Најважније из лекције
Дефиниције: \(\sin \alpha = \frac{\text{наспрамна}}{\text{хипотенуза}}\), \(\cos \alpha = \frac{\text{прилегла}}{\text{хипотенуза}}\), \(\text{tg} \alpha = \frac{\text{наспрамна}}{\text{прилегла}}\), \(\text{ctg} \alpha = \frac{\text{прилегла}}{\text{наспрамна}}\).
Идентитети: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), \(\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1\), \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
Комплементни углови: \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha\), \(\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg} \alpha\).
Карактеристичне вредности: \(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\text{tg} 45^\circ = 1\).
Идентитети: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), \(\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1\), \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).
Комплементни углови: \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha\), \(\text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg} \alpha\).
Карактеристичне вредности: \(\sin 30^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\text{tg} 45^\circ = 1\).
Тригонометријске функције оштрог угла \(\alpha\) дефинишу се као односи (размере) страница правоуглог троугла.
\[ \sin \alpha = \frac{\text{наспрамна катета}}{\text{хипотенуза}} = \frac{a}{c} \]
\[ \cos \alpha = \frac{\text{прилегла катета}}{\text{хипотенуза}} = \frac{b}{c} \]
\[ \text{tg} \alpha = \frac{\text{наспрамна катета}}{\text{прилегла катета}} = \frac{a}{b} \]
\[ \text{ctg} \alpha = \frac{\text{прилегла катета}}{\text{наспрамна катета}} = \frac{b}{a} \]
Вредности тригонометријских функција зависе искључиво од мере угла \(\alpha\), а не од величине самог правоуглог троугла (сви правоугли троуглови са истим оштрим углом су међусобно слични).
Ако су катете правоуглог троугла \(a = 3\text{ cm}\) и \(b = 4\text{ cm}\), а хипотенуза \(c = 5\text{ cm}\), одреди вредност функција \(\sin \alpha\) и \(\text{tg} \alpha\) за угао \(\alpha\) наспрам катете \(a\).
\[ \sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{3}{5} \]
\[ \text{tg} \alpha = \frac{a}{b} = \frac{3}{4} \]
Вредности функција за карактеристичне углове одређују се помоћу половине једнакостраничног троугла (за \(30^\circ\) и \(60^\circ\)) и половине квадрата (за \(45^\circ\)).
| Угао \(\alpha\) | \(\sin \alpha\) | \(\cos \alpha\) | \(\text{tg} \alpha\) | \(\text{ctg} \alpha\) |
|---|---|---|---|---|
| \(30^\circ\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\sqrt{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\sqrt{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) |
Израчунајмо вредност израза \(\sin 30^\circ + \cos 60^\circ\):
\[ \sin 30^\circ + \cos 60^\circ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
За сваки оштар угао \(\alpha\) важе следеће основне једнакости (идентичности):
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \quad \text{(Основни тригонометријски идентитет)} \]
\[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \]
\[ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
\[ \text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha = 1 \]
Ако је \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), одредимо \(\cos \alpha\):
\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]
Пошто је \(\alpha\) оштар угао, вредност је позитивна:
\[ \cos \alpha = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \]
Два угла су комплементна ако је њихов збир \(90^\circ\). Оштри углови у правоуглом троуглу су \(\alpha\) и \(90^\circ - \alpha\).
\[ \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha \]
\[ \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha \]
\[ \text{tg}(90^\circ - \alpha) = \text{ctg} \alpha \]
\[ \text{ctg}(90^\circ - \alpha) = \text{tg} \alpha \]
\[ \sin 60^\circ = \cos(90^\circ - 60^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{tg} 75^\circ = \text{ctg}(90^\circ - 75^\circ) = \text{ctg} 15^\circ \]
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунај вредност бројевног израза:
\[ 2 \cdot \sin 30^\circ + \sqrt{3} \cdot \text{tg} 60^\circ - 4 \cdot \cos 60^\circ \]
Уврстимо tablične вредности:
\[ 2 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 4 \cdot \frac{1}{2} \]
\[ = 1 + 3 - 2 = 2 \]
Задатак 2 (средњи): За оштар угао \(\alpha\) познато је да је \(\cos \alpha = \frac{12}{13}\). Одреди вредности \(\sin \alpha\), \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\).
1. Применом основног идентитета одређујемо \(\sin \alpha\):
\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \]
\[ \sin \alpha = \frac{5}{13} \]
2. Одређујемо \(\text{tg} \alpha\) и \(\text{ctg} \alpha\):
\[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12} \]
\[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{12}{5} \]
Задатак 3 (средњи): Упрости израз:
\[ \frac{\sin(90^\circ - \alpha) \cdot \text{tg} \alpha}{\sin \alpha} \]
Применимо правило за комплементне углове \(\sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha\) и дефиницију \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\[ \frac{\cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{\sin \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} = 1 \]
Задатак 4 (тежи): У правоуглом троуглу \(ABC\) са правим углом код темена \(C\), хипотенуза је \(c = 10\text{ cm}\), а угао код темена \(A\) је \(\alpha = 60^\circ\). Одреди други оштар угао \(\beta\) и дужине катета \(a\) и \(b\).
1. Други оштар угао је:
\[ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
2. Катета \(a\) (наспрамна углу \(\alpha\)):
\[ \sin 60^\circ = \frac{a}{c} \implies a = c \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\text{ cm} \]
3. Катета \(b\) (прилегла углу \(\alpha\)):
\[ \cos 60^\circ = \frac{b}{c} \implies b = c \cdot \cos 60^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5\text{ cm} \]
