Најважније из лекције
Логаритамска функција \( f(x) = \log_a x \) (\( a > 0, a \neq 1 \)):
• Домен и кодомен: \( D_f = (0, +\infty) \), \( V_f = \mathbb{R} \).
• Нула и асимптота: Нула је увек \( x = 1 \); вертикална асимптота је \( y \)-оса (\( x = 0 \)).
• Основа \( a > 1 \): Функција је растућа и конкавна. Вредности су негативне за \( x \in (0, 1) \), а позитивне за \( x > 1 \).
• Основа \( 0 < a < 1 \): Функција је опадајућа и конвексна. Вредности су позитивне за \( x \in (0, 1) \), а негативне за \( x > 1 \).
• Транслација: За функцију \( f(x) = \log_a(x + c) \), домен је \( (-c, +\infty) \), а вертикална асимптота је \( x = -c \).
• Домен и кодомен: \( D_f = (0, +\infty) \), \( V_f = \mathbb{R} \).
• Нула и асимптота: Нула је увек \( x = 1 \); вертикална асимптота је \( y \)-оса (\( x = 0 \)).
• Основа \( a > 1 \): Функција је растућа и конкавна. Вредности су негативне за \( x \in (0, 1) \), а позитивне за \( x > 1 \).
• Основа \( 0 < a < 1 \): Функција је опадајућа и конвексна. Вредности су позитивне за \( x \in (0, 1) \), а негативне за \( x > 1 \).
• Транслација: За функцију \( f(x) = \log_a(x + c) \), домен је \( (-c, +\infty) \), а вертикална асимптота је \( x = -c \).
Нека је \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \). Функција \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \) дефинисана формулом:
\[ f(x) = \log_a x \]
назива се логаритамска функција са основом \( a \).
Логаритамска функција је инверзна функција експоненцијалне функције \( y = a^x \). Због тога се њен график добија пресликавањем графика функције \( y = a^x \) осном симетријом у односу на праву \( y = x \).
Одредити вредност функције \( f(x) = \log_3 x \) за \( x = 9 \) и \( x = \frac{1}{3} \).
\( f(9) = \log_3 9 = 2 \), јер је \( 3^2 = 9 \).
\( f\left(\frac{1}{3}\right) = \log_3 \left(\frac{1}{3}\right) = -1 \), јер је \( 3^{-1} = \frac{1}{3} \).
\( f\left(\frac{1}{3}\right) = \log_3 \left(\frac{1}{3}\right) = -1 \), јер је \( 3^{-1} = \frac{1}{3} \).
Када је основа \( a > 1 \), функција \( f(x) = \log_a x \) има следећа својства:
- Домен: \( D_f = (0, +\infty) \); дефинисана је само за позитивне реалне бројеве.
- Скуп вредности: \( V_f = \mathbb{R} \).
- Инјективност (1-1): \( \log_a x_1 = \log_a x_2 \iff x_1 = x_2 \).
- Нула функције: \( x = 1 \), јер је \( \log_a 1 = 0 \).
- Знак функције:
- \( f(x) < 0 \) за \( x \in (0, 1) \)
- \( f(x) > 0 \) за \( x \in (1, +\infty) \)
- Монотоност: функција је строго растућа на целом домену (\( x_1 < x_2 \implies \log_a x_1 < \log_a x_2 \)).
- Конкавност: функција је конкавна (\( \cap \)) на \( (0, +\infty) \).
- Парност: није ни парна ни непарна (домен није симетричан у односу на нулу).
- Асимптота: права \( x = 0 \) (\( y \)-оса) је вертикална асимптота; када се \( x \) приближава нули са десне стране (\( x \to 0^+ \)), вредности функције теже ка \( -\infty \).
Функција \( y = \log_2 x \) има основу \( 2 > 1 \). Она је растућа на целом домену, њен график сече \( x \)-осу у тачки \( (1, 0) \), пролази кроз тачке \( (2, 1) \), \( (4, 2) \), \( (8, 3) \) и приближава се \( y \)-оси одоздо.
Када је основа \( 0 < a < 1 \), функција \( f(x) = \log_a x \) има следећа својства:
- Домен: \( D_f = (0, +\infty) \).
- Скуп вредности: \( V_f = \mathbb{R} \).
- Инјективност (1-1): \( \log_a x_1 = \log_a x_2 \iff x_1 = x_2 \).
- Нула функције: \( x = 1 \) (\( \log_a 1 = 0 \)).
- Знак функције:
- \( f(x) > 0 \) за \( x \in (0, 1) \)
- \( f(x) < 0 \) за \( x \in (1, +\infty) \)
- Монотоност: функција је строго опадајућа на целом домену (\( x_1 < x_2 \implies \log_a x_1 > \log_a x_2 \)).
- Конвексност: функција је конвексна (\( \cup \)) на \( (0, +\infty) \).
- Парност: није ни парна ни непарна.
- Асимптота: права \( x = 0 \) (\( y \)-оса) је вертикална асимптота; када се \( x \) приближава нули са десне стране (\( x \to 0^+ \)), вредности функције теже ка \( +\infty \).
Функција \( y = \log_{1/2} x \) има основу \( \frac{1}{2} \in (0, 1) \). Она је опадајућа на целом домену, сече \( x \)-осу у тачки \( (1, 0) \), а пролази кроз тачке \( (2, -1) \), \( (4, -2) \), \( (8, -3) \).
График функције \( f(x) = \log_a(x + c) \) добија се транслацијом графика функције \( y = \log_a x \) дуж \( x \)-осе:
- улево за \( c \) јединица ако је \( c > 0 \);
- удесно за \( |c| \) јединица ако је \( c < 0 \).
График функције \( f(x) = \log_2(x + 1) \) настаје померањем графика \( y = \log_2 x \) за \( 1 \) улево.
Домен је \( (-1, +\infty) \), нула функције је \( x = 0 \), а вертикална асимптота је права \( x = -1 \).
Домен је \( (-1, +\infty) \), нула функције је \( x = 0 \), а вертикална асимптота је права \( x = -1 \).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одредити домен, нулу функције и њен знак за функцију \( f(x) = \log_5 x \).
- Домен: \( D_f = (0, +\infty) \).
- Нула: \( \log_5 x = 0 \iff x = 5^0 = 1 \).
- Знак: Пошто је основа \( a = 5 > 1 \), функција је растућа:
- \( f(x) < 0 \) за \( x \in (0, 1) \)
- \( f(x) > 0 \) за \( x \in (1, +\infty) \)
Задатак 2 (средњи): Дата је функција \( f(x) = \log_3(x - 2) \). Одредити њен домен, једначину вертикалне асимптоте и тачку у којој њен график сече \( x \)-осу.
- Домен: Аргумент логаритма мора бити строго позитиван: \[ x - 2 > 0 \implies x > 2 \implies D_f = (2, +\infty) \]
- Вертикална асимптота: График настаје транслацијом удесно за 2, па је асимптота права \( x = 2 \).
- Пресек са \( x \)-осом (нула): \[ \log_3(x - 2) = 0 \iff x - 2 = 3^0 = 1 \iff x = 3 \] График сече \( x \)-осу у тачки \( (3, 0) \).
Задатак 3 (тежи): На основу својстава монотоности логаритамске функције:
а) Упоредити бројеве \( \log_{0{,}2} 4 \) и \( \log_{0{,}2} 7 \);
б) Решити неједначину \( \log_2 x > \log_{0{,}5} x \) за \( x \in (0, +\infty) \).
а) Упоредити бројеве \( \log_{0{,}2} 4 \) и \( \log_{0{,}2} 7 \);
б) Решити неједначину \( \log_2 x > \log_{0{,}5} x \) за \( x \in (0, +\infty) \).
а) Функција \( y = \log_{0{,}2} x \) има основу \( 0 < 0{,}2 < 1 \), што значи да је строго опадајућа.
Како је \( 4 < 7 \), следи да је: \[ \log_{0{,}2} 4 > \log_{0{,}2} 7 \]
б) Користећи особину базе логаритма знамо да је \( \log_{0{,}5} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x \).
Неједначина постаје: \[ \log_2 x > -\log_2 x \iff 2\log_2 x > 0 \iff \log_2 x > 0 \] Пошто је основа \( 2 > 1 \) (растућа функција): \[ x > 2^0 \implies x > 1 \] Дакле, решење је \( x \in (1, +\infty) \). (Графички: за све \( x > 1 \), график растуће функције \( y = \log_2 x \) налази се изнад графика опадајуће функције \( y = \log_{0{,}5} x \)).
Како је \( 4 < 7 \), следи да је: \[ \log_{0{,}2} 4 > \log_{0{,}2} 7 \]
б) Користећи особину базе логаритма знамо да је \( \log_{0{,}5} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x \).
Неједначина постаје: \[ \log_2 x > -\log_2 x \iff 2\log_2 x > 0 \iff \log_2 x > 0 \] Пошто је основа \( 2 > 1 \) (растућа функција): \[ x > 2^0 \implies x > 1 \] Дакле, решење је \( x \in (1, +\infty) \). (Графички: за све \( x > 1 \), график растуће функције \( y = \log_2 x \) налази се изнад графика опадајуће функције \( y = \log_{0{,}5} x \)).
