\arccos c + 2k\pi, \arccos c + 2k\pi) \)
- \( \operatorname{tg} x > c \iff x \in (\operatorname{arctg} c + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi) \)
Решити једначину \( 2\cos x - 1 = 0 \).
\[ \cos x = \frac{1}{2} \]
Како је \( \arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} \), решења су:
\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Синусна теорема:
Странице троугла су пропорционалне синусима наспрамних углова, а та размера једнака је пречнику описаног круга \( 2R \):
\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \]
Косинусна теорема:
Квадрат било које странице троугла једнак је збиру квадрата осталих двеју умањеном за двоструки производ тих страница и косинуса угла између њих:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \]
\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \]
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]
Теорема о пројекцијама:
\[ a = b \cos \gamma + c \cos \beta, \qquad b = a \cos \gamma + c \cos \alpha, \qquad c = a \cos \beta + b \cos \alpha \]
Обрасци за површину троугла:
\[ P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma = \frac{1}{2}bc \sin \alpha = \frac{1}{2}ac \sin \beta \]
\[ P = \frac{abc}{4R}, \qquad P = r \cdot s, \qquad P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \quad (\text{Херонов образац}) \]
где је \( s = \frac{a+b+c}{2} \) полуобим, \( R \) полупречник описаног, а \( r \) полупречник уписаног круга.
У троуглу су дате странице \( b = 5 \), \( c = 8 \) и угао \( \alpha = 60^\circ \). Одредити страницу \( a \).
Применом косинусне теореме:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ \]
\[ a^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49 \implies a = 7 \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одредити тачну вредност израза:
\[ I = 2\sin 30^\circ + \sqrt{3}\operatorname{tg} 60^\circ - 4\cos 60^\circ \]
Уврштавањем табличних вредности добијамо:
\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \]
\[ I = 2 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 4 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 3 - 2 = 2 \]
Задатак 2 (средњи): Решити тригонометријску једначину на скупу реалних бројева:
\[ \sin 2x - \cos x = 0 \]
Применом формуле за двоструки угао:
\[ 2\sin x \cos x - \cos x = 0 \]
\[ \cos x (2\sin x - 1) = 0 \]
Ово даје две једначине:
- \( \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \)
- \( 2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \) \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Задатак 3 (средњи): Решити неједначину на интервалу \( [0, 2\pi) \):
\[ 2\sin x - \sqrt{3} > 0 \]
\[ \sin x > \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Како је \( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), посматрањем тригонометријске кружнице уочавамо да је ордината већа од \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) на отвореном луку:
\[ x \in \left(\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right) \]
Задатак 4 (тежак): У троуглу \( ABC \) дате су странице \( a = 4 \), \( b = 4\sqrt{3} \) и угао \( \alpha = 30^\circ \). Одредити страницу \( c \) и полупречник описаног круга \( R \).
1. Применом проширене синусне теореме одређујемо \( R \):
\[ 2R = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 \implies R = 4 \]
2. Налазимо угао \( \beta \) помоћу синусне теореме:
\[ \frac{b}{\sin \beta} = 2R \implies \sin \beta = \frac{b}{2R} = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
С обзиром на то да је \( b > a \), угао \( \beta \) може бити оштар или туп:
- Случај 1: \( \beta_1 = 60^\circ \). Тада је \( \gamma_1 = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ \) (троугао је правоугли). \[ c_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8 \]
- Случај 2: \( \beta_2 = 120^\circ \). Тада је \( \gamma_2 = 180^\circ - (30^\circ + 120^\circ) = 30^\circ \) (троугао је једнакокраки са \( \alpha = \gamma = 30^\circ \)). \[ c_2 = a = 4 \]
