Најважније из лекције
Дефиниције: \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) (\(\alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)), \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) (\(\alpha \neq k\pi\)), при чему је \(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1\).
Геометријски приказ: \(\operatorname{tg} \alpha\) се очитава на правој \(x = 1\) (ордината), а \(\operatorname{ctg} \alpha\) на правој \(y = 1\) (апсциса).
Кључне особине: Основни период је \(\pi\) (\(180^\circ\)); обе функције су непарне (\(\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha\)); позитивне су у I и III квадранту, а негативне у II и IV квадранту; нису ограничене.
Једначине: \(\operatorname{tg} \alpha = c \implies \alpha = \operatorname{arctg} c + k\pi\); \(\operatorname{ctg} \alpha = c \implies \alpha = \operatorname{arcctg} c + k\pi\).
Веза са \(\sin\) и \(\cos\): \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}\), \(\sin^2 \alpha = \frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}\).
Геометријски приказ: \(\operatorname{tg} \alpha\) се очитава на правој \(x = 1\) (ордината), а \(\operatorname{ctg} \alpha\) на правој \(y = 1\) (апсциса).
Кључне особине: Основни период је \(\pi\) (\(180^\circ\)); обе функције су непарне (\(\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha\)); позитивне су у I и III квадранту, а негативне у II и IV квадранту; нису ограничене.
Једначине: \(\operatorname{tg} \alpha = c \implies \alpha = \operatorname{arctg} c + k\pi\); \(\operatorname{ctg} \alpha = c \implies \alpha = \operatorname{arcctg} c + k\pi\).
Веза са \(\sin\) и \(\cos\): \(\cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}\), \(\sin^2 \alpha = \frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}\).
За сваки уопштени угао \(\alpha\) за који је \(\cos \alpha \neq 0\), тангенс се дефинише као количник синуса и косинуса тог угла.
\[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \text{за } \alpha \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \]
Тангенс није дефинисан за углове \(\alpha = (2k+1)\frac{\pi}{2}\) (односно \(90^\circ, 270^\circ, \dots\)), јер је за њих \(\cos \alpha = 0\).
За сваки уопштени угао \(\alpha\) за који је \(\sin \alpha \neq 0\), котангенс се дефинише као количник косинуса и синуса тог угла.
\[ \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}, \quad \text{за } \alpha \neq k\pi, \; k \in \mathbb{Z} \]
Котангенс није дефинисан за углове \(\alpha = k\pi\) (односно \(0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, \dots\)), јер је за њих \(\sin \alpha = 0\).
За све углове за које су дефинисани и тангенс и котангенс (\(\alpha \neq k \cdot \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\)), важи основна релација:
\[ \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \iff \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \]
Тангенсна оса је тангента тригонометријске кружнице у тачки \((1, 0)\), односно права \(x = 1\). Ордината пресечне тачке праве којој припада завршни крак угла и праве \(x = 1\) једнака је \(\operatorname{tg} \alpha\).
Котангенсна оса је тангента тригонометријске кружнице у тачки \((0, 1)\), односно права \(y = 1\). Апсциса пресечне тачке праве којој припада завршни крак угла и праве \(y = 1\) једнака је \(\operatorname{ctg} \alpha\).
Ако је завршни крак угла паралелан са осом \(x = 1\) (на \(y\)-оси), тангенс не постоји. Ако је завршни крак паралелан са осом \(y = 1\) (на \(x\)-оси), котангенс не постоји.
Периодичност: Тангенс и котангенс су периодичне функције са основним периодом \(\pi\) (или \(180^\circ\)):
\[ \operatorname{tg}(\alpha + k\pi) = \operatorname{tg} \alpha, \quad \operatorname{ctg}(\alpha + k\pi) = \operatorname{ctg} \alpha \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Знак тригонометријских функција:
- \(\operatorname{tg} \alpha > 0\) и \(\operatorname{ctg} \alpha > 0\) у I и III квадранту (када су \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) истог знака).
- \(\operatorname{tg} \alpha < 0\) и \(\operatorname{ctg} \alpha < 0\) у II и IV квадранту (када су \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\) супротног знака).
Нуле функција:
\[ \operatorname{tg} \alpha = 0 \iff \alpha = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
\[ \operatorname{ctg} \alpha = 0 \iff \alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Парност (непарност): Обе функције су непарне, односно за супротне углове важи:
\[ \operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha, \quad \operatorname{ctg}(-\alpha) = -\operatorname{ctg} \alpha \]
Ограниченост: За разлику од синуса и косинуса, тангенс и котангенс нису ограничени. Скуп њихових вредности је цео скуп реалних бројева \(\mathbb{R}\).
Свођење на први квадрант (за оштар угао \(\alpha\)):
\[ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{ctg} \alpha, \quad \operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha \]
\[ \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{ctg} \alpha, \quad \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\operatorname{ctg} \alpha \]
Једначина \(\operatorname{tg} \alpha = c\) има решење за сваки реалан број \(c \in \mathbb{R}\). Главно решење се налази у интервалу \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) и означава се са \(\operatorname{arctg} c\) (аркус тангенс):
\[ \operatorname{tg} \alpha = c \iff \alpha = \operatorname{arctg} c + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Једначина \(\operatorname{ctg} \alpha = c\) има решење за сваки реалан број \(c \in \mathbb{R}\). Главно решење се налази у интервалу \((0, \pi)\) и означава се са \(\operatorname{arcctg} c\) (аркус котангенс):
\[ \operatorname{ctg} \alpha = c \iff \alpha = \operatorname{arcctg} c + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Неке карактеристичне вредности:
\[ \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}, \quad \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}, \quad \operatorname{arctg}(0) = 0, \quad \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} \]
\[ \operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}, \quad \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}, \quad \operatorname{arcctg}(0) = \frac{\pi}{2} \]
\[ \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \implies \cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}} \]
\[ \sin^2 \alpha = \frac{\operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \implies \sin \alpha = \pm \frac{\operatorname{tg} \alpha}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}} \]
Знак испред корена се bira у зависности од квадранта у коме се налази завршни крак угла \(\alpha\).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати вредности \(\operatorname{tg} \alpha\) и \(\operatorname{ctg} \alpha\) за угао \(\alpha = 225^\circ\).
Угао од \(225^\circ\) се налази у III квадранту: \(225^\circ = 180^\circ + 45^\circ = \pi + \frac{\pi}{4}\).
Користећи периодичност од \(180^\circ\): \[ \operatorname{tg}(225^\circ) = \operatorname{tg}(180^\circ + 45^\circ) = \operatorname{tg}(45^\circ) = 1 \] \[ \operatorname{ctg}(225^\circ) = \frac{1}{\operatorname{tg}(225^\circ)} = 1 \] Одговор: \(\operatorname{tg}(225^\circ) = 1\), \(\operatorname{ctg}(225^\circ) = 1\).
Користећи периодичност од \(180^\circ\): \[ \operatorname{tg}(225^\circ) = \operatorname{tg}(180^\circ + 45^\circ) = \operatorname{tg}(45^\circ) = 1 \] \[ \operatorname{ctg}(225^\circ) = \frac{1}{\operatorname{tg}(225^\circ)} = 1 \] Одговор: \(\operatorname{tg}(225^\circ) = 1\), \(\operatorname{ctg}(225^\circ) = 1\).
Задатак 2 (средњи): Одредити сва решења једначине \(\operatorname{tg} \alpha = -\sqrt{3}\).
Главно решење тражимо из интервала \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\):
\[ \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \]
Скуп свих решења добија се додавањем целобројног умношка периода \(\pi\):
\[ \alpha = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
(Еквивалентно решење са позитивним углом је \(\alpha = \frac{2\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)).
Задатак 3 (средњи): Упростити тригонометријски израз:
\[ A = \frac{\operatorname{tg}(\pi - \alpha) \cdot \operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}{\operatorname{tg}(-\alpha)} \]
Применом формула свођења на први квадрант и непарности:
- \(\operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha\)
- \(\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{tg} \alpha\)
- \(\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg} \alpha\)
Задатак 4 (тежак): Ако је \(\operatorname{tg} \alpha = 2\) и угао \(\alpha\) припада трећем квадранту (\(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\)), израчунати вредности \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\).
У III квадранту и синус и косинус су негативни (\(\sin \alpha < 0\), \(\cos \alpha < 0\)).
1. Рачунамо \(\cos \alpha\): \[ \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + 2^2}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} \] 2. Рачунамо \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \] Одговор: \(\sin \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\), \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}\).
1. Рачунамо \(\cos \alpha\): \[ \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}} = -\frac{1}{\sqrt{1 + 2^2}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} \] 2. Рачунамо \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right) = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \] Одговор: \(\sin \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\), \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{5}\).
