Најважније из лекције
Канонски облик: \( f(x) = a \sin\left[b\left(x + \frac{c}{b}\right)\right] \) или \( f(x) = a \cos\left[b\left(x + \frac{c}{b}\right)\right] \).
Параметар \( a \) (Амплитуда): Одређује екстреме \( f_{\max} = |a| \), \( f_{\min} = -|a| \). Ако је \( a < 0 \), график се рефлектује у односу на \( x \)-осу.
Параметар \( b \) (Период): Мења основни период: \[ T = \frac{2\pi}{|b|} \text{ (за } \sin \text{ и } \cos), \qquad T = \frac{\pi}{|b|} \text{ (за } \operatorname{tg} \text{ и } \operatorname{ctg}) \]
Параметар \( c \) (Фазни помак): Транслација дуж \( x \)-осе за вредност \( \frac{c}{b} \) (улево ако је \( \frac{c}{b} > 0 \), удесно ако је \( \frac{c}{b} < 0 \)). Код тангенса и котангенса заједно са графиком померају се и асимптоте.
Параметар \( a \) (Амплитуда): Одређује екстреме \( f_{\max} = |a| \), \( f_{\min} = -|a| \). Ако је \( a < 0 \), график се рефлектује у односу на \( x \)-осу.
Параметар \( b \) (Период): Мења основни период: \[ T = \frac{2\pi}{|b|} \text{ (за } \sin \text{ и } \cos), \qquad T = \frac{\pi}{|b|} \text{ (за } \operatorname{tg} \text{ и } \operatorname{ctg}) \]
Параметар \( c \) (Фазни помак): Транслација дуж \( x \)-осе за вредност \( \frac{c}{b} \) (улево ако је \( \frac{c}{b} > 0 \), удесно ако је \( \frac{c}{b} < 0 \)). Код тангенса и котангенса заједно са графиком померају се и асимптоте.
Амплитуда представља највеће одступање вредности функције од равнотежног положаја (\( x \)-осе) и одређена је апсолутном вредношћу коефицијента \( a \).
\[ \text{Максимум: } f_{\max} = |a|, \quad \text{Минимум: } f_{\min} = -|a| \]
Опсег вредности функција \( y = a\sin x \) и \( y = a\cos x \) је интервал \( [-|a|, |a|] \).
- Ако је \( |a| > 1 \), график се истеже дуж \( y \)-осе.
- Ако је \( |a| < 1 \), график се скупља дуж \( y \)-осе.
- Ако је \( a < 0 \), поред промене амплитуде врши се и осна симетрија (рефлексија) графика у односу на \( x \)-осу.
За функцију \( f(x) = -3\sin x \):
Амплитуда је \( |a| = |-3| = 3 \).
Максимална вредност је \( 3 \), минимална вредност је \( -3 \). Због знака минус, график је пресликан симетрично у односу на \( x \)-осу.
Амплитуда је \( |a| = |-3| = 3 \).
Максимална вредност је \( 3 \), минимална вредност је \( -3 \). Због знака минус, график је пресликан симетрично у односу на \( x \)-осу.
Одредити екстремне вредности функције \( f(x) = \frac{1}{2}\cos x \).
Коефицијент уз функцију је \( a = \frac{1}{2} \).
Максимум функције је \( f_{\max} = |a| = \frac{1}{2} \).
Минимум функције је \( f_{\min} = -|a| = -\frac{1}{2} \).
Опсег вредности је интервал \( \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \).
Максимум функције је \( f_{\max} = |a| = \frac{1}{2} \).
Минимум функције је \( f_{\min} = -|a| = -\frac{1}{2} \).
Опсег вредности је интервал \( \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \).
Константа \( b \) одређује фреквенцију (брзину осциловања) и директно мења основни период тригонометријске функције.
\[ T = \frac{2\pi}{|b|} \]
Основни период функција \( y = \sin(bx) \) и \( y = \cos(bx) \).
- Ако је \( |b| > 1 \), период се смањује, а график се скупља дуж \( x \)-осе.
- Ако је \( |b| < 1 \), период се повећава, а график се растеже дуж \( x \)-осе.
Ако је коефицијент \( b \) негативан, користимо особине парности функција:
\[ \sin(-x) = -\sin x \quad \text{и} \quad \cos(-x) = \cos x \]
Пример: \( \sin\left(-\frac{x}{2}\right) = -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \).
За функцију \( f(x) = \sin(3x) \), основни период је \( T = \frac{2\pi}{3} \). График завршава један пун осцилаторни циклус три пута брже у односу на основни синусоидни график.
Одредити основни период функције \( f(x) = \cos\left(\frac{2}{3}x\right) \).
Овде је \( b = \frac{2}{3} \).
\[ T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{\frac{2}{3}} = \frac{2\pi \cdot 3}{2} = 3\pi \]
Основни период је \( T = 3\pi \).
Константа \( c \) утиче на фазу функције и одређује хоризонтално померање (транслацију) графика дуж \( x \)-осе.
За функцију облика \( y = \sin(x + c) \):
- Ако је \( c > 0 \), график се помера улево за вредност \( c \) (функција „жури”).
- Ако је \( c < 0 \), график се помера удесно за вредност \( |c| \) (функција „касни”).
График функције \( y = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \) добија се транслацијом графика \( y = \sin x \) улево дуж \( x \)-осе за \( \frac{\pi}{4} \).
За колико и у ком смеру дуж \( x \)-осе треба транслирати график \( y = \cos x \) да би се добио график \( y = \cos(x - 2) \)?
Пошто је \( c = -2 < 0 \), график функције \( y = \cos x \) треба транслирати удесно дуж \( x \)-осе за \( 2 \).
Канонски облик погодан за скицирање:
\[ f(x) = a \sin \left[ b \left( x + \frac{c}{b} \right) \right] \]
Фазно померање дуж \( x \)-осе износи \( -\frac{c}{b} \).
Основни график: Нацртати график основне функције \( f_1(x) = \sin x \) (или \( \cos x \)).
Промена периода: Нацртати график \( f_2(x) = \sin(|b|x) \). Основни период је \( T = \frac{2\pi}{|b|} \). График се скупља за \( |b| > 1 \) или растеже за \( |b| < 1 \) дуж \( x \)-осе.
Фазни помак (транслација): Нацртати график \( f_3(x) = \sin\left[|b|\left(x + \frac{c}{b}\right)\right] \) транслацијом претходног графика дуж \( x \)-осе за вредност \( \frac{c}{b} \) (улево ако је \( \frac{c}{b} > 0 \), удесно ако је \( \frac{c}{b} < 0 \)).
Примена амплитуде и знака: Нацртати коначни график множењем ордината са \( a \). Максимална вредност постаје \( |a| \), а минимална \( -|a| \). Уколико је укупан коефицијент испред функције негативан, график се симетрично пресликава у односу на \( x \)-осу.
Скицирање функције \( f(x) = 2\sin\left(3x + \frac{\pi}{4}\right) \):
1. Запис: \( f(x) = 2\sin\left[3\left(x + \frac{\pi}{12}\right)\right] \)
2. Амплитуда: \( |a| = 2 \) (вредности у интервалу \( [-2, 2] \))
3. Основни период: \( T = \frac{2\pi}{3} \)
4. Фазни помак: улево за \( \frac{\pi}{12} \).
1. Запис: \( f(x) = 2\sin\left[3\left(x + \frac{\pi}{12}\right)\right] \)
2. Амплитуда: \( |a| = 2 \) (вредности у интервалу \( [-2, 2] \))
3. Основни период: \( T = \frac{2\pi}{3} \)
4. Фазни помак: улево за \( \frac{\pi}{12} \).
\[ T = \frac{\pi}{|b|} \]
Основни период тангенсне и котангенсне функције са параметром \( b \).
Приликом хоризонталне транслације тангенсоиде и котангенсоиде дуж \( x \)-осе за вредност \( \frac{c}{b} \), заједно са графиком транслирају се и вертикалне асимптоте.
- Параметар \( a \) одређује брзину вертикалног раста/пада грана функције (вертикално истезање или скупљање).
- Параметар \( b \) одређује растојање између суседних асимптота (\( T = \frac{\pi}{|b|} \)).
- Параметар \( c \) одређује померање нула и асимптота улево или удесно.
За функцију \( y = \frac{3}{2}\operatorname{tg}\left(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{2}\operatorname{tg}\left[\frac{1}{2}\left(x - \frac{2\pi}{3}\right)\right] \):
• Период: \( T = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \)
• Хоризонтални помак: удесно за \( \frac{2\pi}{3} \) (заједно са свим асимптотама).
• Период: \( T = \frac{\pi}{\frac{1}{2}} = 2\pi \)
• Хоризонтални помак: удесно за \( \frac{2\pi}{3} \) (заједно са свим асимптотама).
Задаци за вежбање
Задатак 1 (лак): Одредити амплитуду и основни период функције \( f(x) = 4\sin(6x) \).
Из једначине функције очитавамо коефицијенте: \( a = 4 \) и \( b = 6 \).
1. Амплитуда: \( |a| = |4| = 4 \).
2. Основни период: \( T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \).
1. Амплитуда: \( |a| = |4| = 4 \).
2. Основни период: \( T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \).
Задатак 2 (средњи): Одредити амплитуду, основни период, опсег вредности и смер транслације дуж \( x \)-осе за функцију \( f(x) = -2\cos\left(4x + \frac{\pi}{3}\right) \).
Трансформишемо функцију у канонски облик:
\[ f(x) = -2\cos\left[4\left(x + \frac{\pi}{12}\right)\right] \]
1. Амплитуда: \( |a| = |-2| = 2 \).
2. Опсег вредности: \( [-2, 2] \) (због знака минус, график се рефлектује у односу на \( x \)-осу).
3. Основни период: \( T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \).
4. Фазни помак: Померање улево дуж \( x \)-осе за \( \frac{\pi}{12} \).
2. Опсег вредности: \( [-2, 2] \) (због знака минус, график се рефлектује у односу на \( x \)-осу).
3. Основни период: \( T = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \).
4. Фазни помак: Померање улево дуж \( x \)-осе за \( \frac{\pi}{12} \).
Задатак 3 (средњи): Одредити основни период функције \( f(x) = \frac{1}{3}\operatorname{ctg}\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \) и наћи једначине њених асимптота.
Овде је \( b = 2 \) и \( c = \frac{\pi}{4} \).
1. Основни период: За котангенсну функцију период је \( T = \frac{\pi}{|b|} = \frac{\pi}{2} \).
2. Асимптоте: Основна функција \( \operatorname{ctg} u \) има асимптоте за \( u = k\pi, k \in \mathbb{Z} \). \[ 2x + \frac{\pi}{4} = k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
1. Основни период: За котангенсну функцију период је \( T = \frac{\pi}{|b|} = \frac{\pi}{2} \).
2. Асимптоте: Основна функција \( \operatorname{ctg} u \) има асимптоте за \( u = k\pi, k \in \mathbb{Z} \). \[ 2x + \frac{\pi}{4} = k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Задатак 4 (тежак): Одредити максималну и минималну вредност, као и све нуле функције \( f(x) = 3\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) \) на интервалу \( [0, \pi] \).
1. Екстреми:
Максимум је \( f_{\max} = 3 \), а минимум \( f_{\min} = -3 \).
2. Нуле функције:
Функција има нуле када је аргумент синуса једнак \( k\pi \): \[ 2x - \frac{\pi}{3} = k\pi \implies 2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Тражимо вредности \( x \in [0, \pi] \):
• За \( k = 0 \): \( x_1 = \frac{\pi}{6} \)
• За \( k = 1 \): \( x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \)
• За \( k = 2 \): \( x_3 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} > \pi \) (ван интервала)
• За \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} < 0 \) (ван интервала)
Одговор: Нуле на интервалу \( [0, \pi] \) су \( x_1 = \frac{\pi}{6} \) и \( x_2 = \frac{2\pi}{3} \).
Максимум је \( f_{\max} = 3 \), а минимум \( f_{\min} = -3 \).
2. Нуле функције:
Функција има нуле када је аргумент синуса једнак \( k\pi \): \[ 2x - \frac{\pi}{3} = k\pi \implies 2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Тражимо вредности \( x \in [0, \pi] \):
• За \( k = 0 \): \( x_1 = \frac{\pi}{6} \)
• За \( k = 1 \): \( x_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \)
• За \( k = 2 \): \( x_3 = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} > \pi \) (ван интервала)
• За \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} < 0 \) (ван интервала)
Одговор: Нуле на интервалу \( [0, \pi] \) су \( x_1 = \frac{\pi}{6} \) и \( x_2 = \frac{2\pi}{3} \).
