Најважније из лекције
Логаритам: \( \log_a y = x \iff a^x = y \) уз услове \( a > 0, a \neq 1, y > 0 \).
Специјални логаритми: Декадни \( \log x = \log_{10} x \) и природни \( \ln x = \log_e x \).
Главне особине:
Специјални логаритми: Декадни \( \log x = \log_{10} x \) и природни \( \ln x = \log_e x \).
Главне особине:
- \( a^{\log_a x} = x \), \( \log_a 1 = 0 \), \( \log_a a = 1 \)
- \( \log_a(x_1 x_2) = \log_a x_1 + \log_a x_2 \) и \( \log_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right) = \log_a x_1 - \log_a x_2 \)
- \( \log_{a^k} x^r = \frac{r}{k} \log_a x \)
- \( \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \) и \( \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \)
Нека је \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \). Логаритам позитивног броја \( y \) за основу \( a \) јесте јединствени реалан број \( x \) којим треба степеновати основу \( a \) да би се добио број \( y \).
\[ \log_a y = x \iff a^x = y \]
Услови: \( a > 0 \), \( a \neq 1 \) (основа) и \( y > 0 \) (нумерис/аргумент).
Логаритам је дефинисан само за позитивне бројеве (\( y > 0 \)). Логаритам нуле или негативног броја у скупу реалних бројева не постоји!
Посебне ознаке за често коришћене основе:
- Декадни логаритам (основа \( 10 \)): \( \log_{10} x = \log x \)
- Природни логаритам (основа \( e \approx 2{,}72 \)): \( \log_e x = \ln x \)
- \( \log_2 8 = 3 \) јер је \( 2^3 = 8 \)
- \( \log_2 \frac{1}{2} = -1 \) јер је \( 2^{-1} = \frac{1}{2} \)
- \( \log_a 1 = 0 \) јер је \( a^0 = 1 \)
- \( \log_a a = 1 \) јер је \( a^1 = a \)
Израчунати вредност: \( \log_3 \frac{1}{9} \).
Тражимо број \( x \) такав да је \( 3^x = \frac{1}{9} \).
Како је \( \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} \), следи да је \( x = -2 \).
Дакле, \( \log_3 \frac{1}{9} = -2 \).
Како је \( \frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2} \), следи да је \( x = -2 \).
Дакле, \( \log_3 \frac{1}{9} = -2 \).
За све особине важе основни услови: \( a, b > 0 \), \( a, b \neq 1 \) и аргументи \( x, x_1, x_2 > 0 \).
1. Основни логаритамски идентитет:
\[ a^{\log_a x} = x \]
2. Логаритам производа и количника:
\[ \log_a(x_1 \cdot x_2) = \log_a x_1 + \log_a x_2 \]
\[ \log_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right) = \log_a x_1 - \log_a x_2 \]
3. Логаритам степена:
\[ \log_a x^r = r \cdot \log_a x \quad (r \in \mathbb{R}) \]
Специјалан случај: \( \log_a \frac{1}{x} = -\log_a x \)
4. Промена основе и степен у основи:
\[ \log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} \]
\[ \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \]
\[ \log_{a^r} x = \frac{1}{r} \log_a x \quad (r \neq 0) \]
Ако је \( \log_2 3 = a \), одредити \( \log_2 6 \):
\[ \log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + a \]
Израчунати без употребе калкулатора: \( \log_7 \frac{49}{\sqrt[3]{7}} \).
Применом правила за логаритам количника и степена:
\[ \log_7 \frac{49}{\sqrt[3]{7}} = \log_7 49 - \log_7 7^{\frac{1}{3}} = \log_7 7^2 - \frac{1}{3}\log_7 7 = 2 \cdot 1 - \frac{1}{3} \cdot 1 = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \]
Рихтерова скала за мерење јачине земљотреса:
\[ M = \frac{2}{3} \log \frac{E}{E_0} \]
где је \( E \) ослобођена енергија земљотреса (у џулима), а \( E_0 = 10^{4{,}4}\text{ J} \) енергија референтног слабог земљотреса.
pH вредност раствора (мера киселости/базности):
\[ \text{pH} = -\log [H^+] \]
где је \( [H^+] \) моларна концентрација водоникових јона (\(\text{mol/l}\)).
- \( \text{pH} = 7 \implies \) неутрална средина (чиста вода)
- \( \text{pH} < 7 \implies \) кисела средина
- \( \text{pH} > 7 \implies \) базна средина
Израчунати pH вредност раствора у којем је концентрација водоникових јона \( [H^+] = 10^{-3} \text{ mol/l} \).
\[ \text{pH} = -\log [H^+] = -\log(10^{-3}) = -(-3 \cdot \log 10) = -(-3 \cdot 1) = 3 \]
Пошто је \( \text{pH} = 3 < 7 \), раствор је кисео.
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Израчунати вредност израза:
\[ I = \log_2 16 + \log_5 \frac{1}{25} - \log_7 1 \]
Одредимо сваки сабирак појединачно:
- \( \log_2 16 = 4 \) (јер је \( 2^4 = 16 \))
- \( \log_5 \frac{1}{25} = \log_5 5^{-2} = -2 \)
- \( \log_7 1 = 0 \) (јер је \( 7^0 = 1 \))
Задатак 2 (средњи): Ако је \( \log 2 = a \) и \( \log 3 = b \), изразити \( \log 18 \) и \( \log_2 3 \) преко \( a \) и \( b \).
1) Број 18 растављамо на чиниоце: \( 18 = 2 \cdot 3^2 \).
\[ \log 18 = \log(2 \cdot 3^2) = \log 2 + \log 3^2 = \log 2 + 2\log 3 = a + 2b \]
2) Користимо формулу за прелазак на нову основу (декадну):
\[ \log_2 3 = \frac{\log 3}{\log 2} = \frac{b}{a} \]
Задатак 3 (тежак): Израчунати тачну вредност израза:
\[ A = \log_4 32 + 3^{\log_3 5} - \log_{\sqrt{3}} 9 \]
Поједноставимо сваки члан:
- \( \log_4 32 = \log_{2^2} 2^5 = \frac{5}{2} \log_2 2 = \frac{5}{2} \)
- \( 3^{\log_3 5} = 5 \) (на основу основног логаритамског идентитета \( a^{\log_a x} = x \))
- \( \log_{\sqrt{3}} 9 = \log_{3^{1/2}} 3^2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = 4 \cdot 1 = 4 \)
