Најважније из лекције
Општа решења основних једначина (\(k \in \mathbb{Z}\)):
- \(\sin x = c \ (|c| \le 1) \implies x = \arcsin c + 2k\pi \quad \lor \quad x = \pi - \arcsin c + 2k\pi\)
- \(\cos x = c \ (|c| \le 1) \implies x = \pm \arccos c + 2k\pi\)
- \(\text{tg } x = c \implies x = \text{arctg } c + k\pi\)
- \(\text{ctg } x = c \implies x = \text{arcctg } c + k\pi\)
- Факторизација: Свођење на облик \(A(x) \cdot B(x) = 0 \iff A(x) = 0 \lor B(x) = 0\).
- Смена променљиве: Код квадратних једначина (\(\text{trig } x = t\)).
- Хомогене једначине: Дељење са \(\cos^2 x\) и свођење на једначину по \(\text{tg } x\).
- Линеарне по \(\sin x\) и \(\cos x\): Дељење са \(\sqrt{a^2+b^2}\) (услов решивости: \(|c| \le \sqrt{a^2+b^2}\)).
- Универзална смена: \(\text{tg } \frac{x}{2} = t\) (уз обавезну проверу \(x = \pi + 2k\pi\)).
Основне једначине: Једначине облика \(\sin x = c\) и \(\cos x = c\), где је \(c \in \mathbb{R}\).
Аркус синус (\(\arcsin y\)): За свако \(y \in [-1, 1]\), јединствена вредност \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) таква да је \(\sin x = y\). Важи непарност: \(\arcsin(-y) = -\arcsin y\).
Аркус косинус (\(\arccos y\)): За свако \(y \in [-1, 1]\), јединствена вредност \(x \in [0, \pi]\) таква да је \(\cos x = y\). Важи: \(\arccos(-y) = \pi - \arccos y\).
Решења једначине \(\sin x = c\):
\[ x = \arcsin c + 2k\pi \quad \lor \quad x = \pi - \arcsin c + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad (\text{за } |c| \le 1) \]
Ако је \(|c| > 1\), једначина нема решења (\(R_s = \emptyset\)).
Решења једначине \(\cos x = c\):
\[ x = \pm \arccos c + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad (\text{за } |c| \le 1) \]
Ако је \(|c| > 1\), једначина нема решења (\(R_s = \emptyset\)).
За \(x \in [-1, 1]\) важи: \(\sin(\arcsin x) = x\) и \(\cos(\arccos x) = x\).
За \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) важи \(\arcsin(\sin x) = x\), а за \(x \in [0, \pi]\) важи \(\arccos(\cos x) = x\).
За \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) важи \(\arcsin(\sin x) = x\), а за \(x \in [0, \pi]\) важи \(\arccos(\cos x) = x\).
Решити једначину: \(\cos x = -\frac{1}{2}\).
Како је \(-\frac{1}{2} \in [-1, 1]\), рачунамо:
\[ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \]
Опште решење је:
\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Основне једначине: Једначине облика \(\text{tg } x = c\) и \(\text{ctg } x = c\), где је \(c \in \mathbb{R}\). Ове једначине имају решења за свако реално \(c\).
Аркус тангенс (\(\text{arctg } y\)): Јединствено \(x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) такво да је \(\text{tg } x = y\). Важи: \(\text{arctg}(-y) = -\text{arctg } y\).
Аркус котангенс (\(\text{arcctg } y\)): Јединствено \(x \in (0, \pi)\) такво да је \(\text{ctg } x = y\). Важи: \(\text{arcctg}(-y) = \pi - \text{arcctg } y\).
Решења једначина \(\text{tg } x = c\) и \(\text{ctg } x = c\):
\[ \text{tg } x = c \iff x = \text{arctg } c + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
\[ \text{ctg } x = c \iff x = \text{arcctg } c + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Решити једначину: \(\text{tg } x = -\sqrt{3}\).
Користимо особину аркус тангенса:
\[ \text{arctg}(-\sqrt{3}) = -\text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3} \]
Опште решење је:
\[ x = -\frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Правила за поређење истоимених функција:
- \(\sin A(x) = \sin B(x) \iff A(x) = B(x) + 2k\pi \quad \lor \quad A(x) = \pi - B(x) + 2k\pi\)
- \(\cos A(x) = \cos B(x) \iff A(x) = B(x) + 2k\pi \quad \lor \quad A(x) = -B(x) + 2k\pi\)
- \(\text{tg } A(x) = \text{tg } B(x) \iff A(x) = B(x) + k\pi\) (уз дефинисаност \(\text{tg}\))
- \(\text{ctg } A(x) = \text{ctg } B(x) \iff A(x) = B(x) + k\pi\) (уз дефинисаност \(\text{ctg}\))
Једначине једнаке нули: Једначина облика \(\text{trig}_1 A_1(x) \cdot \text{trig}_2 A_2(x) \dots \text{trig}_n A_n(x) = 0\) еквивалентна је дисјункцији:
\[ \text{trig}_1 A_1(x) = 0 \quad \lor \quad \text{trig}_2 A_2(x) = 0 \quad \lor \dots \lor \quad \text{trig}_n A_n(x) = 0 \]
Укупан скуп решења је унија решења појединачних чинилаца (уз проверу дефинисаности).
Решити једначину: \(\sin 3x = \sin x\).
Применом правила добијамо две гране:
- \(3x = x + 2k\pi \implies 2x = 2k\pi \implies x = k\pi, \; k \in \mathbb{Z}\)
- \(3x = \pi - x + 2k\pi \implies 4x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \; k \in \mathbb{Z}\)
Једначине облика \(a \cdot \text{trig}^2 x + b \cdot \text{trig } x + c = 0\) решавају се сменом \(\text{trig } x = t\), чиме се проблем своди на квадратну једначину \(at^2 + bt + c = 0\), а затим на основне тригонометријске једначине.
Једначина облика \(a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0\) решава се дељењем са \(\cos^2 x \ne 0\) (или \(\sin^2 x \ne 0\)), чиме се своди на квадратну једначину по тангенсу:
\[ a \text{tg}^2 x + b \text{tg } x + c = 0 \]
Једначина облика \(a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = d\) се прво хомогенизује коришћењем основног тригонометријског идентитета:
\[ d = d(\sin^2 x + \cos^2 x) \]
Решити једначину: \(2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0\).
Уводимо смену \(\sin x = t\) (\(t \in [-1, 1]\)):
\[ 2t^2 + t - 1 = 0 \implies t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} \implies t_1 = \frac{1}{2}, \; t_2 = -1 \]
Враћањем смене:
- \(\sin x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \lor \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}\)
- \(\sin x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}\)
Дељењем једначине са \(\sqrt{a^2 + b^2}\) добијамо:
\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Пошто постоји угао \(\phi\) такав да је \(\cos \phi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) и \(\sin \phi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\), једначина постаје:
\[ \sin(x + \phi) = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Једначина има решења ако и само ако је \(|c| \le \sqrt{a^2 + b^2}\).
За једначине рационалне по \(\sin x\) и \(\cos x\) користи се смена \(\text{tg } \frac{x}{2} = t\):
\[ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \]
Пре увођења ове смене мора се проверити да ли су вредности \(x = \pi + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}\) решења почетне једначине (јер за њих \(\text{tg } \frac{x}{2}\) није дефинисан).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Решити једначину: \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Како је \(-\frac{\sqrt{3}}{2} \in [-1, 1]\), одређујемо:
\[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} \]
Применом опште формуле решења су:
\[ x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \lor \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 2k\pi = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Задатак 2 (средњи): Решити једначину: \(\sin x + \cos x = 1\).
Овде је \(a = 1, b = 1, c = 1\). Рачунамо \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\).
Делимо једначину са \(\sqrt{2}\): \[ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Како је \(\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), добијамо: \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Решавамо основну једначину:
Делимо једначину са \(\sqrt{2}\): \[ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Како је \(\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), добијамо: \[ \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Решавамо основну једначину:
- \(x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}\)
- \(x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \; k \in \mathbb{Z}\)
Задатак 3 (средњи/тежак): Решити једначину: \(\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0\).
Проверавамо да ли је \(\cos x = 0\) решење: ако је \(\cos x = 0\), онда из једначине следи \(\sin^2 x = 0\), што је немогуће јер \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\). Дакле, \(\cos x \ne 0\).
Делимо једначину са \(\cos^2 x\): \[ \text{tg}^2 x - 4\text{tg } x + 3 = 0 \] Сменом \(\text{tg } x = t\): \[ t^2 - 4t + 3 = 0 \implies (t - 1)(t - 3) = 0 \implies t_1 = 1, \; t_2 = 3 \] Враћањем смене добијамо:
Делимо једначину са \(\cos^2 x\): \[ \text{tg}^2 x - 4\text{tg } x + 3 = 0 \] Сменом \(\text{tg } x = t\): \[ t^2 - 4t + 3 = 0 \implies (t - 1)(t - 3) = 0 \implies t_1 = 1, \; t_2 = 3 \] Враћањем смене добијамо:
- \(\text{tg } x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z}\)
- \(\text{tg } x = 3 \implies x = \text{arctg } 3 + k\pi, \; k \in \mathbb{Z}\)
Задатак 4 (тежак): Решити једначину: \(\cos x + \cos 3x + \cos 5x = 0\).
Групишемо први и трећи члан и примењујемо формулу за збир косинуса:
\[ (\cos 5x + \cos x) + \cos 3x = 0 \]
\[ 2\cos\left(\frac{5x + x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x - x}{2}\right) + \cos 3x = 0 \]
\[ 2\cos 3x \cos 2x + \cos 3x = 0 \]
Факторишемо:
\[ \cos 3x (2\cos 2x + 1) = 0 \]
Једначина је еквивалентна дисјункцији:
- \(\cos 3x = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, \; k \in \mathbb{Z}\)
- \(2\cos 2x + 1 = 0 \implies \cos 2x = -\frac{1}{2} \implies 2x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \implies x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z}\)
