Најважније из лекције
Основна квадратна функција: \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 \). Њен график је крива парабола са теменом у \( (0,0) \).
Кључне особине:
Кључне особине:
- Домен и скуп вредности: \( D_f = \mathbb{R} \), скуп свих вредности је \( [0, +\infty) \).
- Парност и симетрија: Парна је (\( f(-x) = f(x) \)), симетрична у односу на \( y \)-осу. Није 1-1 функција.
- Нула и знак: Једина нула је \( x = 0 \); \( f(x) > 0 \) за свако \( x \neq 0 \).
- Монотоност: Строго опада на \( (-\infty, 0] \), строго расте на \( [0, +\infty) \).
- Конвексност: Конвексна је на целом \( \mathbb{R} \).
- Однос са \( |x| \): \( x^2 < |x| \) за \( x \in (-1, 1) \setminus \{0\} \), док је \( x^2 > |x| \) за \( |x| > 1 \).
Основна квадратна функција је пресликавање \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) дефинисано формулом \( f(x) = x^2 \).
Парабола је крива линија која представља график функције \( y = x^2 \). Она је глатка, непрекидна и отворена нагоре, са теменом у координатном почетку \( (0,0) \).
Карактеристичне тачке за скицирање графика добијају се из табеле вредности:
| \( x \) | \( -2 \) | \( -1 \) | \( -\frac{1}{2} \) | \( 0 \) | \( \frac{1}{2} \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \( y = x^2 \) | \( 4 \) | \( 1 \) | \( \frac{1}{4} \) | \( 0 \) | \( \frac{1}{4} \) | \( 1 \) | \( 4 \) |
Да ли тачка \( M(-3, 9) \) припада графику функције \( f(x) = x^2 \)?
Уврштавањем вредности \( x = -3 \) у формулу функције добијамо:
\[ f(-3) = (-3)^2 = 9 \]
Пошто је добијена вредност једнака \( y \)-координати тачке \( M \), тачка \( M(-3, 9) \) припада графику функције.
Домен (дефинисаност): Функција је дефинисана за све реалне бројеве, \( D_f = \mathbb{R} \).
Скуп вредности (кодомен): Скуп вредности је интервал \( [0, +\infty) \). За сваки ненегативан реалан број \( y \ge 0 \) постоји реалан број \( x \) такав да је \( x^2 = y \).
Парност: Функција је парна јер за свако \( x \in \mathbb{R} \) важи:
\[ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \]
График је осносиметричан у односу на \( y \)-осу.
Инјективност (1-1): Функција није 1-1 ("један-један"), јер за свако \( y > 0 \) постоје два различита броја \( x \) и \( -x \) таква да је \( x^2 = (-x)^2 = y \).
Нула функције: Једина нула је \( x = 0 \), јер важи \( x^2 = 0 \iff x = 0 \). График додирује \( x \)-осу у тачки \( (0,0) \).
Знак функције: Функција је строго позитивна за све бројеве осим нуле, тј. \( f(x) > 0 \) за свако \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
Одредити вредности аргумента \( x \) за које функција \( f(x) = x^2 \) узима вредност \( 16 \).
Решавамо једначину \( x^2 = 16 \).
Решења су \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -4 \), што показује да функција није 1-1.
Решења су \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = -4 \), што показује да функција није 1-1.
Теорема о монотоности:
- Ако је \( 0 \le x_1 < x_2 \), онда је \( x_1^2 < x_2^2 \) (функција строго расте на интервалу \( [0, +\infty) \)).
- Ако је \( x_1 < x_2 \le 0 \), онда је \( x_2^2 < x_1^2 \), односно \( x_1^2 > x_2^2 \) (функција строго опада на интервалу \( (-\infty, 0] \)).
Теорема о конвексности:
Функција \( f(x) = x^2 \) је конвексна на целом скупу \( \mathbb{R} \).
Ако су \( a \) и \( b \) различити реални бројеви и \( t_1, t_2 > 0 \) такви да је \( t_1 + t_2 = 1 \), онда важи: \[ (t_1 a + t_2 b)^2 \le t_1 a^2 + t_2 b^2 \]
Функција \( f(x) = x^2 \) је конвексна на целом скупу \( \mathbb{R} \).
Ако су \( a \) и \( b \) различити реални бројеви и \( t_1, t_2 > 0 \) такви да је \( t_1 + t_2 = 1 \), онда важи: \[ (t_1 a + t_2 b)^2 \le t_1 a^2 + t_2 b^2 \]
Користећи монотоност, упоредити вредности \( (-7)^2 \) и \( (-5)^2 \) без израчунавања.
Пошто бројеви \( -7 \) и \( -5 \) припадају интервалу \( (-\infty, 0] \) на којем функција строго опада, из \( -7 < -5 \le 0 \) директно следи:
\[ (-7)^2 > (-5)^2 \]
Положај графика у односу на праве \( y = x \) и \( y = -x \) (тј. \( y = |x| \)):
- За \( x \in (-1, 0) \cup (0, 1) \) важи \( x^2 < |x| \) (парабола је испод правих).
- За \( x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \) важи \( x^2 > |x| \) (парабола је изнад правих).
- За \( x \in \{-1, 0, 1\} \) важи \( x^2 = |x| \) (пресечне тачке параболе и правих).
Примена параболе:
Путања сваког тела при косом хицу (кретање тела баченог под оштрим углом у односу на хоризонт, нпр. водени млаз, испаљена граната, бачена кошаркашка лопта) има облик параболе.
За које вредности \( x \) је вредност функције \( f(x) = x^2 \) мања од вредности функције \( g(x) = |x| \)?
Неједнакост \( x^2 < |x| \) важи када је квадрат броја мањи од његове апсолутне вредности, а то су сви бројеви из интервала \( (-1, 0) \cup (0, 1) \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Испитати да ли је тачно тврђење: \( f(-2,5) = f(2,5) \) за функцију \( f(x) = x^2 \). Образложити одговор користећи особине функције.
Тачно је.
Функција \( f(x) = x^2 \) је парна, што значи да за свако \( x \in \mathbb{R} \) важи \( f(-x) = f(x) \).
За \( x = 2,5 \) имамо \( f(-2,5) = (-2,5)^2 = 6,25 \) и \( f(2,5) = 2,5^2 = 6,25 \), па је једнакост испуњена.
Функција \( f(x) = x^2 \) је парна, што значи да за свако \( x \in \mathbb{R} \) важи \( f(-x) = f(x) \).
За \( x = 2,5 \) имамо \( f(-2,5) = (-2,5)^2 = 6,25 \) и \( f(2,5) = 2,5^2 = 6,25 \), па је једнакост испуњена.
Задатак 2 (средњи): Поређати по величини вредности бројева \( a = (-3,8)^2 \), \( b = (-1,2)^2 \) и \( c = (-5,1)^2 \) без њиховог рачунања, користећи особину монотоности.
Сви бројеви припадају интервалу \( (-\infty, 0] \):
\[ -5,1 < -3,8 < -1,2 \le 0 \]
Како је функција \( f(x) = x^2 \) строго опадајућа на интервалу \( (-\infty, 0] \), редослед вредности се обрће:
\[ (-1,2)^2 < (-3,8)^2 < (-5,1)^2 \]
Дакле, поредак је: \( b < a < c \).
Задатак 3 (средњи): Одредити све реалне вредности \( x \) за које график параболе \( y = x^2 \) лежи испод праве \( y = 9 \).
Услов да график лежи испод праве је \( x^2 < 9 \).
Пошто је \( 3^2 = 9 \) и \( (-3)^2 = 9 \), а функција опада на \( (-\infty, 0] \) и расте на \( [0, +\infty) \), вредности квадрата су мање од 9 за: \[ x \in (-3, 3) \]
Пошто је \( 3^2 = 9 \) и \( (-3)^2 = 9 \), а функција опада на \( (-\infty, 0] \) и расте на \( [0, +\infty) \), вредности квадрата су мање од 9 за: \[ x \in (-3, 3) \]
Задатак 4 (тежак): Користећи теорему о конвексности функције \( f(x) = x^2 \), доказати да за ма која два различита реална броја \( a \) и \( b \) важи неједнакост:
\[ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \le \frac{a^2+b^2}{2} \]
У теореми о конвексности \( (t_1 a + t_2 b)^2 \le t_1 a^2 + t_2 b^2 \), изаберемо тежинске коефицијенте \( t_1 = \frac{1}{2} \) и \( t_2 = \frac{1}{2} \).
Они задовољавају услове теореме јер су позитивни и важи \( t_1 + t_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \).
Уврштавањем добијамо: \[ \left(\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b\right)^2 \le \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 \] \[ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \le \frac{a^2+b^2}{2} \] чиме је неједнакост доказана.
Они задовољавају услове теореме јер су позитивни и важи \( t_1 + t_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \).
Уврштавањем добијамо: \[ \left(\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}b\right)^2 \le \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2 \] \[ \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \le \frac{a^2+b^2}{2} \] чиме је неједнакост доказана.
