Најважније из лекције
Синусна теорема: \( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \) - користи се када су позната два угла и једна страница (УСУ) или две странице и угао наспрам једне од њих (ССУ).
Косинусна теорема: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \) - користи се за налажење треће странице (СУС) или углова када су познате све три странице (ССС).
Површина троугла:
Косинусна теорема: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \) - користи се за налажење треће странице (СУС) или углова када су познате све три странице (ССС).
Површина троугла:
- Преко страница и угла: \( P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma \)
- Херонов образац: \( P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \), где је \( s = \frac{a+b+c}{2} \)
- Полупречник уписане кружнице: \( r = \frac{P}{s} \)
- Полупречник описане кружнице: \( R = \frac{abc}{4P} = \frac{a}{2\sin \alpha} \)
Однос дужине странице троугла и синуса њој наспрамног угла је константан за сва три пара странице и угла у произвољном троуглу.
\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \]
где је \( R \) полупречник описане кружнице око троугла.
Странице произвољног троугла сразмерне су синусима њима наспрамних углова, а коефицијент пропорционалности једнак је пречнику описане кружнице (\(2R\)).
Ако су у троуглу дати страница \( a = 6\text{ cm} \) и угао \( \alpha = 30^\circ \), пречник и полупречник описане кружнице износе:
\[ 2R = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12\text{ cm} \implies R = 6\text{ cm} \]
У троуглу \( ABC \) дате су странице и углови: \( a = 8\text{ cm} \), \( \alpha = 45^\circ \) и \( \beta = 30^\circ \). Израчунај страницу \( b \).
Применом синусне теореме:
\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha} \]
\[ b = \frac{8 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{8 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\text{ cm} \]
Квадрат било које странице произвољног троугла једнак је збиру квадрата друге две странице умањеном за двоструки производ тих страница и косинуса угла између њих.
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \]
\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \]
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]
Косинусна теорема представља генерализацију Питагорине теореме. За правоугли троугао (\( \alpha = 90^\circ \)) важи \( \cos 90^\circ = 0 \), па се формула своди на \( a^2 = b^2 + c^2 \).
Помоћу косинусне теореме могу се израчунати и косинуси углова када су познате све три странице троугла:
\[ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \quad \cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}, \quad \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]
У троуглу су познате странице \( b = 5\text{ cm} \), \( c = 8\text{ cm} \) и угао између њих \( \alpha = 60^\circ \). Израчунај дужину странице \( a \).
Примењујемо косинусну теорему:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \]
\[ a^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49 \]
\[ a = \sqrt{49} = 7\text{ cm} \]
Решавање троугла представља поступак одређивања непознатих основних елемената троугла (страница и углова) на основу три задата елемента (од којих је бар један дужина странице).
| Тип задатка | Дати елементи | Поступак решавања |
|---|---|---|
| ССС | Три странице (\( a, b, c \)) | Косинусна теорема за сва три угла (или два угла, па \( \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) \)). |
| СУС | Две странице и угао између њих (\( a, b, \gamma \)) | Косинусна теорема за трећу страницу (\( c \)), а затим синусна или косинусна теорема за преостале углове. |
| УСУ | Једна страница и два угла (\( a, \beta, \gamma \)) | Трећи угао: \( \alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma) \), а странице помоћу синусне теореме. |
| ССУ | Две странице и угао наспрам једне (\( a, b, \alpha \)) | Синусна теорема: \( \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} \). Зависно од вредности \( \sin \beta \), задатак може имати 0, 1 или 2 решења. |
Ако је у троуглу \( b = 4 \), \( \alpha = 30^\circ \), испитај број могућих троуглова ако је:
а) \( a = 1 \); б) \( a = 2 \); в) \( a = 3 \).
а) \( a = 1 \); б) \( a = 2 \); в) \( a = 3 \).
Према синусној теореми: \( \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{4 \cdot \frac{1}{2}}{a} = \frac{2}{a} \).
а) За \( a = 1 \): \( \sin \beta = 2 > 1 \), што је немогуће. Троугао не постоји (0 решења).
б) За \( a = 2 \): \( \sin \beta = 1 \implies \beta = 90^\circ \). Постоји јединствен (правоугли) троугао (1 решење).
в) За \( a = 3 \): \( \sin \beta = \frac{2}{3} < 1 \). Како је \( a < b \), угао \( \beta \) може бити и оштар и туп (\( \beta_1 \approx 41^\circ 49' \) и \( \beta_2 \approx 138^\circ 11' \)). Постоје два различита троугла (2 решења).
а) За \( a = 1 \): \( \sin \beta = 2 > 1 \), што је немогуће. Троугао не постоји (0 решења).
б) За \( a = 2 \): \( \sin \beta = 1 \implies \beta = 90^\circ \). Постоји јединствен (правоугли) троугао (1 решење).
в) За \( a = 3 \): \( \sin \beta = \frac{2}{3} < 1 \). Како је \( a < b \), угао \( \beta \) може бити и оштар и туп (\( \beta_1 \approx 41^\circ 49' \) и \( \beta_2 \approx 138^\circ 11' \)). Постоје два различита троугла (2 решења).
Површина троугла може се израчунати преко дужина две странице и синуса угла који оне захватају, као и преко дужина све три странице.
\[ P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma = \frac{1}{2}bc \sin \alpha = \frac{1}{2}ac \sin \beta \]
(Формула за површину преко две странице и угла између њих)
\[ P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \quad \text{где је} \quad s = \frac{a+b+c}{2} \]
(Херонов образац, где је \( s \) полуобим троугла)
Ако су странице троугла \( a = 5\text{ cm}, b = 6\text{ cm}, c = 7\text{ cm} \):
\[ s = \frac{5+6+7}{2} = 9\text{ cm} \]
\[ P = \sqrt{9 \cdot (9-5) \cdot (9-6) \cdot (9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}\text{ cm}^2 \]
Израчунај површину троугла ако су странице \( a = 6\text{ cm}, b = 10\text{ cm} \), а угао између њих \( \gamma = 30^\circ \).
\[ P = \frac{1}{2} ab \sin \gamma = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15\text{ cm}^2 \]
\( R \) – полупречник описане кружнице; \( r \) – полупречник уписане кружнице
\[ R = \frac{abc}{4P} = \frac{a}{2\sin \alpha} = \frac{b}{2\sin \beta} = \frac{c}{2\sin \gamma} \]
(Полупречник описане кружнице)
\[ r = \frac{P}{s} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}} \]
(Полупречник уписане кружнице)
Странице троугла су \( a = 13\text{ cm}, b = 14\text{ cm}, c = 15\text{ cm} \). Одреди површину \( P \), полупречник уписане кружнице \( r \) и полупречник описане кружнице \( R \).
1. Полуобим: \( s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21\text{ cm} \)
2. Површина (Херонов образац): \[ P = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\text{ cm}^2 \] 3. Полупречник уписане кружнице: \[ r = \frac{P}{s} = \frac{84}{21} = 4\text{ cm} \] 4. Полупречник описане кружнице: \[ R = \frac{abc}{4P} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} = 8{,}125\text{ cm} \]
2. Површина (Херонов образац): \[ P = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84\text{ cm}^2 \] 3. Полупречник уписане кружнице: \[ r = \frac{P}{s} = \frac{84}{21} = 4\text{ cm} \] 4. Полупречник описане кружнице: \[ R = \frac{abc}{4P} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} = 8{,}125\text{ cm} \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): У троуглу \( ABC \) дате су странице \( a = 7\text{ cm}, b = 8\text{ cm} \) и угао између њих \( \gamma = 60^\circ \). Израчунај дужину треће странице \( c \).
Примењујемо косинусну теорему:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]
\[ c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 49 + 64 - 112 \cdot \frac{1}{2} = 113 - 56 = 57 \]
\[ c = \sqrt{57}\text{ cm} \]
Задатак 2 (средњи): Једнакокраки троугао има основицу \( c = 6\text{ cm} \) и краке \( a = b = 5\text{ cm} \). Одреди површину троугла \( P \) и полупречник уписане кружнице \( r \).
Полуобим троугла:
\[ s = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8\text{ cm} \]
Површина преко Хероновог обрасца:
\[ P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{8 \cdot (8-5) \cdot (8-5) \cdot (8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12\text{ cm}^2 \]
Полупречник уписане кружнице:
\[ r = \frac{P}{s} = \frac{12}{8} = 1{,}5\text{ cm} \]
Задатак 3 (средњи ка тежем): У троуглу су дати елементи \( a = 4\sqrt{3}\text{ cm} \), \( b = 4\text{ cm} \) и угао \( \alpha = 60^\circ \). Одреди угао \( \beta \), угао \( \gamma \) и дужину странице \( c \).
1. Одређивање угла \( \beta \):
\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \implies \sin \beta = \frac{b \sin \alpha}{a} = \frac{4 \cdot \sin 60^\circ}{4\sqrt{3}} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \]
Како је \( b < a \), мора важити \( \beta < \alpha = 60^\circ \), па је \( \beta = 30^\circ \).
2. Одређивање угла \( \gamma \): \[ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 90^\circ \]
3. Одређивање странице \( c \): Пошто је троугао правоугли са хипотенузом \( c \): \[ c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\text{ cm} \]
2. Одређивање угла \( \gamma \): \[ \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 90^\circ \]
3. Одређивање странице \( c \): Пошто је троугао правоугли са хипотенузом \( c \): \[ c = \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\text{ cm} \]
Задатак 4 (тежак): Са осматрачнице \( C \) виде се две тачке \( A \) и \( B \) на земљи под углом \( \angle ACB = 60^\circ \). Ако су растојања \( AC = 6\text{ km} \) и \( AB = 10\text{ km} \), одреди растојање \( BC \) (означимо \( BC = x \)).
Применом косинусне теореме на страницу \( AB \):
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB) \]
\[ 10^2 = 6^2 + x^2 - 2 \cdot 6 \cdot x \cdot \cos 60^\circ \]
\[ 100 = 36 + x^2 - 12x \cdot \frac{1}{2} \]
\[ 100 = 36 + x^2 - 6x \implies x^2 - 6x - 64 = 0 \]
Решавањем квадратне једначине:
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64)}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 256}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{292}}{2} = 3 \pm \sqrt{73} \]
Пошто дужина мора бити позитивна:
\[ x = 3 + \sqrt{73} \approx 3 + 8{,}54 = 11{,}54\text{ km} \]
Растојање \( BC \) износи приближно \( 11{,}54\text{ km} \).
